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En mathématiques , la géométrie birationnelle est un domaine de la géométrie algébrique dont le but est de déterminer quand deux variétés algébriques sont isomorphes en dehors des sous-ensembles de dimension inférieure. Cela revient à étudier les applications définies par des fonctions rationnelles plutôt que par des polynômes ; l’application peut ne pas être définie lorsque les fonctions rationnelles possèdent des pôles.
application rationnelle d'une variété (considérée comme irréductible ) vers une autre variété , notée par une flèche en pointillés morphisme d'un ouvert non vide vers . Par définition de la topologie de Zariski utilisée en géométrie algébrique, un ouvert non vide est toujours dense dans , en fait le complémentaire d'un ouvert de dimension inférieure. Concrètement, une application rationnelle peut s'écrire dans un système de coordonnées à l'aide de fonctions rationnelles.Cartes birationnelles
Une application birationnelle de X vers Y est une application rationnelle corps de fonctions sont isomorphes en tant qu'extensions de k .
Un cas particulier est celui d'un morphisme birationnel rationnelle si elle est birationnelle à l'espace affine (ou, de manière équivalente, à l'espace projectif ) d'une certaine dimension. La rationalité est une propriété très naturelle : elle signifie que X, diminué d'un sous-ensemble de dimension inférieure, peut être identifié à l'espace affine diminué d'un sous-ensemble de dimension inférieure.
Équivalence birationnelle d'une conique plane
Par exemple, le cercle d'équation dans le plan affine est une courbe rationnelle, car il existe une application rationnelle
qui possède un inverse rationnel g : X ⇢ donné par
L'application de l'application f avec t un nombre rationnel donne une construction systématique de triplets pythagoriciens .
L'application rationnelle n'est pas définie sur le lieu où . Ainsi, sur la droite affine complexe , est un morphisme sur le sous-ensemble ouvert . De même, l'application rationnelle
Équivalence birationnelle des quadriques lisses et de P n
Plus généralement, une hypersurface quadrique lisse (de degré 2) X de dimension n est rationnelle, par projection stéréographique . (Pour X une quadrique sur un corps k , on suppose que X possède un point k -rationnel ; ceci est automatique si k est algébriquement clos.) Pour définir la projection stéréographique, soit p un point de X. Alors, une application birationnelle de X vers l'espace projectif des droites passant par p est donnée par l'application qui envoie un point q de X sur la droite passant par p et q . Il s'agit d'une équivalence birationnelle, mais pas d'un isomorphisme de variétés, car elle n'est pas définie lorsque
L'image est la surface quadrique dans . Cela fournit une autre preuve que cette surface quadrique est rationnelle, puisque est évidemment rationnelle, ayant un ouvert isomorphe à .
Modèles minimaux et résolution des singularités
Toute variété algébrique est birationnelle à une variété projective ( lemme de Chow ). Par conséquent, pour la classification birationnelle, il suffit de se limiter aux variétés projectives, ce qui constitue généralement le cadre le plus commode.
Le théorème d' Hironaka de 1964 sur la résolution des singularités est bien plus profond : sur un corps de caractéristique 0 (comme le corps des nombres complexes), toute variété est birationnelle à une variété projective lisse . Dès lors, il suffit de classifier les variétés projectives lisses à équivalence birationnelle près.
En dimension 1, si deux courbes projectives lisses sont birationnelles, alors elles sont isomorphes. Mais cette propriété n'est plus vérifiée en dimension au moins 2, par construction d'éclatement . Par éclatement, toute variété projective lisse de dimension au moins 2 est birationnelle à une infinité de variétés « plus grandes », par exemple celles ayant des nombres de Betti plus grands .
Ceci nous amène à la notion de modèles minimaux : existe-t-il une unique variété la plus simple dans chaque classe d’équivalence birationnelle ? La définition moderne est la suivante : une variété projective X est minimale si le fibré en droites canonique K<sub> X</sub> a un degré non négatif sur toute courbe de X ; autrement dit, K<sub> X</sub> est nef . Il est facile de vérifier que les variétés éclatées ne sont jamais minimales.
Cette notion s'applique parfaitement aux surfaces algébriques (variétés de dimension 2). Plus précisément, un résultat central de l' école italienne de géométrie algébrique (1890-1910), relatif à la classification des surfaces , établit que toute surface X est birationnelle soit à un produit de courbes C , soit à une surface minimale Y. Ces deux cas sont incompatibles, et Y est unique si elle existe. Dans ce cas , on l'appelle le modèle minimal de X.
Invariants birationnels
Sommes de ⊗ k Ω 1 et certains nombres de Hodge
Plus généralement, pour tout terme naturel
Pour la puissance tensorielle r -ième du fibré cotangent Ω₁ avec r nombres de Hodge
sont des invariants birationnels de X. (La plupart des autres nombres de Hodge h p , q ne sont pas des invariants birationnels, comme le montre l'explosion.)
Groupe fondamental des variétés projectives lisses
Le groupe fondamental π 1 ( X ) est un invariant birationnel pour les variétés projectives complexes lisses.
Le « théorème de factorisation faible », démontré par Abramovich, Karu, Matsuki et Włodarczyk (2002) , affirme que toute application birationnelle entre deux variétés projectives complexes lisses peut être décomposée en un nombre fini d'éclatements ou de sous-éclatements de sous-variétés lisses. Bien que ce résultat soit important, il peut s'avérer très difficile de déterminer si deux variétés projectives lisses sont birationnelles.
Modèles minimalistes en dimensions supérieures
Cela étant dit, la conjecture du modèle minimal impliquerait que toute variété X est soit recouverte par des courbes rationnelles , soit birationnelle à une variété minimale Y. Lorsque Y existe, on l'appelle un modèle minimal de X.
Les modèles minimaux ne sont pas uniques en dimension au moins 3, mais deux variétés minimales birationnelles quelconques sont très proches. Par exemple, elles sont isomorphes en dehors des sous-ensembles de codimension au moins 2, et plus précisément, elles sont liées par une suite de flops . Ainsi, la conjecture des modèles minimaux fournirait des informations importantes sur la classification birationnelle des variétés algébriques.
La conjecture a été démontrée en dimension 3 par Mori. Des progrès importants ont été réalisés en dimensions supérieures, bien que le problème général demeure ouvert. En particulier, Birkar, Cascini, Hacon et McKernan (2010) ont démontré que toute variété de type général sur un corps de caractéristique zéro admet un modèle minimal.