Worldlex Wiki En calcul multivariable , la dérivée directionnelle mesure la vitesse à laquelle une fonction change dans une direction particulière à un point donné.
La dérivée directionnelle d'une fonction différentiable multivariable (scalaire) le long d'un vecteur donné v en un point donné x représente intuitivement le taux de variation instantané de la fonction, se déplaçant à travers x avec une direction spécifiée par v .
La dérivée directionnelle d'une fonction scalaire f par rapport à un vecteur v en un point (par exemple, une position) x peut être désignée par l'une des expressions suivantes :
Elle généralise donc la notion de dérivée partielle , dans laquelle le taux de variation est pris le long d'une des courbes de coordonnées curvilignes , toutes les autres coordonnées étant constantes. La dérivée directionnelle est un cas particulier de la dérivée de Gateaux .
Définition
La dérivée directionnelle d'une fonction scalaire le long d'un vecteur est la fonction définie par la limite
Cette définition est valable dans un large éventail de contextes, par exemple lorsque la norme d’un vecteur (et donc d’un vecteur unitaire) n’est pas définie.
Pour les fonctions différentiables
Si la fonction f est différentiable en x , alors la dérivée directionnelle existe le long de tout vecteur unitaire v en x, et on a
où le à droite désigne le gradient , est le produit scalaire et v est un vecteur unitaire. Cela résulte de la définition d'un chemin et de l'utilisation de la définition de la dérivée comme limite qui peut être calculée le long de ce chemin pour obtenir :
Intuitivement, la dérivée directionnelle de f en un point x représente le taux de variation de f , dans la direction de v .
En utilisant uniquement la direction du vecteur
Dans un espace euclidien , certains auteurs définissent la dérivée directionnelle comme étant par rapport à un vecteur arbitraire non nul v après normalisation , étant ainsi indépendante de sa grandeur et ne dépendant que de sa direction.
Cette définition donne le taux d'augmentation de f par unité de distance parcourue dans la direction donnée par v . Dans ce cas, on a ou dans le cas où f est différentiable en x ,
Restriction à un vecteur unitaire
Dans le contexte d'une fonction sur un espace euclidien , certains textes limitent le vecteur v à un vecteur unitaire . Avec cette restriction, les deux définitions ci-dessus sont équivalentes.
Propriétés
La plupart des propriétés familières de la dérivée ordinaire sont valables pour la dérivée directionnelle. Il s'agit notamment de fonctions f et g définies dans un voisinage de p et différentiables en p :
- règle de somme :
- règle du facteur constant : Pour toute constante c ,
- règle du produit (ou règle de Leibniz ) :
- règle de la chaîne : Si g est différentiable en p et h est différentiable en g ( p ), alors
En géométrie différentielle
Soit M une variété différentiable et p un point de M . Supposons que f soit une fonction définie au voisinage de p , et différentiable en p . Si v est un vecteur tangent à M en p , alors la dérivée directionnelle de f le long de v , notée de diverses manières df ( v ) (voir Dérivée extérieure ), (voir Dérivée covariante ), (voir Dérivée de Lie ) ou (voir Espace tangent § Définition via les dérivations ), peut être définie comme suit. Soit γ : [−1, 1] → M une courbe différentiable avec γ (0) = p et γ ′(0) = v . Alors la dérivée directionnelle est définie par Cette définition peut être prouvée indépendamment du choix de γ , à condition que γ soit choisi de la manière prescrite de telle sorte que γ (0) = p et γ ′(0) = v .
La dérivée de Lie
La dérivée de Lie d'un champ vectoriel le long d'un champ vectoriel est donnée par la différence de deux dérivées directionnelles (à torsion nulle) : En particulier, pour un champ scalaire , la dérivée de Lie se réduit à la dérivée directionnelle standard :
Le tenseur de Riemann
Les dérivées directionnelles sont souvent utilisées dans les dérivations introductives du tenseur de courbure de Riemann . Considérons un rectangle courbe avec un vecteur infinitésimal le long d'un bord et le long de l'autre. Nous transférons un covecteur le long de puis puis soustrayons la translation le long de puis . Au lieu de construire la dérivée directionnelle en utilisant des dérivées partielles, nous utilisons la dérivée covariante . L'opérateur de translation pour est ainsi et pour , La différence entre les deux chemins est alors On peut soutenir que la non-commutativité des dérivées covariantes mesure la courbure de la variété : où est le tenseur de courbure de Riemann et le signe dépend de la convention de signe de l'auteur.
Dans la théorie des groupes
Traductions
Dans l' algèbre de Poincaré , nous pouvons définir un opérateur de translation infinitésimal P comme (le i garantit que P est un opérateur auto-adjoint ) Pour un déplacement fini λ , la représentation unitaire de l'espace de Hilbert pour les traductions est En utilisant la définition ci-dessus de l'opérateur de translation infinitésimal, nous voyons que l'opérateur de translation finie est une dérivée directionnelle exponentielle : Il s'agit d'un opérateur de translation au sens où il agit sur des fonctions multivariables f ( x ) comme
En calcul univariable standard, la dérivée d'une fonction lisse f ( x ) est définie par (pour un petit ε ) Ceci peut être réorganisé pour trouver f ( x + ε ) : Il s'ensuit que est un opérateur de translation. Ceci est instantanément généralisé aux fonctions multivariables f ( x ) Voici la dérivée directionnelle le long du déplacement infinitésimal ε . Nous avons trouvé la version infinitésimale de l'opérateur de translation : Il est évident que la loi de multiplication de groupe U ( g ) U ( f )= U ( gf ) prend la forme Supposons donc que nous prenions le déplacement fini λ et le divisons en N parties ( N →∞ est impliqué partout), de sorte que λ / N = ε . En d'autres termes, alors en appliquant U ( ε ) N fois, nous pouvons construire U ( λ ) : Nous pouvons maintenant remplacer notre expression ci-dessus par U( ε ) : En utilisant l'identité nous avons Et puisque U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ) nous avons CQFD
En tant que note technique, cette procédure n'est possible que parce que le groupe de translation forme un sous-groupe abélien ( sous-algèbre de Cartan ) dans l'algèbre de Poincaré. En particulier, la loi de multiplication de groupe U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) ne doit pas être tenue pour acquise. Nous notons également que Poincaré est un groupe de Lie connexe . C'est un groupe de transformations T ( ξ ) qui sont décrites par un ensemble continu de paramètres réels . La loi de multiplication de groupe prend la forme En prenant comme coordonnées de l'identité, nous devons avoir Les opérateurs réels sur l'espace de Hilbert sont représentés par des opérateurs unitaires U ( T ( ξ )). Dans la notation ci-dessus, nous avons supprimé le T ; nous écrivons maintenant U ( λ ) comme U ( P ( λ )). Pour un petit voisinage autour de l'identité, la représentation en série entière est assez bonne. Supposons que U(T(ξ)) forme une représentation non projective, c'est-à-dire que Le développement de f à la puissance deux est Après avoir développé l'équation de multiplication de la représentation et égalisé les coefficients, nous avons la condition non triviale Puisque est par définition symétrique dans ses indices, nous avons le commutateur standard de l'algèbre de Lie : avec C la constante de structure . Les générateurs de traductions sont des opérateurs de dérivées partielles, qui commutent : Cela implique que les constantes de structure s'annulent et donc les coefficients quadratiques dans le développement de f s'annulent également. Cela signifie que f est simplement additif : et donc pour les groupes abéliens, CQFD
Rotations
L' opérateur de rotation contient également une dérivée directionnelle. L'opérateur de rotation pour un angle θ , c'est-à-dire d'une quantité θ = | θ | autour d'un axe parallèle à est Ici L est l'opérateur vectoriel qui génère SO(3) : On peut montrer géométriquement qu'une rotation infinitésimale vers la droite modifie le vecteur de position x de On s'attend donc à ce que sous une rotation infinitésimale : Il s'ensuit que En suivant la même procédure d'exponentiation que ci-dessus, on arrive à l'opérateur de rotation dans la base de position, qui est une dérivée directionnelle exponentielle :
Dérivée normale
Une dérivée normale est une dérivée directionnelle prise dans la direction normale (c'est-à-dire orthogonale ) à une surface de l'espace, ou plus généralement le long d'un champ de vecteurs normal orthogonal à une hypersurface . Voir par exemple la condition limite de Neumann . Si la direction normale est notée , alors la dérivée normale d'une fonction f est parfois notée . Dans d'autres notations,
Dans la mécanique des milieux continus des solides
Plusieurs résultats importants en mécanique des milieux continus nécessitent la détermination des dérivées de vecteurs par rapport à des vecteurs et de tenseurs par rapport à des vecteurs et à des tenseurs. La directive directionnelle fournit un moyen systématique de trouver ces dérivées.
Les définitions des dérivées directionnelles pour diverses situations sont données ci-dessous. On suppose que les fonctions sont suffisamment lisses pour que des dérivées puissent être prises.
Dérivées de fonctions à valeurs scalaires de vecteurs
Soit f (v) une fonction à valeurs réelles du vecteur v. Alors la dérivée de f (v) par rapport à v (ou en v) est le vecteur défini par son produit scalaire avec tout vecteur u étant
pour tous les vecteurs u. Le produit scalaire ci-dessus donne un scalaire, et si u est un vecteur unitaire donne la dérivée directionnelle de f en v, dans la direction u.
Propriétés:
- Si alors
- Si alors
- Si alors
Dérivées de fonctions vectorielles à valeurs de vecteurs
Soit f(v) une fonction à valeurs vectorielles du vecteur v. Alors la dérivée de f(v) par rapport à v (ou en v) est le tenseur du second ordre défini par son produit scalaire avec tout vecteur u étant
pour tous les vecteurs u. Le produit scalaire ci-dessus donne un vecteur, et si u est un vecteur unitaire, donne la dérivée directionnelle de f en v, dans la direction u.
Propriétés:
- Si alors
- Si alors
- Si alors
Dérivées de fonctions à valeurs scalaires de tenseurs du second ordre
Soit une fonction à valeurs réelles du tenseur du second ordre . Alors la dérivée de par rapport à (ou en ) dans la direction est le tenseur du second ordre défini comme pour tout tenseur du second ordre .
Propriétés:
- Si alors
- Si alors
- Si alors
Dérivées de fonctions tensorielles de tenseurs du second ordre
Soit une fonction tensorielle du second ordre à valeurs du tenseur du second ordre . Alors la dérivée de par rapport à (ou à ) dans la direction est le tenseur du quatrième ordre défini comme pour tous les tenseurs du second ordre .
Propriétés:
- Si alors
- Si alors
- Si alors
- Si alors