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Géométrie algébrique

Cette surface de Togliatti est une surface algébrique de degré cinq. L'image représente une portion de son lieu réel . La géométrie algébrique est une branche des mathématiques ...

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La géométrie algébrique est une branche des mathématiques qui utilise des techniques algébriques abstraites , principalement issues de l'algèbre commutative , pour résoudre des problèmes géométriques . Classiquement, elle étudie les zéros de polynômes multivariés ; l'approche moderne généralise cela sous quelques aspects différents.

Les objets fondamentaux d'étude en géométrie algébrique sont les variétés algébriques , qui sont des manifestations géométriques de solutions de systèmes d'équations polynomiales . Les exemples des classes de variétés algébriques les plus étudiées sont les droites , les cercles , les paraboles , les ellipses , les hyperboles , les courbes cubiques comme les courbes elliptiques et les courbes quartiques comme les lemniscates et les ovales de Cassini . Ce sont des courbes algébriques planes . Un point du plan se trouve sur une courbe algébrique si ses coordonnées satisfont une équation polynomiale donnée . Les questions de base impliquent l'étude de points d'intérêt particulier comme les points singuliers , les points d'inflexion et les points à l'infini . Les questions plus avancées impliquent la topologie de la courbe et la relation entre les courbes définies par différentes équations.

La géométrie algébrique occupe une place centrale dans les mathématiques modernes et entretient de multiples liens conceptuels avec des domaines aussi divers que l'analyse complexe , la topologie et la théorie des nombres . En tant qu'étude des systèmes d'équations polynomiales à plusieurs variables, la géométrie algébrique commence par la recherche de solutions spécifiques via la résolution d'équations , puis procède à la compréhension des propriétés intrinsèques de la totalité des solutions d'un système d'équations. Cette compréhension nécessite à la fois une théorie conceptuelle et une technique de calcul.

Au XXe siècle, la géométrie algébrique s’est divisée en plusieurs sous-domaines.

• Le courant principal de la géométrie algébrique est consacré à l'étude des points complexes des variétés algébriques et plus généralement aux points de coordonnées dans un corps algébriquement clos .
• La géométrie algébrique réelle est l’étude des variétés algébriques réelles.
• La géométrie diophantienne et, plus généralement, la géométrie arithmétique est l'étude des variétés algébriques sur des corps qui ne sont pas algébriquement clos et, plus spécifiquement, sur des corps d'intérêt en théorie algébrique des nombres , tels que le corps des nombres rationnels , les corps de nombres , les corps finis , les corps de fonctions et les corps p -adiques .
• Une grande partie de la théorie des singularités est consacrée aux singularités des variétés algébriques.
• La géométrie algébrique computationnelle est un domaine qui a émergé à l'intersection de la géométrie algébrique et du calcul formel , avec l'essor des ordinateurs. Elle consiste principalement en la conception d'algorithmes et le développement de logiciels pour l'étude des propriétés de variétés algébriques explicitement données.

Une grande partie du développement du courant dominant de la géométrie algébrique au XXe siècle s'est produite dans un cadre algébrique abstrait, l'accent étant de plus en plus mis sur les propriétés « intrinsèques » des variétés algébriques ne dépendant d'aucune manière particulière d'intégrer la variété dans un espace de coordonnées ambiant ; cela est parallèle aux développements de la topologie, de la géométrie différentielle et de la géométrie complexe . Une réalisation clé de cette géométrie algébrique abstraite est la théorie des schémas de Grothendieck qui permet d'utiliser la théorie des faisceaux pour étudier les variétés algébriques d'une manière très similaire à son utilisation dans l'étude des variétés différentielles et analytiques . Cela est obtenu en étendant la notion de point : En géométrie algébrique classique, un point d'une variété affine peut être identifié, grâce au Nullstellensatz de Hilbert , à un idéal maximal de l' anneau de coordonnées , tandis que les points du schéma affine correspondant sont tous des idéaux premiers de cet anneau. Cela signifie qu'un point d'un tel schéma peut être soit un point habituel, soit une sous-variété. Cette approche permet également d'unifier le langage et les outils de la géométrie algébrique classique, principalement axée sur les points complexes, et de la théorie algébrique des nombres. La démonstration par Wiles de la conjecture de longue date appelée le dernier théorème de Fermat est un exemple de la puissance de cette approche.

En géométrie algébrique classique, les principaux objets d'intérêt sont les ensembles nuls de collections de polynômes , c'est-à-dire l'ensemble de tous les points qui satisfont simultanément une ou plusieurs équations polynomiales . Par exemple, la sphère bidimensionnelle de rayon 1 dans l'espace euclidien tridimensionnel R ³ pourrait être définie comme l'ensemble de tous les points avec

Un cercle « incliné » dans R ³ peut être défini comme l'ensemble de tous les points qui satisfont les deux équations polynomiales

Commençons d'abord par un corps k . En géométrie algébrique classique, ce corps était toujours les nombres complexes C , mais la plupart des mêmes résultats sont vrais si l'on suppose seulement que k est algébriquement clos . On considère l' espace affine de dimension n sur k , noté A ⁿ ( k ) (ou plus simplement A ⁿ , lorsque k ressort clairement du contexte). Lorsqu'on fixe un système de coordonnées, on peut identifier A ⁿ ( k ) à k ⁿ . Le fait de ne pas travailler avec k ⁿ a pour but de souligner que l'on « oublie » la structure de l'espace vectoriel que porte k ⁿ .

Une fonction f : A ⁿ → A ¹ est dite polynomiale (ou régulière ) si elle peut s'écrire sous forme de polynôme, c'est-à-dire s'il existe un polynôme p dans k [ x ₁ ,..., x _n ] tel que f ( M ) = p ( t ₁ ,..., t _n ) pour tout point M de coordonnées ( t ₁ ,..., t _n ) dans A ⁿ . La propriété d'une fonction d'être polynomiale (ou régulière) ne dépend pas du choix d'un repère dans A ⁿ .

Lorsqu'un système de coordonnées est choisi, les fonctions régulières sur l'espace affine n peuvent être identifiées à l'anneau des fonctions polynomiales à n variables sur k . Par conséquent, l'ensemble des fonctions régulières sur A ⁿ est un anneau, qui est noté k [ A ⁿ ].

On dit qu'un polynôme s'annule en un point si son évaluation en ce point donne zéro. Soit S un ensemble de polynômes dans k [ A ⁿ ]. L' ensemble nul de S (ou lieu nul ou ensemble nul ) est l'ensemble V ( S ) de tous les points de A ⁿ où tout polynôme de S s'annule. Symboliquement,

Un sous-ensemble de A ⁿ qui est V ( S ), pour un certain S , est appelé ensemble algébrique . Le V désigne la variété (un type spécifique d'ensemble algébrique qui sera défini ci-dessous).

Étant donné un sous-ensemble U de A ⁿ , peut-on retrouver l'ensemble des polynômes qui l'engendrent ? Si U est un sous-ensemble quelconque de A ⁿ , on définit I ( U ) comme l'ensemble de tous les polynômes dont l'ensemble nul contient U . Le I représente l' idéal : si deux polynômes f et g s'annulent tous les deux sur U , alors f + g s'annule sur U , et si h est un polynôme quelconque, alors hf s'annule sur U , donc I ( U ) est toujours un idéal de l'anneau de polynômes k [ A ⁿ ].

Deux questions naturelles à se poser sont :

• Étant donné un sous-ensemble U de A ⁿ , quand est-ce que U = V ( I ( U )) ?
• Étant donné un ensemble S de polynômes, quand S = I ( V ( S )) ?

La réponse à la première question est fournie par l'introduction de la topologie de Zariski , une topologie sur A ⁿ dont les fermés sont les ensembles algébriques, et qui reflète directement la structure algébrique de k [ A ⁿ ]. Alors U = V ( I ( U )) si et seulement si U est un ensemble algébrique ou de manière équivalente un ensemble Zariski-fermé. La réponse à la seconde question est donnée par le Nullstellensatz de Hilbert . Sous une de ses formes, il dit que I ( V ( S )) est le radical de l'idéal engendré par S . Dans un langage plus abstrait, il existe une connexion de Galois , donnant lieu à deux opérateurs de fermeture ; ils peuvent être identifiés, et jouent naturellement un rôle fondamental dans la théorie ; l' exemple est élaboré à Connexion de Galois.

Pour diverses raisons , nous ne souhaitons pas toujours travailler avec l'idéal entier correspondant à un ensemble algébrique U. Le théorème de base de Hilbert implique que les idéaux dans k [ A ⁿ ] sont toujours de type fini.

Un ensemble algébrique est dit irréductible s'il ne peut pas s'écrire comme la réunion de deux ensembles algébriques plus petits. Tout ensemble algébrique est une réunion finie d'ensembles algébriques irréductibles et cette décomposition est unique. Ainsi, ses éléments sont appelés les composantes irréductibles de l'ensemble algébrique. Un ensemble algébrique irréductible est aussi appelé une variété . Il s'avère qu'un ensemble algébrique est une variété si et seulement s'il peut être défini comme l'ensemble nul d'un idéal premier de l' anneau de polynômes .

Certains auteurs ne font pas de distinction claire entre les ensembles algébriques et les variétés et utilisent la variété irréductible pour faire la distinction lorsque cela est nécessaire.

De même que les fonctions continues sont les applications naturelles sur les espaces topologiques et les fonctions lisses sont les applications naturelles sur les variétés différentiables , il existe une classe naturelle de fonctions sur un ensemble algébrique, appelées fonctions régulières ou fonctions polynomiales . Une fonction régulière sur un ensemble algébrique V contenu dans A ⁿ est la restriction à V d'une fonction régulière sur A ⁿ . Pour un ensemble algébrique défini sur le corps des nombres complexes, les fonctions régulières sont lisses et même analytiques .

Il peut sembler anormalement restrictif d'exiger qu'une fonction régulière s'étende toujours à l'espace ambiant, mais c'est très similaire à la situation dans un espace topologique normal , où le théorème d'extension de Tietze garantit qu'une fonction continue sur un sous-ensemble fermé s'étend toujours à l'espace topologique ambiant.

Tout comme les fonctions régulières sur l'espace affine, les fonctions régulières sur V forment un anneau, que nous désignons par k [ V ]. Cet anneau est appelé anneau de coordonnées de V .

Comme les fonctions régulières sur V proviennent de fonctions régulières sur A ⁿ , il existe une relation entre les anneaux de coordonnées. Plus précisément, si une fonction régulière sur V est la restriction de deux fonctions f et g dans k [ A ⁿ ], alors f − g est une fonction polynomiale qui est nulle sur V et appartient donc à I ( V ). Ainsi, k [ V ] peut être identifié à k [ A ⁿ ]/ I ( V ).

En utilisant des fonctions régulières d'une variété affine vers A ¹ , nous pouvons définir des applications régulières d'une variété affine vers une autre. Nous allons d'abord définir une application régulière d'une variété vers l'espace affine : Soit V une variété contenue dans A ⁿ . Choisissons m fonctions régulières sur V , et appelons-les f ₁ , ..., f _m . Nous définissons une application régulière f de V vers A ^m en posant f = ( f ₁ , ..., f _m ) . En d'autres termes, chaque f _i détermine une coordonnée de l' étendue de f .

Si V ′ est une variété contenue dans A ^m , on dit que f est une application régulière de V vers V ′ si l'ensemble des éléments f est contenu dans V ′.

La définition des applications régulières s'applique aussi aux ensembles algébriques. Les applications régulières sont aussi appelées morphismes , car elles regroupent tous les ensembles algébriques affines dans une catégorie , où les objets sont les ensembles algébriques affines et les morphismes sont les applications régulières. Les variétés affines sont une sous-catégorie de la catégorie des ensembles algébriques.

Étant donnée une application régulière g de V dans V ′ et une fonction régulière f de k [ V ′], alors f ∘ g ∈ k [ V ] . L'application f → f ∘ g est un homomorphisme d'anneaux de k [ V ′] dans k [ V ]. Inversement, tout homomorphisme d'anneaux de k [ V ′] dans k [ V ] définit une application régulière de V dans V ′. Ceci définit une équivalence de catégories entre la catégorie des ensembles algébriques et la catégorie opposée des k -algèbres réduites de type fini . Cette équivalence est l'un des points de départ de la théorie des schémas .

Contrairement aux sections précédentes, cette section ne concerne que les variétés et non les ensembles algébriques. Par contre, les définitions s'étendent naturellement aux variétés projectives (section suivante), car une variété affine et sa complétion projective ont le même corps de fonctions.

Si V est une variété affine, son anneau de coordonnées est un ensemble intègre et possède donc un corps de fractions noté k ( V ) et appelé corps des fonctions rationnelles sur V ou, en bref, corps de fonctions de V. Ses éléments sont les restrictions à V des fonctions rationnelles sur l'espace affine contenant V. L' ensemble de définition d'une fonction rationnelle f n'est pas V mais le complément de la sous-variété (une hypersurface) où le dénominateur de f s'annule.

Comme pour les applications régulières, on peut définir une application rationnelle d'une variété V vers une variété V '. Comme pour les applications régulières, les applications rationnelles de V vers V ' peuvent être identifiées aux homomorphismes de corps de k ( V ') vers k ( V ).

Deux variétés affines sont birationnellement équivalentes si elles ont entre elles deux fonctions rationnelles qui sont inverses l'une de l'autre dans les régions où elles sont toutes deux définies. De manière équivalente, elles sont birationnellement équivalentes si leurs corps de fonctions sont isomorphes.

Une variété affine est une variété rationnelle si elle est birationnellement équivalente à un espace affine. Cela signifie que la variété admet une paramétrisation rationnelle , c'est-à-dire une paramétrisation avec des fonctions rationnelles . Par exemple, le cercle d'équation est une courbe rationnelle, car il a l' équation paramétrique

qui peut également être considéré comme une application rationnelle de la ligne au cercle.

Le problème de résolution des singularités est de savoir si toute variété algébrique est birationnellement équivalente à une variété dont la complétion projective est non singulière (voir aussi complétion lisse ). Il a été résolu affirmativement en caractéristique 0 par Heisuke Hironaka en 1964 et n'est pas encore résolu en caractéristique finie.

De même que les formules des racines des polynômes du deuxième, du troisième et du quatrième degré suggèrent d'étendre les nombres réels au cadre algébriquement plus complet des nombres complexes, de nombreuses propriétés des variétés algébriques suggèrent d'étendre l'espace affine à un espace projectif géométriquement plus complet. Alors que les nombres complexes s'obtiennent en ajoutant le nombre i , racine du polynôme x ² + 1 , l'espace projectif s'obtient en ajoutant des points appropriés « à l'infini », des points où des droites parallèles peuvent se rencontrer.

Pour voir comment cela pourrait se produire, considérons la variété V ( y − x ² ) . Si nous la dessinons, nous obtenons une parabole . Lorsque x tend vers l'infini positif, la pente de la droite allant de l'origine au point ( x , x ² ) tend également vers l'infini positif. Lorsque x tend vers l'infini négatif, la pente de la même droite tend vers l'infini négatif.

Comparez cela à la variété V ( y − x ³ ). Il s'agit d'une courbe cubique . Lorsque x tend vers l'infini positif, la pente de la droite allant de l'origine au point ( x , x ³ ) tend vers l'infini positif, comme précédemment. Mais contrairement à avant, lorsque x tend vers l'infini négatif, la pente de la même droite tend également vers l'infini positif ; l'exact opposé de la parabole. Ainsi, le comportement « à l'infini » de V ( y − x ³ ) est différent du comportement « à l'infini » de V ( y − x ² ).

La considération de la complétude projective des deux courbes, qui est leur prolongation « à l'infini » dans le plan projectif , permet de quantifier cette différence : le point à l'infini de la parabole est un point régulier , dont la tangente est la droite à l'infini , tandis que le point à l'infini de la courbe cubique est une pointe . De plus, les deux courbes sont rationnelles, car paramétrées par x , et le théorème de Riemann-Roch implique que la courbe cubique doit avoir une singularité, qui doit être à l'infini, car tous ses points dans l'espace affine sont réguliers.

Ainsi, de nombreuses propriétés des variétés algébriques, y compris l'équivalence birationnelle et toutes les propriétés topologiques, dépendent du comportement « à l'infini » et il est donc naturel d'étudier les variétés dans l'espace projectif. De plus, l'introduction des techniques projectives a simplifié et affiné de nombreux théorèmes de géométrie algébrique : par exemple, le théorème de Bézout sur le nombre de points d'intersection entre deux variétés ne peut être énoncé sous sa forme la plus précise que dans l'espace projectif. Pour ces raisons, l'espace projectif joue un rôle fondamental en géométrie algébrique.

De nos jours, l' espace projectif P ⁿ de dimension n est généralement défini comme l'ensemble des droites passant par un point, considéré comme origine, dans l'espace affine de dimension n + 1 , ou de manière équivalente à l'ensemble des droites vectorielles dans un espace vectoriel de dimension n + 1 . Lorsqu'un système de coordonnées a été choisi dans l'espace de dimension n + 1 , tous les points d'une droite ont le même ensemble de coordonnées, à la multiplication près par un élément de k . Ceci définit les coordonnées homogènes d'un point de P ⁿ comme une suite de n + 1 éléments du corps de base k , définie à la multiplication près par un élément non nul de k (le même pour toute la suite).

Un polynôme à n + 1 variables s'annule en tout point d'une droite passant par l'origine si et seulement si elle est homogène . Dans ce cas, on dit que le polynôme s'annule au point correspondant de P ⁿ . Ceci permet de définir un ensemble algébrique projectif dans P ⁿ comme l'ensemble V ( f ₁ , ..., f _k ) , où un ensemble fini de polynômes homogènes { f ₁ , ..., f _k } s'annule. Comme pour les ensembles algébriques affines, il existe une bijection entre les ensembles algébriques projectifs et les idéaux homogènes réduits qui les définissent. Les variétés projectives sont les ensembles algébriques projectifs dont l'idéal définissant est premier. En d'autres termes, une variété projective est un ensemble algébrique projectif, dont l'anneau de coordonnées homogènes est un ensemble entier , l' anneau de coordonnées projectives étant défini comme le quotient de l'anneau gradué des polynômes à n + 1 variables par l'idéal homogène (réduit) définissant la variété. Tout ensemble algébrique projectif peut être décomposé de manière unique en une union finie de variétés projectives.

Les seules fonctions régulières qui peuvent être définies correctement sur une variété projective sont les fonctions constantes. Cette notion n'est donc pas utilisée dans les situations projectives. Par contre, le corps des fonctions rationnelles ou corps de fonctions est une notion utile, qui, de manière similaire au cas affine, est défini comme l'ensemble des quotients de deux éléments homogènes de même degré dans l'anneau de coordonnées homogènes.

La géométrie algébrique réelle est l’étude des variétés algébriques réelles.

Le fait que le corps des nombres réels soit un corps ordonné ne peut être ignoré dans une telle étude. Par exemple, la courbe d'équation est un cercle si , mais n'a pas de points réels si . La géométrie algébrique réelle étudie aussi, plus largement, les ensembles semi-algébriques , qui sont les solutions de systèmes d'inéquations polynomiales. Par exemple, aucune des deux branches de l' hyperbole d'équation n'est une variété algébrique réelle. Cependant, la branche du premier quadrant est un ensemble semi-algébrique défini par et . $0a>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f34a80ea013edb56e340b19550430a8b6dfd7b9">$0x>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0">

Un problème ouvert en géométrie algébrique réelle est la partie suivante du seizième problème de Hilbert : Décider quelles positions respectives sont possibles pour les ovales d'une courbe plane non singulière de degré 8.

On peut dater l'origine de la géométrie algébrique computationnelle de la réunion EUROSAM'79 (Symposium international sur la manipulation symbolique et algébrique) qui s'est tenue à Marseille , en France, en juin 1979. Lors de cette réunion,

• Dennis S. Arnon a montré que la décomposition algébrique cylindrique (CAD) de George E. Collins permet le calcul de la topologie des ensembles semi-algébriques,
• Bruno Buchberger a présenté les bases de Gröbner et son algorithme pour les calculer,
• Daniel Lazard a présenté un nouvel algorithme de résolution de systèmes d'équations polynomiales homogènes dont la complexité de calcul est essentiellement polynomiale par le nombre attendu de solutions et donc simplement exponentielle par le nombre d'inconnues. Cet algorithme est étroitement lié à la résultante multivariée de Macaulay .

Depuis lors, la plupart des résultats dans ce domaine sont liés à un ou plusieurs de ces éléments, soit en utilisant ou en améliorant l'un de ces algorithmes, soit en trouvant des algorithmes dont la complexité est simplement exponentielle en nombre de variables.

Un ensemble de théories mathématiques complémentaires aux méthodes symboliques, appelées géométrie algébrique numérique, a été développé au cours des dernières décennies. La principale méthode de calcul est la continuation par homotopie . Cela permet, par exemple, de mettre en œuvre un modèle de calcul en virgule flottante pour résoudre des problèmes de géométrie algébrique.

Une base de Gröbner est un système de générateurs d'un idéal polynomial dont le calcul permet de déduire de nombreuses propriétés de la variété algébrique affine définie par l'idéal.

Étant donné un idéal I définissant un ensemble algébrique V :

• V est vide (sur une extension algébriquement close du corps de base), si et seulement si la base de Gröbner pour tout ordre monôme est réduite à {1}.
• Au moyen de la série de Hilbert, on peut calculer la dimension et le degré de V à partir de n'importe quelle base de Gröbner de I pour un ordre monôme affinant le degré total.
• Si la dimension de V est 0, on peut calculer les points (en nombre fini) de V à partir de n'importe quelle base de Gröbner de I (voir Systèmes d'équations polynomiales ).
• Un calcul de base de Gröbner permet de supprimer de V toutes les composantes irréductibles contenues dans une hypersurface donnée.
• Un calcul de base de Gröbner permet de calculer la fermeture de Zariski de l'image de V par la projection sur les k premières coordonnées, et du sous-ensemble de l'image où la projection n'est pas propre.
• Plus généralement, les calculs de base de Gröbner permettent de calculer la clôture de Zariski de l'image et les points critiques d'une fonction rationnelle de V dans une autre variété affine.

Les calculs de bases de Gröbner ne permettent pas de calculer directement la décomposition primaire de I ni les idéaux premiers définissant les composantes irréductibles de V , mais la plupart des algorithmes pour cela impliquent des calculs de bases de Gröbner. Les algorithmes qui ne sont pas basés sur des bases de Gröbner utilisent des chaînes régulières mais peuvent avoir besoin de bases de Gröbner dans certaines situations exceptionnelles.

Les bases de Gröbner sont réputées difficiles à calculer. En fait, elles peuvent contenir, dans le pire des cas, des polynômes dont le degré est doublement exponentiel en nombre de variables et un nombre de polynômes qui est également doublement exponentiel. Cependant, il ne s'agit là que d'une complexité du pire cas, et la limite de complexité de l'algorithme de Lazard de 1979 peut s'appliquer fréquemment. L'algorithme de Faugère F5 réalise cette complexité, car il peut être considéré comme une amélioration de l'algorithme de Lazard de 1979. Il s'ensuit que les meilleures implémentations permettent de calculer presque systématiquement des ensembles algébriques de degré supérieur à 100. Cela signifie qu'à l'heure actuelle, la difficulté de calculer une base de Gröbner est fortement liée à la difficulté intrinsèque du problème.

CAD est un algorithme qui a été introduit en 1973 par G. Collins pour implémenter avec une complexité acceptable le théorème de Tarski-Seidenberg sur l'élimination des quantificateurs sur les nombres réels.

Ce théorème concerne les formules de la logique du premier ordre dont les formules atomiques sont des égalités polynomiales ou des inégalités entre polynômes à coefficients réels. Ces formules sont donc les formules qui peuvent être construites à partir des formules atomiques par les opérateurs logiques et (∧), ou (∨), non (¬), pour tout (∀) et existe (∃). Le théorème de Tarski affirme qu'à partir d'une telle formule, on peut calculer une formule équivalente sans quantificateur (∀, ∃).

La complexité de la CAO est doublement exponentielle en nombre de variables. Cela signifie que la CAO permet, en théorie, de résoudre tous les problèmes de géométrie algébrique réelle qui peuvent être exprimés par une telle formule, c'est-à-dire presque tous les problèmes concernant des variétés et des ensembles semi-algébriques explicitement donnés.

Alors que le calcul de base de Gröbner ne présente qu'une complexité doublement exponentielle dans de rares cas, la CAO présente presque toujours cette complexité élevée. Cela implique que, sauf si la plupart des polynômes apparaissant dans l'entrée sont linéaires, il ne peut pas résoudre les problèmes comportant plus de quatre variables.

Depuis 1973, la plupart des recherches sur ce sujet sont consacrées soit à l'amélioration de la CAO, soit à la recherche d'algorithmes alternatifs dans des cas particuliers d'intérêt général.

A titre d'exemple, il existe des algorithmes efficaces pour trouver au moins un point dans chaque composante connexe d'un ensemble semi-algébrique, et ainsi tester si un ensemble semi-algébrique est vide. En revanche, CAD est jusqu'à présent, en pratique, le meilleur algorithme pour compter le nombre de composantes connexes.

Les algorithmes généraux de base de la géométrie computationnelle ont une complexité dans le pire des cas doublement exponentielle . Plus précisément, si d est le degré maximal des polynômes d'entrée et n le nombre de variables, leur complexité est au plus pour une certaine constante c , et, pour certaines entrées, la complexité est au moins pour une autre constante c ′.

Au cours des 20 dernières années du 20e siècle, divers algorithmes ont été introduits pour résoudre des sous-problèmes spécifiques avec une meilleure complexité. La plupart de ces algorithmes ont une complexité .

Parmi ces algorithmes qui résolvent un sous-problème des problèmes résolus par les bases de Gröbner, on peut citer le test de la vidabilité d'une variété affine et la résolution de systèmes polynomiaux non homogènes ayant un nombre fini de solutions. De tels algorithmes sont rarement mis en oeuvre car, sur la plupart des entrées, les algorithmes F4 et F5 de Faugère ont une meilleure efficacité pratique et probablement une complexité similaire ou meilleure ( probablement parce que l'évaluation de la complexité des algorithmes de bases de Gröbner sur une classe particulière d'entrées est une tâche difficile qui n'a été réalisée que dans quelques cas particuliers).

Les principaux algorithmes de géométrie algébrique réelle qui résolvent un problème résolu par CAO sont liés à la topologie des ensembles semi-algébriques. On peut citer le comptage du nombre de composantes connexes , le test si deux points sont dans les mêmes composantes ou le calcul d'une stratification de Whitney d'un ensemble algébrique réel . Ils ont une complexité de , mais la constante impliquée par la notation O est si élevée que leur utilisation pour résoudre tout problème non trivial résolu efficacement par CAO, est impossible même si l'on pouvait utiliser toute la puissance de calcul existante dans le monde. Par conséquent, ces algorithmes n'ont jamais été implémentés et il s'agit d'un domaine de recherche actif pour rechercher des algorithmes qui ont à la fois une bonne complexité asymptotique et une bonne efficacité pratique.

Les approches modernes de la géométrie algébrique redéfinissent et étendent efficacement la gamme des objets de base à divers niveaux de généralité aux schémas, schémas formels , schémas ind , espaces algébriques , piles algébriques , etc. La nécessité de cela découle déjà des idées utiles dans la théorie des variétés, par exemple les fonctions formelles de Zariski peuvent être prises en compte en introduisant des éléments nilpotents dans des anneaux de structure ; la considération des espaces de boucles et d'arcs, la construction de quotients par des actions de groupe et le développement de bases formelles pour la théorie des intersections naturelles et la théorie de la déformation conduisent à certaines des extensions ultérieures.

De façon plus remarquable, au début des années 1960, les variétés algébriques ont été intégrées dans le concept de schéma d' Alexander Grothendieck . Leurs objets locaux sont des schémas affines ou des spectres premiers qui sont des espaces localement annelés qui forment une catégorie antiéquivalente à la catégorie des anneaux unitaires commutatifs, étendant la dualité entre la catégorie des variétés algébriques affines sur un corps k et la catégorie des k -algèbres réduites de type fini. Le collage se fait selon la topologie de Zariski ; on peut coller dans la catégorie des espaces localement annelés, mais aussi, en utilisant le plongement de Yoneda, dans la catégorie plus abstraite des préfaisceaux d'ensembles sur la catégorie des schémas affines. La topologie de Zariski au sens de la théorie des ensembles est alors remplacée par une topologie de Grothendieck . Grothendieck a introduit les topologies de Grothendieck en ayant à l'esprit des exemples plus exotiques mais géométriquement plus fins et plus sensibles que la topologie brute de Zariski, à savoir la topologie étale et les deux topologies plates de Grothendieck : fppf et fpqc ; de nos jours, d'autres exemples sont devenus importants, notamment la topologie de Nisnevich . Les faisceaux peuvent en outre être généralisés aux piles au sens de Grothendieck, généralement avec quelques conditions de représentabilité supplémentaires conduisant aux piles d'Artin et, encore plus fines, aux piles de Deligne–Mumford , toutes deux souvent appelées piles algébriques.

Parfois, d'autres domaines algébriques remplacent la catégorie des schémas affines. Par exemple, Nikolai Durov a introduit les monades algébriques commutatives comme généralisation des objets locaux dans une géométrie algébrique généralisée. Des versions d'une géométrie tropicale , d'une géométrie absolue sur un corps à un élément et d'un analogue algébrique de la géométrie d'Arakelov ont été réalisées dans ce cadre.

Une autre généralisation formelle est possible en géométrie algébrique universelle dans laquelle chaque variété d'algèbres possède sa propre géométrie algébrique. Le terme variété d'algèbres ne doit pas être confondu avec variété algébrique .

Le langage des schémas, des piles et des généralisations s’est avéré être un moyen précieux de traiter les concepts géométriques et est devenu la pierre angulaire de la géométrie algébrique moderne.

Les piles algébriques peuvent être généralisées davantage et pour de nombreuses questions pratiques comme la théorie des déformations et la théorie des intersections, c'est souvent l'approche la plus naturelle. On peut étendre le site de Grothendieck des schémas affines à un site catégorique supérieur de schémas affines dérivés , en remplaçant les anneaux commutatifs par une catégorie infinie d' algèbres commutatives différentielles graduées , ou d'anneaux commutatifs simpliciaux ou d'une catégorie similaire par une variante appropriée d'une topologie de Grothendieck. On peut également remplacer les préfaisceaux d'ensembles par des préfaisceaux d'ensembles simpliciaux (ou de groupoïdes infinis). Ensuite, en présence d'une machinerie homotopique appropriée, on peut développer une notion de pile dérivée comme un tel préfaisceau sur la catégorie infinie des schémas affines dérivés, qui satisfait une certaine version catégorique infinie d'un axiome de faisceau (et pour être algébrique, inductivement une suite de conditions de représentabilité). Les catégories de modèles de Quillen , les catégories de Segal et les quasi-catégories sont quelques-uns des outils les plus souvent utilisés pour formaliser ce qui donne la géométrie algébrique dérivée , introduite par l'école de Carlos Simpson , dont André Hirschowitz, Bertrand Toën , Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié et d'autres ; et développée plus loin par Jacob Lurie , Bertrand Toën et Gabriele Vezzosi . Une autre version (non commutative) de la géométrie algébrique dérivée, utilisant les catégories A-infinies a été développée à partir du début des années 1990 par Maxim Kontsevich et ses disciples.

Certaines des racines de la géométrie algébrique remontent aux travaux des Grecs hellénistiques du Ve siècle av. J.-C. Le problème de Délos , par exemple, consistait à construire une longueur x de telle sorte que le cube de côté x contienne le même volume que la boîte rectangulaire a ² b pour des côtés donnés a et b . Ménaechme ( vers  350 av. J.-C. ) a considéré le problème géométriquement en intersectant la paire de coniques planes ay = x ² et xy = ab . Au IIIe siècle av. J.-C., Archimède et Apollonius ont systématiquement étudié des problèmes supplémentaires sur les sections coniques en utilisant des coordonnées. Apollonius dans les Coniques a développé une méthode qui est si similaire à la géométrie analytique que son travail est parfois considéré comme ayant anticipé le travail de Descartes d'environ 1800 ans. Son application des lignes de référence, d'un diamètre et d'une tangente, n'est pas fondamentalement différente de notre utilisation moderne d'un référentiel, où les distances mesurées le long du diamètre à partir du point de tangence sont les abscisses, et les segments parallèles à la tangente et interceptés entre l'axe et la courbe sont les ordonnées. Il a ensuite développé les relations entre les abscisses et les coordonnées correspondantes en utilisant des méthodes géométriques comme l'utilisation de paraboles et de courbes. Les mathématiciens médiévaux, dont Omar Khayyam , Léonard de Pise , Gersonides et Nicole Oresme à l' époque médiévale , ont résolu certaines équations cubiques et quadratiques par des moyens purement algébriques et ont ensuite interprété les résultats géométriquement. Le mathématicien persan Omar Khayyám (né en 1048 après J.-C.) croyait qu'il existait une relation entre l'arithmétique , l'algèbre et la géométrie . Cela a été critiqué par Jeffrey Oaks, qui affirme que l'étude des courbes au moyen d'équations est née avec Descartes au XVIIe siècle.

De telles techniques d'application de constructions géométriques à des problèmes algébriques ont également été adoptées par un certain nombre de mathématiciens de la Renaissance tels que Gerolamo Cardano et Niccolò Fontana « Tartaglia » dans leurs études de l'équation cubique. L'approche géométrique des problèmes de construction, plutôt que l'approche algébrique, a été favorisée par la plupart des mathématiciens des XVIe et XVIIe siècles, notamment Blaise Pascal qui s'est prononcé contre l'utilisation de méthodes algébriques et analytiques en géométrie. Les mathématiciens français Franciscus Vieta et plus tard René Descartes et Pierre de Fermat ont révolutionné la manière conventionnelle de penser les problèmes de construction par l'introduction de la géométrie des coordonnées . Ils s'intéressaient principalement aux propriétés des courbes algébriques , telles que celles définies par les équations diophantiennes (dans le cas de Fermat), et à la reformulation algébrique des travaux grecs classiques sur les coniques et les cubiques (dans le cas de Descartes).

À la même époque, Blaise Pascal et Gérard Desargues abordent la géométrie sous un angle différent, en développant les notions synthétiques de géométrie projective . Pascal et Desargues étudient également les courbes, mais d'un point de vue purement géométrique : l'analogue de la construction grecque de la règle et du compas . En fin de compte, la géométrie analytique de Descartes et de Fermat l'emporte, car elle fournit aux mathématiciens du XVIIIe siècle les outils quantitatifs concrets nécessaires à l'étude des problèmes physiques en utilisant le nouveau calcul infinitésimal de Newton et de Leibniz . Cependant, à la fin du XVIIIe siècle, la plupart du caractère algébrique de la géométrie des coordonnées est absorbé par le calcul des infinitésimaux de Lagrange et d'Euler .

Il fallut attendre le développement simultané de la géométrie non euclidienne et des intégrales abéliennes au XIXe siècle pour que les anciennes idées algébriques soient réintroduites dans le giron géométrique. Le premier de ces nouveaux développements fut repris par Edmond Laguerre et Arthur Cayley , qui tentèrent de déterminer les propriétés métriques généralisées de l'espace projectif. Cayley introduisit l'idée de formes polynomiales homogènes , et plus spécifiquement de formes quadratiques , sur l'espace projectif. Par la suite, Felix Klein étudia la géométrie projective (ainsi que d'autres types de géométrie) du point de vue selon lequel la géométrie sur un espace est codée dans une certaine classe de transformations sur cet espace. À la fin du XIXe siècle, les géomètres projectifs étudiaient des types plus généraux de transformations sur les figures de l'espace projectif. Plutôt que les transformations linéaires projectives qui étaient normalement considérées comme donnant la géométrie kleinienne fondamentale sur l'espace projectif, ils s'intéressèrent également aux transformations birationnelles de degré supérieur . Cette notion plus faible de congruence conduira plus tard les membres de l' école italienne de géométrie algébrique du XXe siècle à classer les surfaces algébriques jusqu'à l'isomorphisme birationnel .

Le deuxième développement du début du XIXe siècle, celui des intégrales abéliennes, conduira Bernhard Riemann au développement des surfaces de Riemann .

Dans la même période commença l'algébrisation de la géométrie algébrique par l'algèbre commutative . Les résultats marquants dans cette direction sont le théorème de base de Hilbert et le Nullstellensatz de Hilbert , qui sont à la base de la connexion entre la géométrie algébrique et l'algèbre commutative, et la résultante multivariée de Macaulay , qui est la base de la théorie de l'élimination . Probablement à cause de la taille du calcul impliqué par les résultantes multivariées, la théorie de l'élimination fut oubliée au milieu du 20e siècle jusqu'à ce qu'elle soit renouvelée par la théorie des singularités et la géométrie algébrique computationnelle.

B.L. van der Waerden , Oscar Zariski et André Weil ont développé les bases de la géométrie algébrique en s'appuyant sur l'algèbre commutative contemporaine , y compris la théorie de la valuation et la théorie des idéaux . L'un des objectifs était de donner un cadre rigoureux pour prouver les résultats de l' école italienne de géométrie algébrique . En particulier, cette école utilisait systématiquement la notion de point générique sans aucune définition précise, qui fut donnée pour la première fois par ces auteurs dans les années 1930.

Dans les années 1950 et 1960, Jean-Pierre Serre et Alexander Grothendieck ont ​​refondu les fondements en utilisant la théorie des faisceaux . Plus tard, à partir de 1960 environ, et en grande partie sous l'impulsion de Grothendieck, l'idée de schémas a été élaborée, en conjonction avec un appareil très raffiné de techniques homologiques . Après une décennie de développement rapide, le domaine s'est stabilisé dans les années 1970, et de nouvelles applications ont été faites, à la fois à la théorie des nombres et à des questions géométriques plus classiques sur les variétés algébriques, les singularités , les modules et les modules formels .

Une classe importante de variétés, difficilement compréhensibles directement à partir de leurs équations de définition, sont les variétés abéliennes , qui sont les variétés projectives dont les points forment un groupe abélien . Les exemples prototypiques sont les courbes elliptiques , qui ont une riche théorie. Elles ont joué un rôle déterminant dans la preuve du dernier théorème de Fermat et sont également utilisées en cryptographie à courbes elliptiques .

Parallèlement à la tendance abstraite de la géométrie algébrique, qui s'intéresse aux énoncés généraux sur les variétés, des méthodes de calcul effectif avec des variétés concrètement données ont également été développées, ce qui a conduit au nouveau domaine de la géométrie algébrique computationnelle. L'une des méthodes fondatrices de ce domaine est la théorie des bases de Gröbner , introduite par Bruno Buchberger en 1965. Une autre méthode fondatrice, plus spécialement consacrée à la géométrie algébrique réelle, est la décomposition algébrique cylindrique , introduite par George E. Collins en 1973.

Voir aussi : géométrie algébrique dérivée .

Une variété analytique sur le corps des nombres réels ou complexes est définie localement comme l'ensemble des solutions communes de plusieurs équations impliquant des fonctions analytiques . Elle est analogue au concept de variété algébrique en ce qu'elle porte un faisceau de structures de fonctions analytiques au lieu de fonctions régulières. Toute variété complexe est une variété analytique complexe. Comme les variétés analytiques peuvent avoir des points singuliers , toutes les variétés analytiques complexes ne sont pas des variétés. Sur un corps non archimédien, la géométrie analytique est étudiée via des espaces analytiques rigides .

La géométrie analytique moderne sur le corps des nombres complexes est étroitement liée à la géométrie algébrique complexe, comme l'a montré Jean-Pierre Serre dans son article GAGA , dont le nom est français pour Géométrie algébrique et géométrie analytique . Les résultats de GAGA sur le corps des nombres complexes peuvent être étendus aux espaces analytiques rigides sur des corps non archimédiens.

La géométrie algébrique trouve aujourd'hui des applications en statistique , en théorie du contrôle , en robotique , en codes correcteurs d'erreurs , en phylogénétique et en modélisation géométrique . Il existe également des liens avec la théorie des cordes , la théorie des jeux , les correspondances de graphes , les solitons et la programmation en nombres entiers .