Complément (théorie des ensembles)

En théorie des ensembles , le complémentaire d'un ensemble A , souvent noté (ou A ′ ), est l'ensemble des éléments qui ne font pas partie de A . ${\displaystyle A^{\complement <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\complément }}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Lorsque tous les éléments de l' univers , c'est-à-dire tous les éléments considérés, sont considérés comme membres d'un ensemble donné U , le complément absolu de A est l'ensemble des éléments de U qui ne sont pas dans A.

Le complément relatif de A par rapport à un ensemble B , également appelé différence d'ensemble de B et A , s'écrit l'ensemble des éléments de B qui ne sont pas dans A. ${\displaystyle B\setminus A, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>UN</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B\setminus A,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Complément absolu

Définition

Si A est un ensemble, alors le complément absolu de A (ou simplement le complément de A ) est l'ensemble des éléments qui ne sont pas dans A (au sein d'un ensemble plus grand implicitement défini). En d'autres termes, soit U un ensemble qui contient tous les éléments étudiés ; s'il n'est pas nécessaire de mentionner U , soit parce qu'il a été précédemment spécifié, soit parce qu'il est évident et unique, alors le complément absolu de A est le complément relatif de A dans U : ${\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A=\{x\in U:x otin A\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mo>∖</mo> <mi>UN</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>Tu</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∉</mo> <mi>UN</mi> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\complément }=U\setminus A=\{x\dans U:x otin A\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Le complément absolu de A est généralement noté par . D'autres notations incluent ${\displaystyle A^{\complement <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\complément }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\overline {A}},A', <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mover> <mi>UN</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mo>,</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\overline {A}},A',}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \complement _{U}A,{ ext{ and }}\complement A. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>∁</mi> <mrow> <mi>Tu</mi> </mrow> </msub> <mi>UN</mi> <mo>,</mo> <mrow> <mtext> et </mtext> </mrow> <mi>∁</mi> <mi>UN</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \complément _{U}A,{ exte{ et }}\complément A.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemples

Supposons que l'univers soit l'ensemble des entiers . Si A est l'ensemble des nombres impairs, alors le complément de A est l'ensemble des nombres pairs. Si B est l'ensemble des multiples de 3, alors le complément de B est l'ensemble des nombres congrus à 1 ou 2 modulo 3 (ou, en termes plus simples, les entiers qui ne sont pas des multiples de 3).
Supposons que l'univers soit un jeu de cartes standard de 52 cartes . Si l'ensemble A est la couleur des piques, alors le complément de A est la réunion des couleurs des trèfles, des carreaux et des cœurs. Si l'ensemble B est la réunion des couleurs des trèfles et des carreaux, alors le complément de B est la réunion des couleurs des cœurs et des piques.
Lorsque l'univers est l' univers des ensembles décrits dans la théorie formalisée des ensembles , le complément absolu d'un ensemble n'est généralement pas lui-même un ensemble, mais plutôt une classe propre . Pour plus d'informations, voir ensemble universel .

Propriétés

Soient A et B deux ensembles dans un univers U. Les identités suivantes capturent des propriétés importantes des compléments absolus :

Lois de De Morgan :

${\displaystyle \left(A\cup B ight)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>UN</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>∩</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gauche(A\cup B\droite)^{\complément }=A^{\complément }\cap B^{\complément }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \left(A\cap B ight)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>UN</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>∪</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gauche(A\cap B\droite)^{\complément }=A^{\complément }\cup B^{\complément }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Lois complémentaires :

${\displaystyle A\cup A^{\complement }=U. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>∪</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\cup A^{\complément }=U.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>∩</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\cap A^{\complément }=\emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>∅</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>Tu</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \emptyset ^{\complement }=U.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle U^{\complement }=\emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Tu</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle U^{\complément }=\emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle { ext{If }}A\subseteq B{ ext{, then }}B^{\complement }\subseteq A^{\complement }. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtext>Si </mtext> </mrow> <mi>UN</mi> <mo>⊆</mo> <mi>B</mi> <mrow> <mtext>, alors </mtext> </mrow> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>⊆</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { ext{Si }}A\subseteq B{ ext{, alors }}B^{\complément }\subseteq A^{\complément }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
(ceci résulte de l'équivalence d'un conditionnel avec sa contraposée ).

Loi d'involution ou de double complément :

${\displaystyle \left(A^{\complement } ight)^{\complement }=A. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gauche(A^{\complément }\droite)^{\complément }=A.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Relations entre compléments relatifs et absolus :

${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>UN</mi> <mo>∖</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <mi>UN</mi> <mo>∩</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complément }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B=A^{\complement }\cup (B\cap A). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>UN</mi> <mo>∖</mo> <mi>B</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>∪</mo> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mi>UN</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (A\setminus B)^{\complément }=A^{\complément }\cup B=A^{\complément }\cup (B\cap A).}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Relation avec une différence d'ensemble :

${\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>∖</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>∁</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>UN</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\complément }\setminus B^{\complément }=B\setminus A.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les deux premières lois du complément ci-dessus montrent que si A est un sous-ensemble propre non vide de U , alors { A , A ^∁ } est une partition de U .

Complément relatif

Définition

Si A et B sont des ensembles, alors le complément relatif de A dans B , également appelé différence d'ensemble de B et A , est l'ensemble des éléments de B mais pas de A.

Le complément relatif de A dans B est noté selon la norme ISO 31-11 . Il est parfois écrit mais cette notation est ambiguë, car dans certains contextes (par exemple, les opérations sur les ensembles de Minkowski en analyse fonctionnelle ) il peut être interprété comme l'ensemble de tous les éléments où b est pris de B et a de A . ${\displaystyle B\setminus A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B\setminus A}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle B-A, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>−</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B-A,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b-a, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b-a,}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Officiellement: ${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x otin A\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mi>B</mi> <mo>:</mo> <mi>x</mi> <mo>∉</mo> <mi>A</mi> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x otin A\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Exemples

${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>}</mo> <mo>∖</mo> <mo>{</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mn>4</mn> <mo>}</mo> <mo>∖</mo> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>}</mo> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <mn>4</mn> <mo>}</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si est l'ensemble des nombres réels et est l'ensemble des nombres rationnels , alors est l'ensemble des nombres irrationnels . ${\displaystyle \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>∖</mo> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Propriétés

Soient A , B et C trois ensembles dans un univers U. Les identités suivantes capturent les propriétés notables des compléments relatifs :

${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>∩</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>∪</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B). <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>∪</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>∩</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∩</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>∪</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>B</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}</annotation> </semantics> </math><img src=$
avec le cas particulier important démontrant que l'intersection peut être exprimée en utilisant uniquement l'opération de complément relatif. ${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∩</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mi>C</mi> <mo>)</mo> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>B</mi> <mo>∩</mo> <mo>(</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C). <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>B</mi> <mo>∪</mo> <mi>C</mi> <mo>)</mo> <mo>∖</mo> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>∖</mo> <mi>C</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle A\setminus A=\emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∅</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle A\setminus \emptyset =A. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>∖</mo> <mi>∅</mi> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle A\setminus U=\emptyset . <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>∖</mo> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mi>∅</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Si , alors . ${\displaystyle A\subset B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>⊂</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\subset B}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> <mo>⊃</mo> <mi>C</mi> <mo>∖</mo> <mi>B</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}</annotation> </semantics> </math><img src=$
${\displaystyle A\supseteq B\setminus C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>A</mi> <mo>⊇</mo> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A\supseteq B\setminus C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C\supseteq B\setminus A <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> <mo>⊇</mo> <mi>B</mi> <mo>∖</mo> <mi>A</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C\supseteq B\setminus A}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Relation complémentaire

Une relation binaire est définie comme un sous-ensemble d'un produit d'ensembles. La relation complémentaire est le complément d'ensemble de . La relation complémentaire de peut s'écrire ici, est souvent considérée comme une matrice logique avec des lignes représentant les éléments de et des colonnes les éléments de. La vérité de correspond à 1 dans la ligne et la colonne. Produire la relation complémentaire à correspond alors à changer tous les 1 en 0 et les 0 en 1 pour la matrice logique du complément. ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X imes Y. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X imes Y.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {R <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>R</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\bar {R}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X imes Y. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X imes Y.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X imes Y)\setminus R. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mover> <mi>R</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mtext> </mtext> <mo>=</mo> <mtext> </mtext> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>×</mo> <mi>Y</mi> <mo>)</mo> <mo>∖</mo> <mi>R</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\bar {R}}\ =\ (X imes Y)\setminus R.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle X, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>X</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle Y. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Y</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle Y.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle aRb <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mi>R</mi> <mi>b</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle aRb}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a,}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Avec la composition des relations et les relations réciproques , les relations complémentaires et l' algèbre des ensembles sont les opérations élémentaires du calcul des relations .

Notation LaTeX

Dans le langage de composition LaTeX , la commande \setminus est généralement utilisée pour restituer un symbole de différence d'ensemble, qui est similaire à un symbole de barre oblique inverse . Une fois rendue, la \setminuscommande ressemble à \backslash, sauf qu'elle a un peu plus d'espace devant et derrière la barre oblique, semblable à la séquence LaTeX \mathbin{\backslash}. Une variante \smallsetminusest disponible dans le paquet amssymb, mais ce symbole n'est pas inclus séparément dans Unicode. Le symbole (par opposition à ) est produit par . (Il correspond au symbole Unicode U+2201 ∁ COMPLEMENT .) ${\displaystyle \complement <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∁</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \complement }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle C <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>C</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle C}</annotation> </semantics> </math><img src=$ \complement