Worldlex Wiki 
Au tournant du XXe siècle, Henri Lebesgue et Hermann Minkowski ont cherché à définir une aire générale . Leurs travaux ont mené au développement de la théorie géométrique de la mesure , qui étudie différentes notions d'aire pour les objets irréguliers de dimensions quelconques. Le contenu de Minkowski d'une surface en est un exemple important .
qui associe un nombre réel positif à une certaine classe de surfaces satisfaisant plusieurs conditions naturelles. La propriété fondamentale de l'aire d'une surface est son additivité : l'aire du tout est la somme des aires de ses parties . Plus rigoureusement, si une surface S est l'union d' un nombre fini de morceaux S₁ , ..., Sₙ qui ne se chevauchent qu'à leurs frontières, alors
L'aire des surfaces polygonales planes doit correspondre à leur aire géométrique . Puisque l'aire d'une surface est une notion géométrique, les aires de surfaces congruentes sont identiques et ne dépendent que de la forme de la surface, et non de sa position ni de son orientation dans l'espace. Cela signifie que l'aire d'une surface est invariante par transformation euclidienne . Ces propriétés caractérisent de manière unique l'aire d'une vaste classe de surfaces géométriques dites lisses par morceaux . Ces surfaces sont constituées d'un nombre fini de morceaux qui peuvent être représentés sous forme paramétrique.
avec une fonction continûment différentiable. L'aire d'une pièce individuelle est définie par la formule
L'aire de SD est ainsi obtenue en intégrant la longueur du vecteur normal à la surface sur la région D appropriée dans le plan paramétrique uv . L'aire de la surface entière est ensuite obtenue en additionnant les aires des segments, grâce à l'additivité des aires. La formule principale peut être spécialisée pour différentes classes de surfaces, donnant notamment des formules pour les aires des graphes z = f ( x , y ) et des surfaces de révolution .
L'une des subtilités de la notion d'aire, par rapport à celle de longueur d'arc de courbe, est qu'elle ne peut être définie simplement comme la limite des aires de formes polyédriques approchant une surface lisse donnée. Hermann Schwarz a démontré que, même pour le cylindre, différents choix d'approximation des surfaces planes peuvent conduire à différentes valeurs limites de l'aire ; cet exemple est connu sous le nom de lanterne de Schwarz .
Diverses approches d'une définition générale de l'aire d'une surface ont été développées à la fin du XIXe et au début du XXe siècle par Henri Lebesgue et Hermann Minkowski . Si, pour les surfaces lisses par morceaux, il existe une notion naturelle et unique d'aire, il est parfois impossible d'attribuer une aire à une surface très irrégulière ou rugueuse. Une surface parsemée de pointes denses en est un exemple typique. De nombreuses surfaces de ce type interviennent dans l'étude des fractales . Des extensions de la notion d'aire, qui remplissent partiellement sa fonction et peuvent être définies même pour des surfaces très irrégulières, sont étudiées en théorie géométrique de la mesure . Le contenu de Minkowski de la surface en est un exemple précis.
Formules courantes
Les formules ci-dessous peuvent être utilisées pour montrer que l'aire de la surface d'une sphère et d'un cylindre de même rayon et de même hauteur est dans le rapport 2 : 3 , comme suit. Soit r le rayon et h la hauteur (qui est égale à 2 r pour la sphère). La découverte de ce rapport est attribuée à Archimède . La surface corporelle d'un organisme est importante pour plusieurs raisons, notamment la régulation de la température corporelle et la digestion . Les animaux utilisent leurs dents pour broyer les aliments en particules plus petites, augmentant ainsi la surface disponible pour la digestion. Le tissu épithélial qui tapisse le tube digestif contient des microvillosités , ce qui accroît considérablement la surface d'absorption. Les éléphants possèdent de grandes oreilles , leur permettant de réguler leur température corporelle. Dans d'autres cas, les animaux doivent minimiser leur surface corporelle ; par exemple, les humains croisent les bras sur leur poitrine lorsqu'ils ont froid afin de limiter les pertes de chaleur. Le rapport surface/volume (S/V) d'une cellule impose des limites supérieures à sa taille, car le volume augmente beaucoup plus rapidement que la surface, limitant ainsi la vitesse de diffusion des substances de l'intérieur vers les espaces interstitiels ou vers d'autres cellules à travers la membrane cellulaire . En effet, en représentant une cellule par une sphère idéale de rayon
Revenez a l index pour explorer davantage de pages sur l histoire, la science, la culture, la geographie et la societe en francais.Forme Formule/Équation Variables Cube a = longueur du côté Cuboïde prisme triangulaire les prismes Sphère r = rayon de l'hémisphère Coquille hémisphérique Lune sphérique Torus Cylindre fermé anneau cylindrique Capsule cône Pyramide régulière pyramide carrée Tétraèdre a = longueur du côté Surface de la révolution Surface paramétrique Plus d articles de Worldlex Wiki