algèbre universelle

L'algèbre universelle (parfois appelée algèbre générale ) est la branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques en général, et non des types spécifiques de structures algébriques. Par exemple, au lieu de considérer les groupes ou les anneaux comme objet d'étude — ce qui relève de la théorie des groupes et de la théorie des anneaux —, l'algèbre universelle étudie les différents types possibles de structures algébriques et leurs relations.

En algèbre universelle, unL'algèbre (oustructure algébrique) est unensembleAainsi qu'une collection d'opérationssur A.

Une opération n - aire sur A est une fonction qui prend n éléments de A et renvoie un seul élément de A. Ainsi, une opération 0-aire (ou opération nulle ) peut être représentée simplement par un élément de A , ou une constante , souvent notée par une lettre comme a . Une opération 1-aire (ou opération unaire ) est simplement une fonction de A vers A , souvent notée par un symbole placé devant son argument, comme ~ x . Une opération 2-aire (ou opération binaire ) est souvent notée par un symbole placé entre ses arguments (également appelée notation infixe ), comme x ∗ y . Les opérations d' arité supérieure ou non spécifiée sont généralement notées par des symboles de fonction, avec les arguments placés entre parenthèses et séparés par des virgules, comme f ( x , y , z ) ou f ( x₁ _, ..., xₙ ₎ . Une façon de parler d'une algèbre consiste donc à la désigner comme une algèbre d'un certain type Ω, où Ω est une suite ordonnée de nombres naturels représentant l'arité des opérations de l'algèbre. Cependant, certains chercheurs autorisent également les opérations infinitaires , telles que celles où J est un ensemble d'indices infini , ce qui correspond à une opération dans la théorie algébrique des treillis complets .

Une fois les opérations spécifiées, l'algèbre est définie par des axiomes , qui, en algèbre universelle, prennent souvent la forme d' identités ou de lois équationnelles. L'axiome d'associativité d'une opération binaire, donné par l'équation x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z , en est un exemple . Cet axiome est censé être vrai pour tous les éléments x , y et z de l'ensemble A.

Un ensemble de structures algébriques définies par des identités est appelé une variété ou une classe équationnelle .

Limiter ses études aux variétés exclut :

• quantification , y compris la quantification universelle (∀) sauf devant une équation, et la quantification existentielle (∃)
• connecteurs logiques autres que la conjonction (∧)
• relations autres que l'égalité, en particulier les inégalités , à la fois a ≠ b et les relations d'ordre

L'étude des classes équationnelles peut être considérée comme une branche particulière de la théorie des modèles , traitant généralement de structures ne possédant que des opérations (c'est-à-dire que le type peut avoir des symboles pour les fonctions mais pas pour les relations autres que l'égalité), et dans laquelle le langage utilisé pour parler de ces structures n'utilise que des équations.

Toutes les structures algébriques au sens large ne relèvent pas de ce champ d'application. Par exemple, les groupes ordonnés impliquent une relation d'ordre et n'en font donc pas partie.

La classe des corps n'est pas une classe équationnelle car il n'existe pas de type (ou « signature ») dans lequel toutes les lois du corps peuvent être écrites sous forme d'équations (les inverses des éléments sont définies pour tous les éléments non nuls d'un corps, donc l'inversion ne peut pas être ajoutée au type).

L'un des avantages de cette restriction est que les structures étudiées en algèbre universelle peuvent être définies dans toute catégorie possédant des produits finis . Par exemple, un groupe topologique est simplement un groupe de la catégorie des espaces topologiques .

La plupart des systèmes algébriques usuels des mathématiques sont des exemples de variétés, mais pas toujours de manière évidente, car les définitions usuelles impliquent souvent une quantification ou des inégalités.

Prenons comme exemple la définition d'un groupe . Habituellement, un groupe est défini à l'aide d'une seule opération binaire ∗, soumise aux axiomes suivants :

• Associativité (comme dans la section précédente ) : x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z ; formellement : ∀ x , y , z . x ∗( y ∗ z )=( x ∗ y )∗ z .
• Élément d'identité : Il existe un élément e tel que pour chaque élément x , on a e ∗ x = x = x ∗ e ; formellement : ∃ e ∀ x . e ∗ x = x = x ∗ e .
• Élément inverse : L'élément identité est facilement identifiable comme unique et est généralement noté e . Alors, pour chaque x , il existe un élément i tel que x ∗ i = e = i ∗ x ; formellement : ∀ x ∃ i . x ∗ i = e = i ∗ x .

(Certains auteurs utilisent également l'axiome de « fermeture » selon lequel x ∗ y appartient à A chaque fois que x et y appartiennent, mais ici cela est déjà sous-entendu par le fait que ∗ désigne une opération binaire.)

Cette définition d'un groupe ne correspond pas immédiatement au point de vue de l'algèbre universelle, car les axiomes de l'élément neutre et de l'inversion ne sont pas énoncés uniquement en termes de lois équationnelles universellement valables « pour tout élément… », mais font également intervenir le quantificateur existentiel « il existe… ». Les axiomes du groupe peuvent être formulés comme des équations universellement quantifiées en spécifiant, outre l'opération binaire ∗, une opération nulle e et une opération unaire ~, avec ~ x généralement noté x ^{− 1.} Les axiomes deviennent alors :

• Associativité : x ∗ ( y ∗ z ) = ( x ∗ y ) ∗ z .
• Élément neutre : e ∗ x = x = x ∗ e .
• Élément inverse : x ∗ (~ x ) = e = (~ x ) ∗ x .

En résumé, la définition habituelle est la suivante :

• une seule opération binaire ( signature (2))
• 1. Loi équationnelle (associativité)
• 2 lois quantifiées (identité et inverse)

tandis que la définition universelle de l'algèbre comporte :

• 3 opérations : une binaire, une unaire et une nulle ( signature (2, 1, 0) )
• 3 lois équationnelles (associativité, identité et inverse)
• aucune loi quantifiée (à l'exception des quantificateurs universels les plus externes, qui sont universellement implicites pour toutes les variables des variétés)

Un point essentiel est que les opérations supplémentaires n'ajoutent aucune information, mais découlent uniquement de la définition usuelle d'un groupe. Bien que la définition usuelle ne spécifie pas de manière unique l'élément neutre e , un exercice simple montre qu'il est unique, de même que l' inverse de chaque élément.

Le point de vue de l'algèbre universelle est bien adapté à la théorie des catégories. Par exemple, lors de la définition d'un objet de groupe en théorie des catégories, où l'objet en question peut ne pas être un ensemble, il faut utiliser des lois équationnelles (qui ont un sens dans les catégories générales), plutôt que des lois quantifiées (qui se rapportent à des éléments individuels). De plus, l'inverse et l'élément neutre sont spécifiés comme des morphismes dans la catégorie. Par exemple, dans un groupe topologique , l'inverse doit non seulement exister élément par élément, mais aussi définir une application continue (un morphisme). Certains auteurs exigent également que l'application neutre soit une inclusion fermée (une cofibration ).

La plupart des structures algébriques sont des exemples d'algèbres universelles.

• Anneaux , semi-groupes , quasi-groupes , groupoïdes , magmas , boucles et autres.
• Les espaces vectoriels sur un corps fixé et les modules sur un anneau fixé sont des algèbres universelles. Ils possèdent une addition binaire et une famille d'opérateurs de multiplication scalaire unaire, un pour chaque élément du corps ou de l'anneau.

Les semi-treillis , les treillis et les algèbres booléennes sont des exemples d'algèbres relationnelles .

Nous supposons que le type, Ω, a été fixé. Il existe alors trois constructions fondamentales en algèbre universelle : l’image homomorphe, la sous-algèbre et le produit.

Un homomorphisme entre deux algèbres A et B est une fonction h : A → B de l'ensemble A vers l'ensemble B telle que, pour toute opération f_{_A} de A et toute opération f_{_B} correspondante de B (d'arité n , par exemple ), h ( f_{_A} ( x _₁ , ..., x_{_n} )) = f _{_B} ( h ( x_₁ ), ..., h ( x_{_n} )). ( On omet parfois les indices de f lorsque le contexte permet de déterminer l'algèbre à laquelle appartient la fonction.) Par exemple, si e est une constante (opération nulle), alors h ( e_{_A} ) = e_{_B}. Si ~ est une opération unaire, alors h (~ x ) = ~ h ( x ). Si ∗ est une opération binaire, alors h ( x ∗ y ) = h ( x ) ∗ h ( y ). Et ainsi de suite. Quelques exemples d'opérations possibles avec les homomorphismes, ainsi que des définitions de certains types particuliers d'homomorphismes, sont présentés sous la rubrique Homomorphisme . En particulier, on peut prendre l'image homomorphe d'une algèbre, h ( A ).

Une sous-algèbre de A est un sous-ensemble de A qui est stable par rapport à toutes les opérations de A. Un produit d'un ensemble de structures algébriques est le produit cartésien des ensembles dont les opérations sont définies par coordonnées.

• Les théorèmes d'isomorphisme , qui englobent les théorèmes d'isomorphisme des groupes , des anneaux , des modules , etc.
• Le théorème HSP de Birkhoff stipule qu'une classe d'algèbres est une variété si et seulement si elle est fermée par rapport aux images homomorphes, aux sous-algèbres et aux produits directs arbitraires.

Outre son approche unificatrice, l'algèbre universelle présente des théorèmes profonds ainsi que d'importants exemples et contre-exemples. Elle offre un cadre utile à ceux qui souhaitent entreprendre l'étude de nouvelles classes d'algèbres. Elle permet d'appliquer à d'autres classes d'algèbres des méthodes conçues pour certaines classes particulières, en les reformulant (si possible) dans le cadre de l'algèbre universelle, puis en les interprétant. Elle a également apporté des clarifications conceptuelles ; comme l'affirme J. D. H. Smith : « Ce qui paraît complexe et confus dans un cadre particulier peut se révéler simple et évident dans un cadre général approprié. »

L'algèbre universelle s'applique notamment à l'étude des monoïdes , des anneaux et des treillis . Avant son apparition, de nombreux théorèmes (en particulier les théorèmes d'isomorphisme ) étaient démontrés séparément pour chacune de ces classes ; grâce à l'algèbre universelle, ils peuvent être démontrés une fois pour toutes pour tout système algébrique.

Un article de Higgins de 1956 a établi un cadre pour divers systèmes algébriques particuliers. Son article de 1963 est remarquable pour son étude des algèbres à opérations partielles , dont les catégories et les groupoïdes sont des exemples typiques. Une généralisation plus poussée concerne l' algèbre de dimension supérieure , que l'on peut définir comme l'étude des théories algébriques à opérations partielles dont les domaines sont définis par des conditions géométriques. Parmi les exemples notables, on trouve diverses formes de catégories et de groupoïdes de dimension supérieure.

L'algèbre universelle fournit un langage naturel pour le problème de satisfaction de contraintes (CSP) . Le CSP désigne une classe importante de problèmes de calcul où, étant donné une algèbre relationnelle A et une proposition existentielle ϕ sur cette algèbre, il s'agit de déterminer si ϕ peut être satisfaite dans A. L'algèbre A est souvent fixée, de sorte que le CSP _A désigne le problème dont l'instance est uniquement la proposition existentielle ϕ .

Il est prouvé que tout problème de calcul peut être formulé comme CSP _A pour une certaine algèbre A .

Par exemple, le problème de coloration n peut être énoncé comme CSP de l'algèbre ({0, 1, ..., n −1}, ≠) , c'est-à-dire une algèbre avec n éléments et une seule relation, l'inégalité.

L'algèbre universelle a également été étudiée à l'aide des techniques de la théorie des catégories . Dans cette approche, au lieu de dresser une liste d'opérations et d'équations auxquelles elles obéissent, on peut décrire une structure algébrique à l'aide de catégories particulières, appelées théories de Lawvere ou, plus généralement, théories algébriques . On peut également décrire les structures algébriques à l'aide de monades . Ces deux approches sont étroitement liées et présentent chacune leurs propres avantages. En particulier, toute théorie de Lawvere définit une monade sur la catégorie des ensembles, tandis que toute monade « finitaire » sur la catégorie des ensembles découle d'une théorie de Lawvere. Cependant, une monade décrit des structures algébriques au sein d'une catégorie particulière (par exemple, la catégorie des ensembles), tandis que les théories algébriques décrivent des structures au sein d'une vaste classe de catégories (celles qui possèdent un produit fini ).

Un développement plus récent de la théorie des catégories est la théorie des opérades : une opérade est un ensemble d’opérations, semblable à une algèbre universelle, mais restreinte en ce que les équations ne sont autorisées qu’entre des expressions comportant les variables, sans duplication ni omission de variables. Ainsi, les anneaux peuvent être décrits comme les « algèbres » d’une opérade, mais pas les groupes, puisque la loi gg ⁻¹ = 1 duplique la variable g à gauche et l’omet à droite. De prime abord, cette restriction peut sembler problématique, mais elle présente l’avantage de conférer aux opérades certains atouts : par exemple, on peut hybrider les concepts d’anneau et d’espace vectoriel pour obtenir celui d’ algèbre associative , alors qu’il est impossible de former une hybridation similaire entre les concepts de groupe et d’espace vectoriel.

Un autre développement est l'algèbre partielle où les opérateurs peuvent être des fonctions partielles . Certaines fonctions partielles peuvent également être traitées par une généralisation des théories de Lawvere connues sous le nom de « théories essentiellement algébriques ».

Une autre généralisation de l'algèbre universelle est la théorie des modèles , qui est parfois décrite comme « algèbre universelle + logique ».

Dans son ouvrage intitulé *A Treatise on Universal Algebra*, publié en 1898, Alfred North Whitehead donnait au terme « algèbre universelle » le même sens qu'aujourd'hui. Whitehead attribue à William Rowan Hamilton et Augustus De Morgan la paternité du sujet, et à James Joseph Sylvester la création du terme lui-même.

À l'époque, des structures telles que les algèbres de Lie et les quaternions hyperboliques ont mis en évidence la nécessité d'étendre les structures algébriques au-delà de la classe associative multiplicative. Dans une recension, Alexander Macfarlane écrivait : « L'idée principale de cet ouvrage n'est ni l'unification des différentes méthodes, ni la généralisation de l'algèbre ordinaire pour les inclure, mais plutôt l'étude comparative de leurs structures respectives. » L'algèbre logique de George Boole s'opposait alors fortement à l'algèbre des nombres ordinaire ; le terme « universel » contribua donc à apaiser les tensions.

Les premiers travaux de Whitehead visaient à unifier les quaternions (inspirés par Hamilton), la théorie de l'algèbre de Grassmann et l'algèbre logique de Boole. Whitehead écrit dans son livre :

« De telles algèbres ont une valeur intrinsèque qui justifie une étude détaillée séparée ; elles méritent également une étude comparative, en raison de l’éclairage qu’elle apporte à la théorie générale du raisonnement symbolique, et au symbolisme algébrique en particulier. L’étude comparative présuppose nécessairement une étude séparée préalable, la comparaison étant impossible sans connaissance. »

Whitehead, cependant, n'a obtenu aucun résultat de portée générale. Les travaux sur le sujet sont restés minimes jusqu'au début des années 1930, lorsque Garrett Birkhoff et Øystein Ore ont commencé à publier sur les algèbres universelles. Les développements en métamathématiques et en théorie des catégories dans les années 1940 et 1950 ont fait progresser le domaine, notamment les travaux d' Abraham Robinson , d'Alfred Tarski , d'Andrzej Mostowski et de leurs étudiants.

Entre 1935 et 1950, la plupart des articles s'inscrivaient dans la lignée des travaux de Birkhoff et traitaient des algèbres libres , des treillis de congruence et de sous-algèbre, ainsi que des théorèmes d'homomorphisme. Bien que le développement de la logique mathématique ait rendu possibles les applications à l'algèbre, celles-ci se firent lentement ; les résultats publiés par Anatoly Maltsev dans les années 1940 passèrent inaperçus en raison de la guerre. La conférence de Tarski au Congrès international des mathématiciens de 1950 à Cambridge inaugura une nouvelle ère où les aspects liés à la théorie des modèles furent développés, principalement par Tarski lui-même, mais aussi par Chen Chung Chang , Leon Henkin , Bjarni Jónsson , Roger Lyndon et d'autres.

À la fin des années 1950, Edward Marczewski a souligné l'importance des algèbres libres, ce qui a conduit à la publication de plus de 50 articles sur la théorie algébrique des algèbres libres par Marczewski lui-même, ainsi que par Jan Mycielski , Władysław Narkiewicz, Witold Nitka, J. Płonka, S. Świerczkowski, K. Urbanik et d'autres.

Des manuels d'introduction sont apparus dans les années 1960, notamment ceux de Bernard Neumann (1962), Paul Cohn (1965), George Grätzer (1967) et Richard S. Pierce (1968). À partir de la thèse de William Lawvere en 1963, les techniques de la théorie des catégories sont devenues importantes en algèbre universelle.