Achèvement en douceur

En géométrie algébrique , la complétion lisse (ou compactification lisse ) d'une courbe algébrique affine lisse X est une courbe algébrique lisse complète qui contient X comme sous-ensemble ouvert. Les complétions lisses existent et sont uniques sur un corps parfait .

Une forme affine d'une courbe hyperelliptique peut être présentée comme où et P ( x ) ont des racines distinctes et sont de degré au moins 5. La fermeture de Zariski de la courbe affine dans est singulière au point infini unique ajouté. Néanmoins, la courbe affine peut être intégrée dans une surface de Riemann compacte unique appelée sa complétion lisse. La projection de la surface de Riemann sur est de 2 à 1 sur le point singulier à l'infini si est de degré pair, et de 1 à 1 (mais ramifiée) sinon.

Cette complétion lisse peut également être obtenue de la manière suivante. Projetez la courbe affine sur la droite affine en utilisant la coordonnée x . Intégrez la droite affine dans la droite projective, puis prenez la normalisation de la droite projective dans le corps de fonctions de la courbe affine.

Une courbe lisse connexe sur un corps algébriquement clos est dite hyperbolique si où g est le genre de la complétion lisse et r est le nombre de points ajoutés. $02g-2+r>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa465c1daf77211e8f13ff55e5412484554cbdc">

Sur un corps algébriquement clos de caractéristique 0, le groupe fondamental de X est libre de générateurs si r >0.

(Analogue au théorème unitaire de Dirichlet ) Soit X une courbe connexe lisse sur un corps fini. Alors les unités de l'anneau des fonctions régulières O(X) sur X sont un groupe abélien de type fini de rang r -1.

Supposons que le corps de base soit parfait. Toute courbe affine X est isomorphe à un ouvert d'une courbe projective intégrale (donc complète). En prenant la normalisation (ou en faisant exploser les singularités) de la courbe projective, on obtient alors une complétude lisse de X . Leurs points correspondent aux valuations discrètes du corps de fonctions qui sont triviales sur le corps de base.

Par construction, la complétion lisse est une courbe projective qui contient la courbe donnée comme un sous-ensemble ouvert partout dense, et les nouveaux points ajoutés sont lisses. Une telle complétion (projective) existe toujours et est unique.

Si le corps de base n'est pas parfait, une complétude régulière d'une courbe affine régulière n'existe pas toujours. Mais le processus ci-dessus produit toujours une complétude régulière si nous commençons par une courbe affine régulière (les variétés lisses sont régulières, et l'inverse est vrai sur les corps parfaits). Une complétude régulière est unique et, par le critère valuatif de propriété , tout morphisme de la courbe affine vers une variété algébrique complète s'étend uniquement à la complétude régulière.

Si X est une variété algébrique séparée , un théorème de Nagata dit que X peut être plongé comme un sous-ensemble ouvert d'une variété algébrique complète. Si X est de plus lisse et que le corps de base a pour caractéristique 0, alors, d'après le théorème de Hironaka, X peut même être plongé comme un sous-ensemble ouvert d'une variété algébrique lisse complète, avec pour frontière un diviseur à croisement normal. Si X est quasi-projectif, la complétion lisse peut être choisie comme projective.

Cependant, contrairement au cas unidimensionnel, il n’y a pas d’unicité de la complétion lisse, ni de canonique.