Fonction indicateur

Un graphique tridimensionnel d'une fonction indicatrice, affiché sur un domaine carré bidimensionnel (ensemble

mathématiques , la fonction indicatrice, ou fonction caractéristique, d'un sous-ensemble d'un ensemble est une fonction qui associe à chaque élément du sous-ensemble la valeur 1, et à tous les autres éléments la valeur 0. Autrement dit, si La fonction indicatrice de crochet d'Iverson de la propriété d'appartenance à Par exemple, la fonction de Dirichlet est la fonction indicatrice des nombres rationnels en tant que sous-ensemble des nombres réels . Le crochet d'Iverson fournit la notation équivalente ou La fonction est parfois notée fonction caractéristique en analyse convexe, qui est définie comme si l'on utilisait l' inverse de la définition standard de la fonction indicatrice. Un concept apparenté en statistiques est celui de variable fictive . (Il ne faut pas le confondre avec les « variables fictives » telles qu'elles sont généralement utilisées en mathématiques, également appelées variables liées .) Le terme « fonction caractéristique » a une signification différente en théorie des probabilités classique . C’est pourquoi les probabilistes traditionnels utilisent presque exclusivement le terme « fonction indicatrice » pour désigner la fonction définie ici, tandis que les mathématiciens d’autres domaines préfèrent utiliser le terme « fonction caractéristique » pour décrire la fonction qui indique l’appartenance à un ensemble. En logique floue et en logique multivaluée moderne, les prédicats sont les fonctions caractéristiques d'une distribution de probabilité . Autrement dit, la valeur binaire stricte (vrai/faux) du prédicat est remplacée par une quantité interprétée comme le degré de vérité.

Propriétés de base

La fonction indicatrice ou caractéristique d'un sous-ensemble $associe aux éléments de codomaine$

Cette application est surjective uniquement lorsque $sous-ensemble propre non vide de$

Si et sont deux sous-ensembles de alors

et la fonction indicatrice du complément de ie est :

Plus généralement, supposons que soit une collection de sous-ensembles de

est un produit de

En développant le produit sur le côté gauche,

où est la cardinalité de $inclusion-exclusion .$

Comme le suggère l'exemple précédent, la fonction indicatrice est un outil de notation utile en combinatoire . Cette notation est également utilisée ailleurs, par exemple en théorie des probabilités : si $espace probabilisé muni d'une mesure de probabilité et ensemble mesurable , alors devient une variable aléatoire dont l'espérance est égale à la probabilité de$

Cette identité est utilisée dans une preuve simple de l'inégalité de Markov .

Dans de nombreux cas, comme en théorie de l'ordre , on peut définir l'inverse de la fonction indicatrice. On l'appelle généralement fonction de Möbius généralisée , par généralisation de l'inverse de la fonction indicatrice en théorie élémentaire des nombres , la fonction de Möbius . (Voir le paragraphe ci-dessous concernant l'utilisation de l'inverse en théorie de la récursivité classique.)

Moyenne, variance et covariance

Étant donné un espace de probabilité muni d'une variable aléatoire indicatrice, celle-ci est définie par si sinon

Signifier: $(également appelé « pont fondamental »).$

Variance

Covariance

Fonction caractéristique en théorie de la récursivité, fonction représentative de Gödel et de Kleene

Kurt Gödel a décrit la fonction de représentation dans son article de 1934 intitulé « Sur les propositions indécidables des systèmes mathématiques formels » (le symbole «

Kleene propose la même définition dans le contexte des fonctions récursives primitives , selon laquelle une fonction $, des opérateurs mu bornés et non bornés et de la fonction CASE.$

Fonction caractéristique en théorie des ensembles flous

En mathématiques classiques, les fonctions caractéristiques des ensembles ne prennent que les valeurs $théorie des ensembles flous , les fonctions caractéristiques sont généralisées pour prendre des valeurs dans l'intervalle réel algèbre ou structure (généralement un ensemble partiellement ordonné ou un treillis). Ces fonctions caractéristiques généralisées sont plus communément appelées fonctions d'appartenance, et les « ensembles » correspondants sont appelés ensembles flous . Les ensembles flous modélisent la variation progressive du degré d'appartenance observée dans de nombreux prédicats du monde réel comme « grand », « chaud », etc.$

Douceur

support est une composante connexe . En géométrie algébrique des corps finis , cependant, toute variété affine admet une fonction indicatrice continue ( au sens de Zariski ). Étant donné un ensemble fini de fonctions, soit leur lieu d'annulation. Alors, la fonction agit comme fonction indicatrice pour . Si , alors ; sinon, pour un certain , on a , ce qui implique que .

0{\bigr ) H (x) \equiv I (x > 0)