Pile algébrique

En mathématiques, une pile algébrique est une vaste généralisation des espaces algébriques , ou schémas , qui sont fondamentaux pour l'étude de la théorie des modules . De nombreux espaces de modules sont construits à l'aide de techniques spécifiques aux piles algébriques, telles que le théorème de représentabilité d'Artin , qui est utilisé pour construire l' espace de modules des courbes algébriques pointues et la pile de modules des courbes elliptiques . À l'origine, ils ont été introduits par Alexander Grothendieck pour suivre les automorphismes sur les espaces de modules, une technique qui permet de traiter ces espaces de modules comme si leurs schémas ou espaces algébriques sous-jacents étaient lisses . Après que Grothendieck ait développé la théorie générale de la descente et Giraud la théorie générale des piles , la notion de piles algébriques a été définie par Michael Artin .

L'un des exemples motivants d'une pile algébrique est de considérer un schéma groupoïde sur un schéma fixe . Par exemple, si (où est le schéma de groupe des racines de l'unité), , est l'application de projection, est l'action de groupe

et c'est la carte de multiplication

sur . Alors, étant donné un -schéma , le schéma groupoïde forme un groupoïde (où sont leurs foncteurs associés). De plus, cette construction est fonctorielle sur formant un 2-foncteur contravariant

où est la 2-catégorie des petites catégories . Une autre façon de voir cela est comme une catégorie fibrée à travers la construction de Grothendieck . Obtenir les conditions techniques correctes, telles que la topologie de Grothendieck sur , donne la définition d'une pile algébrique. Par exemple, dans le groupoïde associé de points pour un corps , sur l'objet d'origine il y a le groupoïde d'automorphismes . Cependant, afin d'obtenir une pile algébrique à partir de , et pas seulement une pile, des hypothèses techniques supplémentaires sont requises pour .

Il s'avère que l'utilisation de la topologie fppf (fidèlement plate et localement de présentation finie) sur , notée , constitue la base pour définir des piles algébriques. Alors, une pile algébrique est une catégorie fibrée

tel que

2. La carte diagonale des catégories fibrées est représentable sous forme d'espaces algébriques
3. Il existe un schéma et un 1-morphisme associé de catégories fibrées qui est surjectif et lisse appelé atlas .

Tout d'abord, la topologie fppf est utilisée car elle se comporte bien par rapport à la descente . Par exemple, s'il existe des schémas et peut être raffiné en une couverture fppf de , si est plat, de type localement fini, ou localement de présentation finie, alors a cette propriété. ce type d'idée peut être étendu plus loin en considérant des propriétés locales soit sur la cible soit sur la source d'un morphisme . Pour une couverture, nous disons qu'une propriété est locale sur la source si

Il existe une notion analogue sur la cible appelée locale sur la cible . Cela signifie qu'une couverture est donnée

Pour la topologie fppf, avoir une immersion est local sur la cible. En plus des propriétés précédentes locales sur la source pour la topologie fppf, être universellement ouvert est également local sur la source. De plus, être localement noethérien et Jacobson est local sur la source et la cible pour la topologie fppf. Cela ne tient pas dans la topologie fpqc, ce qui la rend moins « agréable » en termes de propriétés techniques. Même si cela est vrai, l'utilisation de piles algébriques sur la topologie fpqc a toujours son utilité, comme dans la théorie de l'homotopie chromatique . C'est parce que la pile de modules des lois de groupe formelles est une pile fpqc-algébrique ^{pg 40} .

Par définition, un 1-morphisme de catégories fibrées en groupoïdes est représentable par des espaces algébriques si pour tout morphisme fppf de schémas et tout 1-morphisme , la catégorie associée fibrée en groupoïdes

est représentable comme un espace algébrique , ce qui signifie qu'il existe un espace algébrique

telle que la catégorie fibrée associée soit équivalente à . Il existe un certain nombre de conditions équivalentes pour la représentabilité de la diagonale qui aident à donner une intuition pour cette condition technique, mais l'une des motivations principales est la suivante : pour un schéma et des objets, le faisceau est représentable comme un espace algébrique. En particulier, le groupe stabilisateur pour tout point de la pile est représentable comme un espace algébrique. Une autre équivalence importante d'avoir une diagonale représentable est la condition technique selon laquelle l'intersection de deux espaces algébriques quelconques dans une pile algébrique est un espace algébrique. Reformulé à l'aide de produits de fibres

la représentabilité de la diagonale est équivalente à être représentable pour un espace algébrique . En effet, étant donné les morphismes des espaces algébriques, ils s'étendent aux applications de l'application diagonale. Il existe un énoncé analogue pour les espaces algébriques qui donne la représentabilité d'un faisceau sur comme un espace algébrique.

Notez qu'une condition analogue de représentabilité de la diagonale est valable pour certaines formulations de piles supérieures où le produit de fibres est une pile pour une pile .

L'existence d'un schéma et d'un 1-morphisme de catégories fibrées qui soit surjectif et lisse dépend de la définition d'un morphisme lisse et surjectif de catégories fibrées. Voici la pile algébrique du foncteur représentable sur mis à niveau vers une catégorie fibrée en groupoïdes où les catégories n'ont que des morphismes triviaux. Cela signifie que l'ensemble

est considéré comme une catégorie, notée , avec des objets comme morphismes

et les morphismes sont le morphisme identité.

est un 2-foncteur de groupoïdes. Montrer que ce 2-foncteur est un faisceau est le contenu du lemme de Yoneda-2. En utilisant la construction de Grothendieck, il existe une catégorie associée fibrée en groupoïdes notée .

Pour dire que ce morphisme est lisse ou surjectif, il faut introduire des morphismes représentables. Un morphisme de catégories fibrées en groupoïdes sur est dit représentable si on lui donne un objet dans et un objet le produit 2-fibré

est représentable par un schéma. On peut alors dire que le morphisme des catégories fibrées en groupoïdes est lisse et surjectif si le morphisme associé

des schémas est lisse et surjectif.

Les piles algébriques, aussi appelées piles d'Artin , sont par définition dotées d'un atlas surjectif lisse , où est la pile associée à un certain schéma . Si l'atlas est de plus étale, alors on dit qu'il s'agit d'une pile de Deligne-Mumford . La sous-classe des piles de Deligne-Mumford est utile car elle fournit le cadre correct pour de nombreuses piles naturelles considérées, telles que la pile de modules des courbes algébriques . De plus, elles sont suffisamment strictes pour que les objets représentés par des points dans les piles de Deligne-Mumford n'aient pas d'automorphismes infinitésimaux . Ceci est très important car les automorphismes infinitésimaux rendent l'étude de la théorie de la déformation des piles d'Artin très difficile. Par exemple, la théorie de la déformation de la pile d'Artin , la pile de modules des fibrés vectoriels de rang, possède des automorphismes infinitésimaux contrôlés partiellement par l' algèbre de Lie . Cela conduit à une suite infinie de déformations et d'obstructions en général, ce qui est l'une des motivations de l'étude des modules des fibrés stables. Ce n'est que dans le cas particulier de la théorie de la déformation des fibrés en lignes que la théorie de la déformation est exploitable, car l'algèbre de Lie associée est abélienne .

Il faut noter que de nombreuses piles ne peuvent pas être naturellement représentées comme des piles de Deligne-Mumford car elles ne permettent que des recouvrements finis, ou des piles algébriques avec des recouvrements finis. Il faut noter que, comme chaque recouvrement d'Etale est plat et localement de présentation finie, les piles algébriques définies avec la topologie fppf subsume cette théorie ; mais elle est toujours utile car de nombreuses piles trouvées dans la nature sont de cette forme, comme les modules de courbes . De plus, l'analogue géométrique différentiel de telles piles est appelé orbifolds . La condition d'Etale implique le 2-foncteur

L' envoi d'un schéma à son groupoïde de torseurs- est représentable comme une pile sur la topologie Etale, mais la pile de torseurs-Picard (équivalente à la catégorie des faisceaux de lignes) n'est pas représentable. Les piles de cette forme sont représentables comme des piles sur la topologie fppf. Une autre raison de considérer la topologie fppf par rapport à la topologie étale est la caractéristique de la séquence de Kummer

est exact seulement comme une séquence de faisceaux fppf, mais pas comme une séquence de faisceaux étales.

L'utilisation d'autres topologies de Grothendieck donne des théories alternatives de piles algébriques qui ne sont pas suffisamment générales ou qui ne se comportent pas bien en ce qui concerne l'échange de propriétés de la base d'un revêtement vers l'espace total d'un revêtement. Il est utile de rappeler qu'il existe la hiérarchie de généralisation suivante

de grandes topologies sur .

Le faisceau de structure d'une pile algébrique est un objet tiré d'un faisceau de structure universel sur le site . Ce faisceau de structure universel est défini comme

et la structure associée faisceau sur une catégorie fibrée en groupoïdes

est défini comme

d'où vient la carte des topologies de Grothendieck. En particulier, cela signifie que est se trouve sur , donc , alors . Pour vérifier la cohérence, il est intéressant de comparer cela à une catégorie fibrée en groupoïdes provenant d'un schéma pour diverses topologies. Par exemple, si

est une catégorie fibrée en groupoïdes sur , le faisceau de structure pour un sous-schéma ouvert donne

donc cette définition récupère la structure classique faisceau sur un schéma. De plus, pour une pile quotient , la structure faisceau ceci donne juste les sections -invariantes

pour dans .

De nombreuses piles classificatoires pour les groupes algébriques sont des piles algébriques. En fait, pour un espace de groupes algébriques sur un schéma plat de présentation finie, la pile est algébrique ^{théorème 6.1} .