variation bornée

où le supremum est pris sur l'ensemble de toutes les partitions de l'intervalle considéré.

Si f est différentiable et que sa dérivée est Riemann-intégrable, sa variation totale est la composante verticale de la longueur d'arc de son graphe, c'est-à-dire,

On peut démontrer qu'une fonction réelle est à variation bornée dans si et seulement si elle peut être écrite comme la différence de deux fonctions non décroissantes et sur : ce résultat est connu sous le nom de décomposition de Jordan d'une fonction et il est lié à la décomposition de Jordan d'une mesure .

Grâce à l' intégrale de Stieltjes , toute fonction à variation bornée sur un intervalle fermé définit une forme linéaire bornée sur cet intervalle. Dans ce cas particulier, le théorème de représentation de Riesz-Markov-Kakutani affirme que toute forme linéaire bornée est obtenue de manière unique. Les formes positives normalisées, ou mesures de probabilité, correspondent à des fonctions positives non décroissantes et semi-continues inférieurement . Ce point de vue a été important en théorie spectrale , notamment pour son application aux équations différentielles ordinaires .

Les fonctions à variation bornée, ou fonctions BV , sont des fonctions dont la dérivée distributionnelle est une mesure de Radon finie . Plus précisément :

s'il existe une mesure de Radon vectorielle finie telle que l'égalité suivante soit vérifiée

c'est-à-dire, définit une fonctionnelle linéaire sur l'espace des fonctions vectorielles continûment différentiables à support compact contenu dans : la mesure vectorielle représente donc le gradient distributionnel ou faible de .

BV peut être défini de manière équivalente de la manière suivante.

dans est définie comme

où désigne la norme du supremum essentiel . Parfois, notamment dans la théorie des ensembles de Caccioppoli , on utilise la notation suivante :

afin de souligner que représente la variation totale du gradient distributionnel / faible de . Cette notation rappelle également que si est de classe (c'est-à-dire une fonction continue et différentiable ayant des dérivées continues ), alors sa variation est exactement l' intégrale de la valeur absolue de son gradient .

L'espace des fonctions à variation bornée ( fonctions BV ) peut alors être défini comme

Les deux définitions sont équivalentes puisque si alors

Par conséquent, définit une forme linéaire continue sur l'espace . Puisque, en tant que sous-espace vectoriel , cette forme linéaire continue peut être prolongée continûment et linéairement à tout d' après le théorème de Hahn-Banach . Ainsi, la forme linéaire continue définit une mesure de Radon d'après le théorème de représentation de Riesz-Markov-Kakutani .

Si l'on considère, dans les définitions précédentes 1.2 , 2.1 et 2.2, l' espace des fonctions localement intégrables (c'est- à-dire les fonctions appartenant à ) au lieu de celui des fonctions globalement intégrables , alors l'espace des fonctions défini est celui des fonctions à variation localement bornée . Plus précisément, en développant cette idée pour la définition 2.2 , une variation locale est définie comme suit :

Pour tout ensemble , étant donné que est défini comme l'ensemble de tous les sous-ensembles ouverts précompacts de relativement à la topologie standard des espaces vectoriels de dimension finie , et la classe correspondante des fonctions à variation localement bornée est définie comme

Il existe fondamentalement deux conventions distinctes pour la notation des espaces de fonctions à variation localement ou globalement bornée, et malheureusement elles sont assez similaires : la première, qui est celle adoptée dans cet article, est utilisée par exemple dans les références identifie l' espace des fonctions de variation globalement bornée

La seconde, adoptée partiellement dans les références identifie l' espace des fonctions de variation globalement bornée

Dans le cas d'une seule variable, l'affirmation est claire : pour chaque point de l' intervalle de définition de la fonction , l'une ou l'autre des deux affirmations suivantes est vraie.

tandis que les deux limites existent et sont finies. Dans le cas des fonctions de plusieurs variables, il y a quelques prémisses à comprendre : tout d’abord, il existe un continuum de directions le long desquelles il est possible d’approcher un point donné appartenant au domaine ⊂ . Il est nécessaire de préciser une notion appropriée de limite : en choisissant un vecteur unitaire, il est possible de diviser en deux ensembles

0\\} \\qquad \\Omega_{(-{\\boldsymbol{\\hat{a}}},\\boldsymbol{x}_0)} = \\Omega \\cap \\{\\boldsymbol{x}\\in\\mathbb{R}^n|\\langle\\boldsymbol{x}-\\boldsymbol{x}_0,-{\\boldsymbol{\\hat{a}}}\ angle>0\\} " $0\backslash \}\backslash qquad\; \backslash Omega\; \_\{(-\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash hat\; \{a\}\}\},\{\backslash boldsymbol\; \{x\}\}\_\{0\})\}=\backslash Omega\; \backslash cap\; \backslash \{\{\backslash boldsymbol\; \{x\}\}\backslash in\; \backslash mathbb\; \{R\}\; ^\{n\}|\backslash langle\; \{\backslash boldsymbol\; \{x\}\}-\{\backslash boldsymbol\; \{x\}\}\_\{0\},-\{\backslash boldsymbol\; \{\backslash hat\; \{a\}\}\}\; angle\; >0\backslash {\Omega }_{(\hat{a},x_0)}=\Omega \cap \{x\in R^n|⟨x-x_0,\hat{a}⟩>0\}{\Omega }_{(-\hat{a},x_0)}=\Omega \cap \{x\in R^n|⟨x-x_0,-\hat{a}⟩>0\}$0\}\qquad \Omega _{(-{\boldsymbol {\hat {a}}},{\boldsymbol {x}}_{0})}=\Omega \cap \{{\boldsymbol {x}}\in \mathbb {R} ^{n}|\langle {\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {x}}_{0},-{\boldsymbol {\hat {a}}} angle >0\

Alors, pour chaque point appartenant au domaine de la fonction BV , une seule des deux assertions suivantes est vraie.

ou appartient à un sous-ensemble de dimension zéro de mesure de Hausdorff . Les quantités

sont appelées limites approximatives de la fonction BV au point .

La fonctionnelle est semi-continue inférieurement : pour le voir, choisissons une suite de Cauchy de fonctions BV convergeant vers . Alors, puisque toutes les fonctions de la suite et leur fonction limite sont intégrables et par définition de la limite inférieure

Considérons maintenant le supremum sur l'ensemble des fonctions telles que , alors l'inégalité suivante est vérifiée.

ce qui correspond exactement à la définition de la semi-continuité inférieure .

Par définition, est un sous-ensemble de , tandis que la linéarité découle des propriétés de linéarité de l' intégrale définissante , c'est-à-dire

pour tous donc pour tous , et

pour tout , donc pour tout , et pour tout . Les propriétés d'espace vectoriel démontrées impliquent que est un sous-espace vectoriel de . Considérons maintenant la fonction définie comme

où désigne la norme usuelle : il est facile de prouver que c'est une norme sur . Pour montrer que est complet par rapport à elle, c'est-à-dire que c'est un espace de Banach , considérons une suite de Cauchy dans . Par définition, c'est aussi une suite de Cauchy dans et admet donc une limite dans : puisque est borné dans pour chaque , alors par semi-continuité inférieure de la variation , est donc une fonction BV. Enfin, toujours par semi-continuité inférieure, en choisissant un nombre positif arbitrairement petit

On en déduit que est continue car il s'agit d'une norme.

Pour le constater, il suffit de considérer l'exemple suivant appartenant à l'espace : pour chaque 0 < α < 1 définir

comme fonction caractéristique de l' intervalle fermé à gauche . Alors, en choisissant tel que la relation suivante soit vérifiée :

Pour prouver que tout sous-ensemble dense de ne peut être dénombrable , il suffit de montrer que pour tout , il est possible de construire les boules

Ces boules sont manifestement deux à deux disjointes et forment une famille indexée d' ensembles dont l'ensemble des indices est . Ceci implique que cette famille a la cardinalité du continu : or, puisque tout sous-ensemble dense de doit contenir au moins un point dans chaque élément de cette famille, sa cardinalité est au moins égale à celle du continu et, par conséquent, ne peut être un sous-ensemble dénombrable. Cet exemple peut être étendu aux dimensions supérieures et, puisqu'il ne fait intervenir que des propriétés locales , il implique que la même propriété est également vraie pour .

Les règles de la chaîne pour les fonctions non lisses sont fondamentales en mathématiques et en physique mathématique, car plusieurs modèles physiques importants sont décrits par des fonctions ou des fonctionnelles dont le degré de régularité est très limité . La règle de la chaîne suivante est démontrée dans l'article Vol'pert 1967 , p. 248) . Il est à noter que toutes les dérivées partielles doivent être interprétées au sens général, c'est-à-dire comme des dérivées généralisées .

Théorème . Soit une fonction de classe (c'est-à-dire une fonction continue et dérivable admettant des dérivées continues ) et soit une fonction de , étant un ouvert de . Alors et

où représente la valeur moyenne de la fonction au point , définie comme

Une formule plus générale de la règle de la chaîne pour les fonctions lipschitziennes a été établie par Luigi Ambrosio et Gianni Dal Maso et publiée dans leur article Ambrosio & Dal Maso, 1990 ) . Cependant, même cette formule a des conséquences directes importantes : on utilise à la place de , où est également une fonction. Il faut également supposer que est localement intégrable par rapport à la mesure pour chaque , et que est localement intégrable par rapport à la mesure pour chaque . En choisissant , la formule précédente donne la règle de Leibniz pour les fonctions « BV ».

Il est possible de généraliser la notion de variation totale ci-dessus afin que différentes variations soient pondérées différemment. Plus précisément, soit une fonction croissante quelconque telle que (la fonction de pondération ) et soit une fonction de l' intervalle prenant ses valeurs dans un espace vectoriel normé . Alors la -variation de sur est définie comme

où, comme d'habitude, le supremum est pris sur toutes les partitions finies de l'intervalle , c'est-à-dire tous les ensembles finis de nombres réels tels que

La notion originale de variation considérée ci-dessus est le cas particulier de -variation pour lequel la fonction de pondération est la fonction identité : par conséquent, une fonction intégrable est dite être une fonction BV pondérée (de poids ) si et seulement si sa -variation est finie.

L'espace est un espace vectoriel topologique par rapport à la norme

où désigne la norme supremum habituelle de . Les fonctions BV pondérées ont été introduites et étudiées dans toute leur généralité par Władysław Orlicz et Laurence Chisholm Young a étudié plus tôt le cas où est un entier positif.

Les fonctions SBV , c'est-à-dire les fonctions spéciales à variation bornée, ont été introduites par Luigi Ambrosio et Ennio De Giorgi dans l'article Ambrosio & De Giorgi 1988 ) , traitant des problèmes variationnels de discontinuité libre : étant donné un sous-ensemble ouvert de , l'espace est un sous-espace linéaire propre de , puisque le gradient faible de chaque fonction qui lui appartient consiste précisément en la somme d'un support de dimension et d'une mesure de support de dimension et aucun terme de dimension intermédiaire , comme on le voit dans la définition suivante.

Définition . Étant donné une fonction localement intégrable , alors si et seulement si

1. Il existe deux fonctions boréliennes et de domaine et de codomaine telles que

2. Pour toutes les fonctions vectorielles continûment différentiables à support compact contenues dans , c'est-à-dire pour tout , la formule suivante est vraie :

où se trouve la mesure de Hausdorff à - dimensions .

Des détails sur les propriétés des fonctions SBV peuvent être trouvés dans les travaux cités dans la section bibliographique : en particulier, l'article De Giorgi 1992 ) contient une bibliographie utile .

À titre d'exemples particuliers d' espaces de Banach , suite x = ( x _{_i} ) de nombres réels ou complexes est définie par

L'espace de toutes les suites à variation totale finie est noté BV. La norme sur BV est donnée par

Avec cette norme, l'espace BV est un espace de Banach qui est isomorphe à .

La variation totale elle-même définit une norme sur un certain sous-espace de BV, noté BV ₀ , constitué de suites x = ( x _i ) pour lesquelles

La norme sur BV ₀ est notée

Par rapport à cette norme, BV ₀ devient également un espace de Banach, qui est isomorphe et isométrique à (bien que pas de manière naturelle).

Une mesure signée (ou complexe ) sur un espace mesurable est dite à variation bornée si sa variation totale est bornée : voir Variation totale » pour plus de détails.

Les fonctions à variation bornée ont été étudiées en lien avec l'ensemble des discontinuités de fonctions et la différentiabilité des fonctions réelles, et les résultats suivants sont bien connus. Si est une fonction réelle à variation bornée sur un intervalle , alors

• est continue sauf au plus sur un ensemble dénombrable ;
• a des limites unilatérales partout (limites à gauche partout dans , et à droite partout dans ;
• la dérivée existe presque partout (c'est-à-dire sauf pour un ensemble de mesure nulle ).

Pour les fonctions réelles de plusieurs variables réelles

• La fonction caractéristique d'un ensemble de Caccioppoli est une fonction BV : les fonctions BV sont à la base de la théorie moderne des périmètres.
• Les surfaces minimales sont des graphes de fonctions BV : dans ce contexte, voir la référence Giusti 1984 ) .

La capacité des fonctions à variation bornée (FVB) à traiter les discontinuités a largement contribué à leur utilisation dans les sciences appliquées : les solutions de problèmes en mécanique, en physique et en cinétique chimique sont très souvent représentables par des FVB. L’ouvrage Hudjaev et Vol’pert, 1985 ) détaille un vaste ensemble d’applications des FVB en physique mathématique. On y trouve également quelques applications modernes qui méritent d’être brièvement décrites.

• La fonctionnelle de Mumford-Shah : le problème de segmentation d'une image bidimensionnelle, c'est-à-dire le problème de la reproduction fidèle des contours et des niveaux de gris, est équivalent à la minimisation d'une telle fonctionnelle .
• Débruitage par variation totale