Schéma lisse

En géométrie algébrique , un schéma lisse sur un corps est un schéma qui est bien approché par l'espace affine au voisinage de tout point. La régularité est une façon de préciser la notion de schéma sans points singuliers . Un cas particulier est la notion de variété lisse sur un corps. Les schémas lisses jouent le rôle en géométrie algébrique de variétés en topologie.

Premièrement, soit X un schéma affine de type fini sur un corps k . De manière équivalente, X a une immersion fermée dans l'espace affine A ⁿ sur k pour un nombre naturel n . Alors X est le sous-schéma fermé défini par certaines équations g ₁ = 0, ..., g _r = 0, où chaque g _i est dans l'anneau de polynômes k [ x ₁ ,..., x _n ]. Le schéma affine X est lisse de dimension m sur k si X a une dimension au moins égale à m au voisinage de chaque point, et la matrice des dérivées (∂ g _i /∂ x _j ) a un rang au moins égal à n − m partout sur X . (Il s'ensuit que X a une dimension égale à m au voisinage de chaque point.) Le lissage est indépendant du choix de l'immersion de X dans l'espace affine.

La condition sur la matrice des dérivées signifie que le sous-ensemble fermé de X où tous les mineurs ( n − m ) × ( n − m ) de la matrice des dérivées sont nuls est l'ensemble vide. De manière équivalente, l' idéal dans l'anneau polynomial engendré par tous les g _i et tous ces mineurs est l'anneau polynomial entier.

En termes géométriques, la matrice des dérivées (∂ g _i /∂ x _j ) en un point p de X donne une application linéaire F ⁿ → F ^r , où F est le corps résiduel de p . Le noyau de cette application est appelé espace tangent de Zariski de X en p . La régularité de X signifie que la dimension de l'espace tangent de Zariski est égale à la dimension de X près de chaque point ; en un point singulier , l'espace tangent de Zariski serait plus grand.

Plus généralement, un schéma X sur un corps k est lisse sur k si chaque point de X possède un voisinage ouvert qui est un schéma affine lisse de dimension sur k . En particulier, un schéma lisse sur k est localement de type fini .

Il existe une notion plus générale de morphisme lisse de schémas, qui est en gros un morphisme à fibres lisses. En particulier, un schéma X est lisse sur un corps k si et seulement si le morphisme X → Spec k est lisse.

Un schéma lisse sur un corps est régulier et donc normal . En particulier, un schéma lisse sur un corps est réduit .

On définit une variété sur un corps k comme étant un schéma séparé intégral de type fini sur k . Alors tout schéma séparé lisse de type fini sur k est une union disjointe finie de variétés lisses sur k .

Pour une variété lisse X sur les nombres complexes , l'espace X ( C ) des points complexes de X est une variété complexe , utilisant la topologie classique (euclidienne). De même, pour une variété lisse X sur les nombres réels, l'espace X ( R ) des points réels est une variété réelle , éventuellement vide.

Pour tout schéma X localement de type fini sur un corps k , il existe un faisceau cohérent Ω ¹ de différentielles sur X . Le schéma X est lisse sur k si et seulement si Ω ¹ est un fibré vectoriel de rang égal à la dimension de X près de chaque point. Dans ce cas, Ω ¹ est appelé le fibré cotangent de X . Le fibré tangent d'un schéma lisse sur k peut être défini comme le fibré dual, TX = (Ω ¹ ) ^* .

La régularité est une propriété géométrique , ce qui signifie que pour toute extension de corps E de k , un schéma X est régulier sur k si et seulement si le schéma X _E := X × _{Spec k} Spec E est régulier sur E. Pour un corps parfait k , un schéma X est régulier sur k si et seulement si X est localement de type fini sur k et X est régulier .

Un schéma X est dit génériquement lisse de dimension n sur k si X contient un sous-ensemble dense ouvert lisse de dimension n sur k . Toute variété sur un corps parfait (en particulier un corps algébriquement clos) est génériquement lisse.

• L'espace affine et l'espace projectif sont des schémas lisses sur un corps k .
• Un exemple d' hypersurface lisse dans l'espace projectif P ⁿ sur k est l' hypersurface de Fermat x ₀ ^d + ... + x _n ^d = 0, pour tout entier positif d inversible dans k .
• Un exemple de schéma singulier (non lisse) sur un corps k est le sous-schéma fermé x ² = 0 dans la droite affine A ¹ sur k .
• Un exemple de variété singulière (non lisse) sur k est la courbe cubique cuspidale x ² = y ³ dans le plan affine A ² , qui est lisse en dehors de l'origine ( x , y ) = (0,0).
• Une variété X de dimension 0 sur un corps k est de la forme X = Spec E , où E est un corps d'extensions finies de k . La variété X est lisse sur k si et seulement si E est une extension séparable de k . Ainsi, si E n'est pas séparable sur k , alors X est un schéma régulier mais n'est pas lisse sur k . Par exemple, soit k le corps des fonctions rationnelles F _p ( t ) pour un nombre premier p , et soit E = F _p ( t ^{1/ p} ) ; alors Spec E est une variété de dimension 0 sur k qui est un schéma régulier, mais n'est pas lisse sur k .
• Les variétés Schubert ne sont en général pas lisses.