Champ parfait

En algèbre , un corps k est parfait si l'une des conditions équivalentes suivantes est remplie :

Tout polynôme irréductible sur k n'a pas de racines multiples dans aucune extension de corps F/k .
Tout polynôme irréductible sur k a une dérivée formelle non nulle .
Tout polynôme irréductible sur k est séparable .
Toute extension finie de k est séparable .
Toute extension algébrique de k est séparable.
Soit k a pour caractéristique 0, soit, lorsque k a pour caractéristique p > 0 , chaque élément de k est une puissance p ième .
Soit k a pour caractéristique 0, soit, lorsque k a pour caractéristique p > 0 , l' endomorphisme de Frobenius x ↦ x ^p est un automorphisme de k .
La clôture séparable de k est algébriquement close .
Toute k -algèbre commutative réduite A est une algèbre séparable ; c'est-à-dire qu'elle est réduite pour toute extension de corps F / k . (voir ci-dessous) ${\displaystyle A\otimes _{k}F <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <msub> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mi>F</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\otimes _{k}F}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Sinon, k est dit imparfait .

En particulier, tous les corps de caractéristique nulle et tous les corps finis sont parfaits.

Les corps parfaits sont importants car la théorie de Galois sur ces corps devient plus simple, puisque l'hypothèse générale de Galois selon laquelle les extensions de corps sont séparables est automatiquement satisfaite sur ces corps (voir la troisième condition ci-dessus).

Une autre propriété importante des corps parfaits est qu’ils admettent des vecteurs de Witt .

Plus généralement, un anneau de caractéristique p ( p a premier ) est dit parfait si l' endomorphisme de Frobenius est un automorphisme . (Lorsqu'il est restreint aux domaines intégraux , cela équivaut à la condition ci-dessus « chaque élément de k est une p -ième puissance ».)

Exemples

Voici des exemples de champs parfaits :

tout corps de caractéristique zéro, donc et toute extension finie, et ; ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src=$
tout corps fini ; ${\displaystyle \mathbb {F} _{q <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
tout corps algébriquement clos ;
l'union d'un ensemble de corps parfaits totalement ordonnés par extension ;
corps algébriques sur un corps parfait.

La plupart des corps rencontrés en pratique sont parfaits. Le cas imparfait se présente principalement en géométrie algébrique en caractéristique p > 0 . Tout corps imparfait est nécessairement transcendant sur son sous-corps premier (le sous-corps minimal), car ce dernier est parfait. Un exemple de corps imparfait est le corps , puisque l'endomorphisme de Frobenius envoie et n'est donc pas surjectif. Ce corps s'intègre dans le corps parfait ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {F} _ {q} (x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>↦</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\mapsto x^{p}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {F} _{q}(x,x^{1/p},x^{1/p^{2}},\ldots )}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

appelé sa perfection . Les corps imparfaits posent des difficultés techniques car des polynômes irréductibles peuvent devenir réductibles dans la clôture algébrique du corps de base. Par exemple, considère un corps imparfait de caractéristique et a non une puissance p -ième dans k . Alors dans sa clôture algébrique , l'égalité suivante est vraie : ${\displaystyle f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <mi>un</mi> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>∈</mo> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle f (x, y) = x ^ {p} + ay ^ {p} in k [x, y]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle p <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>p</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle p}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y] <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <mi>alg</mi> </mrow> </msup> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p}, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>et</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où b ^p = a et un tel b existe dans cette clôture algébrique. Géométriquement, cela signifie que ne définit pas de courbe plane affine dans . ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k[x,y] <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>[</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>et</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k[x,y]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Extension de champ sur un corps parfait

Toute extension de corps de type fini K sur un corps parfait k est séparablement engendrée, c'est-à-dire admet une base de transcendance séparatrice , c'est-à-dire une base de transcendance Γ telle que K soit séparablement algébrique sur k (Γ).

Fermeture parfaite et perfection

L'une des conditions équivalentes stipule que, dans la caractéristique p , un corps auquel sont jointes toutes les racines p ^r -ièmes ( r ≥ 1 ) est parfait ; on l'appelle la fermeture parfaite de k et on la note généralement . ${\displaystyle k^{p^{-\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>∞</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle k ^ {p ^ {- \ infty }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

La fermeture parfaite peut être utilisée dans un test de séparabilité. Plus précisément, une k -algèbre commutative A est séparable si et seulement si est réduite. ${\displaystyle A\otimes _{k}k^{p^{-\infty <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <msub> <mo>⊗</mo> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>k</mi> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>∞</mi> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle A otimes _ {k} k ^ {p ^ {- \ infty }}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

En termes de propriétés universelles , la fermeture parfaite d'un anneau A de caractéristique p est un anneau parfait A _p de caractéristique p associé à un homomorphisme d'anneaux u : A → A _p tel que pour tout autre anneau parfait B de caractéristique p associé à un homomorphisme v : A → B il existe un unique homomorphisme f : A _p → B tel que v se factorise par u (c'est-à-dire v = fu ). La fermeture parfaite existe toujours ; la preuve implique des « racines p -ièmes adjacentes d'éléments de A », comme dans le cas des corps.

La perfection d'un anneau A de caractéristique p est la notion duale (bien que ce terme soit parfois utilisé pour la fermeture parfaite). En d'autres termes, la perfection R ( A ) de A est un anneau parfait de caractéristique p ainsi qu'une application θ : R ( A ) → A telle que pour tout anneau parfait B de caractéristique p muni d'une application φ : B → A , il existe une unique application f : B → R ( A ) telle que φ factorise par θ (c'est-à-dire φ = θf ). La perfection de A peut être construite comme suit. Considérons le système projectif

{\displaystyle \cdots ightarrow A ightarrow A ightarrow A ightarrow \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⋯</mo> <mo>→</mo> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mi>UN</mi> <mo>→</mo> <mo>⋯</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \cdots ightarrow A ightarrow A ightarrow A ightarrow \cdots }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où les applications de transition sont l'endomorphisme de Frobenius. La limite inverse de ce système est R ( A ) et est constituée de suites ( x ₀ , x ₁ , ... ) d'éléments de A tels que pour tout i . L'application θ : R ( A ) → A envoie ( x _i ) vers x ₀ . ${\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$