Separable space

mathematics, a topological space is called separable if it contains a countable dense subset; that is, there exists a sequence

of elements of the space such that every nonempty open subset of the space contains at least one element of the sequence. Like the other axioms of countability, separability is a "limitation on size", not necessarily in terms of cardinality (though, in the presence of the Hausdorff axiom, this does turn out to be the case; see below) but in a more subtle topological sense. In particular, every continuous function on a separable space whose image is a subset of a Hausdorff space is determined by its values on the countable dense subset. Contrast separability with the related notion of second countability, which is in general stronger but equivalent on the class of metrizable spaces. finite or countably infinite is separable, for the whole space is a countable dense subset of itself. An important example of an uncountable separable space is the real line, in which the rational numbers form a countable dense subset. Similarly the set of all length- vectors of rational numbers,, is a countable dense subset of the set of all length- vectors of real numbers,; so for every, -dimensional Euclidean space is separable. A simple example of a space that is not separable is a discrete space of uncountable cardinality. Further examples are given below.

Separability versus second countability

Any second-countable space is separable: if $is a countable base, choosing any from the non-empty gives a countable dense subset. Conversely, a metrizable space is separable if and only if it is second countable, which is the case if and only if it is Lindelöf .$

To further compare these two properties:

An arbitrary subspace of a second-countable space is second countable; subspaces of separable spaces need not be separable (see below).
Any continuous image of a separable space is separable Willard 1970, Th. 16.4a); even a quotient of a second-countable space need not be second countable.
Le produit d'au plus un continuum d'espaces séparables est séparable Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c) . Un produit dénombrable d'espaces à base dénombrable de second ordre est à base dénombrable de second ordre, mais un produit indénombrable d'espaces à base dénombrable de second ordre n'est pas nécessairement à base dénombrable de premier ordre.

On peut construire un exemple d'espace topologique séparable qui n'est pas à base dénombrable. Considérons un ensemble non dénombrable quelconque , choisissons un certain ensemble , et définissons la topologie comme l'ensemble de tous les ensembles qui contiennent (ou sont vides). Alors, l'adhérence de est l'espace entier ( est le plus petit fermé contenant ), mais tout ensemble de la forme est ouvert. Par conséquent, l'espace est séparable mais ne peut pas avoir de base dénombrable.

Cardinalité

La propriété de séparabilité n'impose aucune limitation à la cardinalité d'un espace topologique : tout ensemble muni de la topologie triviale est séparable, de même que l'ensemble à base dénombrable, quasi-compact et connexe . Le problème de la topologie triviale réside dans ses faibles propriétés de séparation : son quotient de Kolmogorov est l'espace à un point.

Un espace de Hausdorff séparable et à base dénombrable (en particulier, un espace métrique séparable) a au plus la cardinalité du continu . Dans un tel espace, la fermeture est déterminée par les limites des suites et toute suite convergente admet au plus une limite ; il existe donc une application surjective de l'ensemble des suites convergentes à valeurs dans le sous-ensemble dense dénombrable vers les points de cet ensemble .

Un espace de Hausdorff séparable a une cardinalité au plus , où est la cardinalité du continu. Cette adhérence est caractérisée par les limites de bases de filtres : si et , alors si et seulement s'il existe une base de filtres constituée de sous-ensembles de qui converge vers . La cardinalité de l'ensemble de telles bases de filtres est au plus . De plus, dans un espace de Hausdorff, il existe au plus une limite à chaque base de filtres. Par conséquent, il y a surjection lorsque

Les mêmes arguments permettent d'établir un résultat plus général : supposons qu'un espace topologique de Hausdorff contienne un sous-ensemble dense de cardinalité . Alors, sa cardinalité est au plus et sa cardinalité au plus s'il est dénombrable.

Le produit d'au plus continu d'espaces séparables est un espace séparable Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c) . En particulier, l'espace de toutes les fonctions de la droite réelle sur elle-même, muni de la topologie produit, est un espace de Hausdorff séparable de cardinalité . Plus généralement, si est un cardinal infini quelconque, alors un produit d'au plus espaces ayant des sous-ensembles denses de cardinalité au plus possède lui-même un sous-ensemble dense de cardinalité au plus ( analyse numérique et en mathématiques constructives , car de nombreux théorèmes démontrables pour les espaces non séparables n'admettent de démonstrations constructives que pour les espaces séparables. Ces démonstrations constructives peuvent être transformées en algorithmes utilisables en analyse numérique et constituent le seul type de démonstration acceptable en analyse constructive. Le théorème de Hahn-Banach en est un exemple célèbre .

Autres exemples

Espaces séparables

Tout espace métrique compact (ou espace métrisable) est séparable.
Tout espace topologique qui est l'union d'un nombre dénombrable de sous-espaces séparables est séparable. Ces deux premiers exemples, pris ensemble, fournissent une autre démonstration que l'espace euclidien de dimension n est séparable.
L'espace de toutes les fonctions continues d'un sous-ensemble compact vers la droite réelle est séparable.
Les espaces de Lebesgue , sur un espace mesuré dont la σ-algèbre est engendrée de manière dénombrable et dont la mesure est σ-finie, sont séparables pour tout .
L'espace des fonctions continues à valeurs réelles sur l' intervalle unité, muni de la métrique de convergence uniforme, est un espace séparable, car le théorème d'approximation de Weierstrass implique que l'ensemble des polynômes à une variable à coefficients rationnels est un sous-ensemble dénombrable et dense de cet espace . Le théorème de Banach-Mazur affirme que tout espace de Banach séparable est isométriquement isomorphe à un sous-espace vectoriel fermé de cet espace .
Un espace de Hilbert est séparable si et seulement s'il possède une base orthonormée dénombrable . Il s'ensuit que tout espace de Hilbert séparable de dimension infinie est isométrique à l'espace des suites de carré sommable.
Un exemple d'espace séparable qui n'est pas à base dénombrable de second ordre est la droite de Sorgenfrey , l'ensemble des nombres réels muni de la topologie limite inférieure .
Une σ -algèbre séparable est une σ -algèbre qui est un espace séparable lorsqu'elle est considérée comme un espace métrique avec une métrique pour et une mesure finie donnée (et avec étant l' opérateur de différence symétrique ).

Espaces non séparables

Le premier ordinal indénombrable , muni de sa topologie d'ordre naturel , n'est pas séparable.
L' espace de Banach de toutes les suites réelles bornées, muni de la norme du supremum , n'est pas séparable. Il en va de même pour .
L' espace de Banach des fonctions à variation bornée n'est pas séparable.

Propriétés

Un sous-espace d'un espace séparable n'est pas nécessairement séparable (voir le plan de Sorgenfrey et le plan de Moore ), mais tout sous-espace ouvert d'un espace séparable est séparable Willard 1970 , Th 16.4b) . De même, tout sous-espace d'un espace métrique séparable est séparable.
En fait, tout espace topologique est un sous-espace d'un espace séparable de même cardinalité . Seuls les points dénombrables du sous-ensemble dense dénombrable de l'espace séparable doivent être ajoutés. Une construction est donnée dans Sierpiński 1952 , p. 49) ; cette construction plonge de plus tout espace de Hausdorff dans un espace de Hausdorff séparable.
L'ensemble de toutes les fonctions continues à valeurs réelles sur un espace séparable a une cardinalité égale à celle du continu . Ceci découle du fait que ces fonctions sont déterminées par leurs valeurs sur des sous-ensembles denses.
De la propriété ci-dessus, on peut déduire ce qui suit : si X est un espace séparable possédant un sous-espace discret fermé non dénombrable, alors X ne peut pas être normal . Ceci montre que le plan de Sorgenfrey n’est pas normal.
Pour un espace compact de Hausdorff X , les propositions suivantes sont équivalentes :
norme du supremum est séparable.
X est métrisable.

Plongement d'espaces métriques séparables

Tout espace métrique séparable est homéomorphe à un sous-ensemble du cube de Hilbert . Ceci est établi dans la preuve du théorème de métrisation d'Urysohn .
Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-ensemble de l' espace de Banach ⁽ non séparable) l∞ de toutes les suites réelles bornées munies de la norme du supremum ; on parle alors d'injection de Fréchet. Heinonen 2003 )
Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-ensemble de C([0,1]), l'espace de Banach séparable des fonctions continues [0,1] → R , muni de la norme du supremum . Ce résultat est dû à Stefan Banach . Heinonen 2003 )
Tout espace métrique séparable est isométrique à un sous-ensemble de l' espace universel d'Urysohn .

Pour les espaces non séparables :

Un espace métrique de densité égale à un cardinal infini $Kleiber & Pervin 1969)$

Kelley, John L. (1975), Topologie générale , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN978-0-387-90125-1, MR 0370454

doi : 10.1017/S0004972700041411

Sierpiński, Wacław (1952), Topologie générale , Expositions mathématiques, n° 7, Toronto, Ont. : Presses de l'Université de Toronto, MR 0050870

Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contre-exemples en topologie ( réimpression Dover de l'édition de 1978), Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN978-0-486-68735-3, MR 0507446

Addison-Wesley , ISBN978-0-201-08707-9, MR 0264581

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