Heaviside step function

La fonction delta de Dirac est la dérivée faible de la fonction de Heaviside : on peut donc considérer la fonction de Heaviside comme l’ intégrale de la fonction delta de Dirac. On écrit parfois ceci : bien que ce développement puisse ne pas être valable (ou même avoir un sens) pour fonction de répartition d’une variable aléatoire presque sûrement nulle. (Voir Variable aléatoire constante .)

Les approximations de la fonction en escalier de Heaviside sont utiles en biochimie et en neurosciences , où les approximations logistiques des fonctions en escalier (telles que les équations de Hill et de Michaelis-Menten ) peuvent être utilisées pour approximer les commutateurs cellulaires binaires en réponse à des signaux chimiques.

Pour une approximation lisse de la fonction en escalier, on peut utiliser la fonction logistique : où un

Des approximations de la fonction de Heaviside peuvent être réalisées à l'aide d' une fonction de transition lisse comme :

Une représentation intégrale de la fonction en escalier de Heaviside est souvent utile : la seconde représentation se déduit facilement de la première, étant donné que la fonction en escalier est réelle et est donc son propre conjugué complexe .

Puisque l'intégration , et que la valeur d'une fonction en un point donné n'affecte pas son intégrale, le choix de la valeur précise de distribution ou un élément de espace presque partout . Si l'on utilise une approximation analytique (comme dans les exemples précédents ), on recourt souvent à la limite pertinente en zéro.

Il existe diverses raisons de choisir une valeur particulière.

• possèdealors symétrie de rotation; autrement dit, impaire. Dans ce cas, la relation suivante avec lafonction signeest valable pour tout
• continue à droite . Par exemple, les fonctions de répartition sont généralement considérées comme continues à droite, de même que les fonctions intégrées par rapport à dans l'intégration de Lebesgue-Stieltjes . Dans ce cas, fonction indicatrice d'unintervalle semi-infini fermé : la distribution de probabilité correspondante est la distribution dégénérée .
• continue à gauche . Dans ce cas, ouvert .
• Dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, notamment en optimisation et en théorie des jeux , il est souvent utile de définir la fonction de Heaviside comme une fonction multivoque afin de préserver la continuité des fonctions limites et d'assurer l'existence de certaines solutions. Dans ces cas, la fonction de Heaviside renvoie un intervalle complet de solutions possibles, entier . Si 0,\end{cases delta de Kronecker : où est la fonction d'impulsion unitaire discrète .

La fonction rampe est une primitive de la fonction échelon de Heaviside : La dérivée distributionnelle de la fonction échelon de Heaviside est la fonction delta de Dirac :

La transformée de Fourier de la fonction en escalier de Heaviside est une distribution. En utilisant un choix de constantes pour la définition de la transformée de Fourier, nous avons ici distributionqui fait passer une fonction testvaleur principale de Cauchyde. La limite apparaissant dans l'intégrale est également prise au sens des distributions (tempérées).

La transformée de Laplace de la fonction en escalier de Heaviside est une fonction méromorphe . En utilisant la transformée de Laplace unilatérale, on obtient :

Lorsqu'on utilise la transformation bilatérale , l'intégrale peut être divisée en deux parties et le résultat sera le même.