Corps de fonctions algébriques

En mathématiques , un corps de fonctions algébriques (souvent abrégé en corps de fonctions ) de n variables sur un corps k est une extension de corps de type fini K / k qui a un degré de transcendance n sur k . De manière équivalente, un corps de fonctions algébriques de n variables sur k peut être défini comme une extension de corps fini du corps K = k ( x ₁ ,..., x _n ) de fonctions rationnelles à n variables sur k .

A titre d'exemple, dans l' anneau de polynômes k  [ X , Y ] considérons l' idéal engendré par le polynôme irréductible Y ²  −  X ³ et formons le corps des fractions de l' anneau quotient k  [ X , Y ]/( Y ²  −  X ³ ). Il s'agit d'un corps de fonctions à une variable sur k ; il peut aussi s'écrire (de degré 2 sur ) ou (de degré 3 sur ). On voit que le degré d'un corps de fonctions algébriques n'est pas une notion bien définie.

Les corps de fonctions algébriques sur k forment une catégorie ; les morphismes du corps de fonctions K vers L sont les homomorphismes d'anneaux f : K → L avec f ( a ) = a pour tout a dans k . Tous ces morphismes sont injectifs . Si K est un corps de fonctions sur k à n variables, et L est un corps de fonctions à m variables , et n > m , alors il n'existe pas de morphismes de K vers L.

Le corps de fonctions d'une variété algébrique de dimension n sur k est un corps de fonctions algébriques de n variables sur k . Deux variétés sont birationnellement équivalentes si et seulement si leurs corps de fonctions sont isomorphes. (Mais notez que des variétés non isomorphes peuvent avoir le même corps de fonctions !) En attribuant à chaque variété son corps de fonctions, on obtient une dualité (équivalence contravariante) entre la catégorie des variétés sur k (avec des applications rationnelles dominantes comme morphismes) et la catégorie des corps de fonctions algébriques sur k . (Les variétés considérées ici doivent être prises au sens du schéma ; elles n'ont pas besoin d'avoir de points k -rationnels, comme la courbe X ² + Y ² + 1 = 0 définie sur les réels , c'est-à-dire avec k = R .)

Le cas n  = 1 (courbes algébriques irréductibles au sens du schéma ) est particulièrement important, puisque tout corps de fonctions d'une variable unique sur k apparaît comme le corps de fonctions d'une courbe algébrique projective irréductible régulière (c'est-à-dire non singulière) définie de manière unique sur k . En fait, le corps de fonctions produit une dualité entre la catégorie des courbes algébriques projectives irréductibles régulières (avec des applications régulières dominantes comme morphismes) et la catégorie des corps de fonctions d'une variable unique sur k .

Le corps M( X ) des fonctions méromorphes définies sur une surface de Riemann connexe X est un corps de fonctions à une variable sur les nombres complexes C . En fait, M donne une dualité (équivalence contravariante) entre la catégorie des surfaces de Riemann compactes connexes (avec des applications holomorphes non constantes comme morphismes) et les corps de fonctions à une variable sur C . Une correspondance similaire existe entre les surfaces de Klein compactes connexes et les corps de fonctions à une variable sur R .

L' analogie du corps de fonctions stipule que presque tous les théorèmes sur les corps de nombres ont une contrepartie sur les corps de fonctions d'une variable sur un corps fini , et ces contreparties sont souvent plus faciles à prouver. (Par exemple, voir Analogie pour les polynômes irréductibles sur un corps fini .) Dans le contexte de cette analogie, les corps de nombres et les corps de fonctions sur les corps finis sont généralement appelés « corps globaux ».

L'étude des corps de fonctions sur un corps fini a des applications en cryptographie et dans les codes correcteurs d'erreurs . Par exemple, le corps de fonctions d'une courbe elliptique sur un corps fini (un outil mathématique important pour la cryptographie à clé publique ) est un corps de fonctions algébriques.

Les corps de fonctions sur le corps des nombres rationnels jouent également un rôle important dans la résolution des problèmes inverses de Galois .

Étant donné un corps de fonctions algébriques K sur k , on peut considérer l' ensemble des éléments de K qui sont algébriques sur k . Ces éléments forment un corps, appelé corps de constantes du corps de fonctions algébriques.

Par exemple, C ( x ) est un corps de fonctions d'une variable sur R ; son corps de constantes est C .

Les outils clés pour étudier les corps de fonctions algébriques sont les valeurs absolues, les évaluations, les places et leurs complétions.

Étant donné un corps de fonctions algébriques K / k d'une variable, on définit la notion d' anneau de valuation de K / k : il s'agit d'un sous-anneau O de K contenant k et différent de k et K , tel que pour tout x dans K on ait x  ∈  O ou x ^-1  ∈  O . Chaque anneau de valuation est un anneau de valuation discret et son idéal maximal est appelé une place de K / k .

Une valuation discrète de K / k est une fonction surjective v : K → Z ∪{∞} telle que v (x) = ∞ ssi x  = 0, v ( xy ) = v ( x ) +  v ( y ) et v ( x  +  y ) ≥ min( v ( x ), v ( y )) pour tout x ,  y  ∈  K , et v ( a ) = 0 pour tout a  ∈  k  \ {0}.

Il existe des correspondances bijectives naturelles entre l'ensemble des anneaux de valuation de K / k , l'ensemble des places de K / k et l'ensemble des valuations discrètes de K / k . On peut donner à ces ensembles une structure topologique naturelle : l' espace de Zariski–Riemann de K / k .