Fonction localement intégrable

En mathématiques , une fonction localement intégrable (parfois appelée fonction localement sommable ) est une fonction intégrable (donc son intégrale est finie) sur tout sous-ensemble compact de son domaine de définition . L'importance de ces fonctions réside dans le fait que leur espace fonctionnel est similaire aux espaces de fonctions p-intégrables , mais que ses éléments ne sont soumis à aucune restriction de croissance à la frontière de leur domaine (à l'infini si le domaine est non borné) : autrement dit, les fonctions localement intégrables peuvent croître arbitrairement vite à la frontière de leur domaine, tout en restant manipulables de manière similaire aux fonctions intégrables ordinaires.

de l' espace euclidien et soit une fonction Lebesgue- mesurable . Si sur est telle que

c'est-à-dire que son intégrale de Lebesgue est finie sur tous les sous-ensembles compacts de , alors est dite localement intégrable . L' ensemble de toutes ces fonctions est noté : où désigne la restriction de à l'ensemble .

Une autre définition

] Soit un ouvert de l'espace euclidien . Alors une fonction telle que

Pour chaque fonction test , on dit qu'elle est localement intégrable , et l'ensemble de ces fonctions est noté . Ici, désigne l'ensemble de toutes les fonctions infiniment différentiables à support compact contenues dans .

Cette définition trouve son origine dans l'approche de la théorie de la mesure et de l'intégration fondée sur le concept de fonctionnelle linéaire continue sur un espace vectoriel topologique , développée par l' école de Nicolas Bourbaki . C'est également celle adoptée par

Démonstration du lemme 1

Seulement si partie : Soit une fonction test. Elle est bornée par sa norme du supremum , mesurable et possède un support compact , que nous appellerons . Par conséquent,

par définition 1 .

Soit un sous-ensemble compact de l'ensemble ouvert . Nous allons d'abord construire une fonction test qui majore la fonction indicatrice de . La distance ensembliste usuelle entre et la frontière est strictement supérieure à zéro, c'est-à-dire ,

0,"

0, Δ := d (K, \partial Ω) > 0,

:=d(K,\partial \Omega )>0,}

Il est donc possible de choisir un nombre réel tel que (si est l'ensemble vide, prendre ). Soient et les voisinages fermés et les voisinages de de respectivement. Ils sont également compacts et satisfont $2\delta >0 Δ > 2 δ > 0$

\\delta>0."

\delta >0. K \subset K_{δ} \subset K_{2 δ} \subset Ω, d (K_{δ}, \partial Ω) = Δ - δ > δ > 0.

\delta >0.

Utilisez maintenant la convolution pour définir la fonction par

où est un modificateur construit à partir du modificateur symétrique positif standard . De toute évidence, est non négatif au sens où , infiniment différentiable, et son support est inclus dans . En particulier, c'est une fonction test. Puisque pour tout , on a .

Soit une fonction localement intégrable selon la définition 2. Alors

Puisque cela est vrai pour tout sous-ensemble compact de , la fonction est localement intégrable selon la définition 1. □

Définition générale de l'intégrabilité locale sur un espace mesuré généralisé

La définition classique 1 d'une fonction localement intégrable ne fait intervenir que des concepts de théorie de la mesure et de topologie et peut donc être étendue aux fonctions complexes abstraites sur un espace mesuré topologique . Néanmoins, le concept de fonction localement intégrable peut être défini même sur un espace mesuré généralisé , où n'est plus nécessairement une sigma-algèbre mais seulement un anneau d'ensembles et, notamment, n'a pas besoin d'être muni de la structure d'un espace topologique.

10 ] Soit un triplet ordonné (X , Y) où X est un ensemble non vide, Ω un anneau d'ensembles et ε une mesure positive sur X. Soit f une fonction de X vers un espace de Banach ou vers la droite réelle étendue Ω . Alors f est dite localement intégrable par rapport à X si, pour tout ensemble X ∈ X , la fonction f est intégrable par rapport à X.

L'équivalence de la définition 1 et de la définition 1A lorsque est un espace topologique peut être prouvée en construisant un anneau d'ensembles à partir de l'ensemble des sous-ensembles compacts de par les étapes suivantes.

Il est évident que , de plus, les opérations d'union et d'intersection forment un treillis avec une borne supérieure minimale et une borne inférieure maximale .
La classe d'ensembles définie comme est un semi-anneau d'ensembles tel que, du fait de la condition .
La classe d'ensembles définie comme , c'est-à-dire la classe formée par des unions finies d'ensembles deux à deux disjoints de , est un anneau d'ensembles , précisément le plus petit engendré par .

À l'aide de ce cadre abstrait, théorie des distributions sur les espaces euclidiens , et leur domaine est donc invariablement un sous-ensemble d'un espace topologique.

Généralisation : fonctions localement p -intégrables

] Soit un ouvert de l'espace euclidien et soit une fonction Lebesgue-mesurable. Si, pour un donné avec , satisfait

c'est-à - dire, si elle appartient à pour tous les sous-ensembles compacts de , alors elle est dite localement intégrable ou également localement intégrable . L' ensemble de toutes ces fonctions est noté :

Une définition alternative, parfaitement analogue à celle donnée pour les fonctions localement intégrables, peut également être proposée pour les fonctions localement −intégrables : elle peut aussi être et démontrée équivalente à celle de cette section. Malgré leur généralité apparemment plus élevée, les fonctions localement −intégrables forment un sous-ensemble des fonctions localement intégrables pour tout tel que .

Notation

Hormis les différents glyphes pouvant être utilisés pour la lettre « L » majuscule il existe peu de variantes pour la notation de l'ensemble des fonctions localement intégrables.

$adopté par Vladimirov 2002, p. 3) .$
adopté par adopté par espace métrisable complet : sa topologie peut être engendrée par la métrique suivante :
où est une famille d'ensembles ouverts non vides telle que
- $, ce qui signifie que est contenu de manière compacte dans , c'est-à-dire que chacun d'eux est un ensemble dont la fermeture est compacte et strictement incluse dans l'ensemble d'indice supérieur.$
- $et enfin$
- $, est une famille indexée de semi-normes, définie comme$
Dans Gilbarg & Trudinger 2001 , p. 147) , Maz'ya & Poborchi 1997 , p. 5) , Maz'ja 1985 , p. 6) et Maz'ya 2011 , p. 2) , ce théorème est énoncé mais non prouvé sur une base formelle : une preuve complète d'un résultat plus général, qui l'inclut, peut être trouvée dans Meise & Vogt 1997 , p. 40) .

L _p est un sous-espace de L _{1,loc} pour tout p ≥ 1

${ extstyle f </span referrerpolicy=$

Démonstration . Ce cas est trivial, donc dans la suite de la démonstration, on suppose que . Considérons la fonction caractéristique d'un sous-ensemble compact de : alors, pour ,

où

$est un nombre positif tel que pour un donné ,$
$est la mesure de Lebesgue de l' ensemble compact .$

Alors, pour tout appartenant au produit , est intégrable par l' inégalité de Hölder , c'est-à-dire appartient à et

donc

Notez que puisque l'inégalité suivante est vraie

Le théorème est également vrai pour les fonctions appartenant uniquement à l'espace des fonctions localement intégrables ; par conséquent, le théorème implique également le résultat suivant.

${ extstyle f L_{1, loc} (Ω)$

Remarque : Si est un ouvert de et borné, alors on a l'inclusion usuelle , ce qui est cohérent avec l'inclusion ci-dessus . Cependant, la première de ces affirmations est fausse si n'est pas borné ; alors il est toujours vrai que pour tout , mais pas que . Pour le démontrer, on considère généralement la fonction , qui appartient à mais pas à pour tout fini .

L _1,loc est l'espace des densités de mesures absolument continues

${ extstyle f </span referrerpolicy=$

La démonstration de ce résultat est esquissée par Schwartz 1998 , p. 18) . En d'autres termes, ce théorème affirme que toute fonction localement intégrable définit une mesure absolument continue et réciproquement que toute mesure absolument continue définit une fonction localement intégrable : c'est également, dans le cadre de la théorie abstraite de la mesure, la forme de l'important théorème de Radon-Nikodym présenté par Stanisław Saks dans son traité.

Exemples

La fonction constante $les constantes , les fonctions continues et les fonctions intégrables sont localement intégrables.$
La fonction est localement intégrable sur , mais pas globalement . Elle est localement intégrable car tout ensemble compact a une distance positive à et est donc bornée sur . Cet exemple confirme l'affirmation initiale selon laquelle les fonctions localement intégrables n'exigent pas la satisfaction de conditions de croissance au voisinage du bord dans les domaines bornés.
La fonction

n'est pas localement intégrable en : elle l'est en fait au voisinage de ce point puisque son intégrale sur tout compact ne l'incluant pas est finie. Formellement, : cependant, cette fonction peut être étendue à une distribution sur l'ensemble comme valeur principale de Cauchy .

L'exemple précédent soulève une question : toute fonction localement intégrable admet-elle un prolongement à l'ensemble comme distribution ? La réponse est négative, et la fonction suivante en fournit un contre-exemple :

ne définit aucune distribution sur .

L'exemple suivant, semblable au précédent, est une fonction appartenant à laquelle sert de contre-exemple élémentaire dans l'application de la théorie des distributions aux opérateurs différentiels à coefficients singuliers irréguliers :

0,\\\\ 0 & x=0,\\\\ k_2 e^{1/x^2} &x<0, \\end{cases} "

0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases f (x) = {\begin{matrix} k_{1} e^{1 / x^{2}} & x > 0, \\ 0 & x = 0, \\ k_{2} e^{1 / x^{2}} & x < 0, \end{matrix}

0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases

où et sont des constantes complexes , est une solution générale de l' équation différentielle élémentaire non fuchsienne du premier ordre suivante

Là encore, elle ne définit aucune distribution globale si ou ne sont pas nuls : la seule solution globale distributionnelle d’une telle équation est donc la distribution nulle, et ceci montre comment, dans cette branche de la théorie des équations différentielles, on ne peut s’attendre à ce que les méthodes de la théorie des distributions aient le même succès que dans d’autres branches de la même théorie, notamment dans la théorie des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

Applications

Les fonctions localement intégrables jouent un rôle prépondérant en théorie des distributions et interviennent dans la définition de diverses classes de fonctions et d'espaces fonctionnels , comme les fonctions à variation bornée . De plus, elles apparaissent dans le théorème de Radon-Nikodym en caractérisant la partie absolument continue de toute mesure.