Worldlex Wiki En géométrie , les coordonnées curvilignes constituent un système de coordonnées de l'espace euclidien dont les lignes peuvent être courbes. Ces coordonnées peuvent être obtenues à partir d'un système de coordonnées cartésiennes par une transformation localement inversible (une bijection) en chaque point. Cela signifie qu'il est possible de convertir un point donné dans un système de coordonnées cartésiennes en ses coordonnées curvilignes et inversement. Le terme « coordonnées curvilignes » , introduit par le mathématicien français Lamé , provient du fait que les surfaces de coordonnées des systèmes curvilignes sont courbes.
Dans l'espace euclidien tridimensionnel ( ℝ³ ), les coordonnées cylindriques et sphériques sont des exemples bien connus de systèmes de coordonnées curvilignes . Une surface de coordonnées cartésiennes dans cet espace est un plan cartésien ; par exemple, z = 0 définit le plan x - y . Dans ce même espace, la surface de coordonnées r = 1 en coordonnées sphériques est la surface d'une sphère unité , qui est courbe. Le formalisme des coordonnées curvilignes fournit une description unifiée et générale des systèmes de coordonnées usuels.
Les coordonnées curvilignes sont souvent utilisées pour définir la position ou la distribution de grandeurs physiques qui peuvent être, par exemple, des scalaires , des vecteurs ou des tenseurs . Les expressions mathématiques faisant intervenir ces grandeurs dans le calcul vectoriel et l'analyse tensorielle (telles que le gradient , la divergence , le rotationnel et le laplacien ) peuvent être transformées d'un système de coordonnées à un autre, selon les règles de transformation propres aux scalaires, aux vecteurs et aux tenseurs. Ces expressions deviennent alors valides pour tout système de coordonnées curvilignes.
Un système de coordonnées curvilignes peut s'avérer plus simple à utiliser que le système de coordonnées cartésiennes pour certaines applications. Le mouvement des particules soumises à des forces centrales est généralement plus facile à résoudre en coordonnées sphériques qu'en coordonnées cartésiennes ; c'est le cas pour de nombreux problèmes physiques à symétrie sphérique définis dans R³ . Les équations avec conditions aux limites suivant les surfaces de coordonnées d'un système de coordonnées curvilignes particulier peuvent être plus faciles à résoudre dans ce système. Si l'on peut décrire le mouvement d'une particule dans un parallélépipède rectangle à l'aide de coordonnées cartésiennes, il est plus simple de décrire son mouvement dans une sphère avec des coordonnées sphériques. Les coordonnées sphériques sont les systèmes de coordonnées curvilignes les plus courants et sont utilisés en sciences de la Terre , en cartographie , en mécanique quantique , en relativité et en ingénierie .
Pour l'instant, considérons l'espace 3D . Un point P dans l'espace 3D (ou son vecteur position r ) peut être défini à l'aide des coordonnées cartésiennes ( x , y , z ) [ ou ( x₁ , x₂ , x₃ ) ], par
Elle peut également être définie par ses coordonnées curvilignes ( q₁ , q₂ , q₃ ) si ce triplet de nombres définit un point unique de manière non ambiguë. La relation entre les coordonnées est alors donnée par les fonctions de transformation inversibles :
Les surfaces q₁ = constante, q₂ = constante et q₃ = constante sont appelées surfaces de coordonnées ; les courbes spatiales formées par leur intersection deux à deux sont appelées courbes de coordonnées . Les axes de coordonnées sont déterminés par les tangentes aux courbes de coordonnées à l'intersection de trois surfaces. Ils ne sont généralement pas orientés de manière fixe dans l'espace, contrairement aux coordonnées cartésiennes simples, et il n'existe donc généralement pas de base globale naturelle pour les coordonnées curvilignes.
Dans le système cartésien, les vecteurs de base canonique peuvent être obtenus à partir de la dérivée de la position du point P par rapport aux coordonnées locales.
L'application locale des mêmes dérivées au système curviligne au point P définit les vecteurs de base naturels :
Une telle base, dont les vecteurs changent de direction et/ou de norme d'un point à l'autre, est appelée base locale . Toutes les bases associées à des coordonnées curvilignes sont nécessairement locales. Les vecteurs de base identiques en tout point sont des bases globales et ne peuvent être associés qu'à des systèmes de coordonnées linéaires ou affines .
Dans cet article, e est réservé à la base standard (cartésienne) et h ou b à la base curviligne.
Ces fonctions peuvent ne pas avoir une longueur unitaire et ne pas être orthogonales. Dans le cas où elles sont orthogonales en tous les points où les dérivées sont bien définies, on définit les coefficients de Lamé.Gabriel Lamé ) par
et les vecteurs de base orthonormaux curvilignes par
Ces vecteurs de base peuvent dépendre de la position de P ; il est donc nécessaire de ne pas les supposer constants sur une région. (Techniquement, ils forment une base de l' espace tangent de
En général, les coordonnées curvilignes permettent aux vecteurs de base naturels h <sub>i</sub> de ne pas être tous perpendiculaires entre eux et de ne pas être de longueur unitaire : ils peuvent avoir une magnitude et une direction arbitraires. L’utilisation d’une base orthogonale simplifie les manipulations vectorielles par rapport à une base non orthogonale. Cependant, certains domaines de la physique et de l’ingénierie , notamment la mécanique des fluides et la mécanique des milieux continus , requièrent des bases non orthogonales pour décrire les déformations et le transport des fluides afin de prendre en compte les dépendances directionnelles complexes des grandeurs physiques. Le cas général est abordé plus loin sur cette page.
calcul vectoriel
donc les facteurs d'échelle sont
En coordonnées non orthogonales, la longueur de
Bases covariantes et contravariantes
Les gradients spatiaux, les distances, les dérivées temporelles et les facteurs d'échelle sont liés au sein d'un système de coordonnées par deux groupes de vecteurs de base :
- vecteurs de base localement tangents à leur ligne de coordonnées associée :
- vecteurs de base localement normaux à l'isosurface créée par les autres coordonnées :
Notez que, du fait de la convention de sommation d'Einstein, la position des indices des vecteurs est opposée à celle des coordonnées.
Par conséquent, un système de coordonnées curvilignes général possède deux ensembles de vecteurs de base pour chaque point : { b₁ , b₂ , b₃ } constitue la base contravariante, et { b₁ , b₂ , b₃ } la base covariante (ou réciproque). Dans les systèmes de coordonnées curvilignes orthogonaux , les vecteurs des bases covariante et contravariante ont la même direction , mais leurs unités respectives sont inversées.
Notez l'égalité importante suivante :
Un vecteur v peut être spécifié en fonction de l'une ou l'autre base, c'est-à-dire,
En utilisant la convention de sommation d'Einstein, les vecteurs de base sont liés aux composantes par
et
où g est le tenseur métrique (voir ci-dessous).
Un vecteur peut être défini par des coordonnées covariantes (indices en minuscules, notés v<sub> k</sub> ) ou contravariantes (indices en élévation, notés v<sub> k </sub>). D'après les sommes vectorielles ci-dessus, on constate que les coordonnées contravariantes sont associées aux vecteurs de base covariants, et inversement.
Une caractéristique essentielle de la représentation des vecteurs et des tenseurs en termes de composantes indexées et de vecteurs de base est l'invariance, dans le sens où les composantes vectorielles qui se transforment de manière covariante (ou contravariante) sont associées à des vecteurs de base qui se transforment de manière contravariante (ou covariante).
Intégration
Considérons la courbe unidimensionnelle représentée sur la figure 3. Au point P , pris comme origine , x est une coordonnée cartésienne et q₁ une coordonnée curviligne. Le vecteur de base local (non unitaire) est b₁ ( noté h₁ ci - dessus, b étant réservé aux vecteurs unitaires) et est construit sur l' axe q₁ , tangent à la droite de coordonnées au point P. L'axe q₁ , et donc le vecteur b₁ , forment un angle.
On peut voir à partir du triangle PAB que
où | e 1 |, | b 1 | sont les magnitudes des deux vecteurs de base, c'est-à-dire les intercepts scalaires PB et PA . PA est également la projection de b 1 sur l' axe x .
Cependant, cette méthode de transformation des vecteurs de base utilisant les cosinus directeurs est inapplicable aux coordonnées curvilignes pour les raisons suivantes :
- En augmentant la distance par rapport à P , l'angle entre la droite courbe q₁ et l'axe cartésien x s'écarte de plus en plus de la valeur attendue .
- À la distance PB, l'angle réel est celui que forme la tangente au point C avec l' axe des x , et cet angle est clairement différent de
Les angles que la ligne q 1 et cet axe forment avec l' axe x se rapprochent en valeur à mesure que l'on se rapproche du point P et deviennent exactement égaux en P.
Soit E un point très proche de P , si proche que la distance PE soit infinitésimale. Alors PE mesuré sur l' axe q₁ coïncide presque avec PE mesuré sur la droite q₁ . Simultanément, le rapport PD/PE ( PD étant la projection de PE sur l' axe x ) devient presque exactement égal à
Soient les ordonnées à l'origine infinitésimales PD et PE , respectivement notées dx et dq1 .
Ainsi, les cosinus directeurs peuvent être substitués dans les transformations par les rapports plus précis entre les points d'intersection avec les axes de coordonnées infinitésimaux. Il s'ensuit que la composante (projection) de b₁ sur l' axe des x est
Si q i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) et x i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) sont des fonctions lisses (continuement différentiables), les rapports de transformation peuvent s'écrire comme suit :
Construction d'une base covariante en trois dimensions
En procédant de la même manière pour les coordonnées dans les 2 autres dimensions, b 1 peut être exprimé comme suit :
Des équations similaires s'appliquent à b 2 et b 3 de sorte que la base standard { e 1 , e 2 , e 3 } est transformée en une base locale (ordonnée et normalisée ) { b 1 , b 2 , b 3 } par le système d'équations suivant :
Par un raisonnement analogue, on peut obtenir la transformation inverse de la base locale à la base standard :
Jacobien de la transformation
Les systèmes d'équations linéaires ci-dessus peuvent être écrits sous forme matricielle en utilisant la convention de sommation d'Einstein comme suit :
La matrice des coefficients du système linéaire est la matrice jacobienne (et son inverse) de la transformation. Ce sont les équations qui permettent de transformer une base cartésienne en une base curviligne, et inversement.
En trois dimensions, les formes développées de ces matrices sont
Dans la transformation inverse (deuxième système d'équations), les inconnues sont les vecteurs de base curvilignes. En tout point donné, il ne peut exister qu'un seul ensemble de vecteurs de base (sinon, la base n'est pas bien définie en ce point). Cette condition est satisfaite si et seulement si le système d'équations admet une solution unique. En algèbre linéaire , un système d'équations linéaires admet une solution unique (non triviale) uniquement si le déterminant de sa matrice est non nul.
ce qui explique la logique de l'exigence ci-dessus concernant le déterminant jacobien inverse.
Généralisation à n dimensions
Le formalisme s'étend à toute dimension finie comme suit.
Considérons l' espace euclidien réel de dimension n , c'est-à-dire R n = R × R × ... × R ( n fois) où R est l' ensemble des nombres réels et × désigne le produit cartésien , qui est un espace vectoriel .
Les coordonnées de cet espace peuvent être notées : x = ( x₁ , x₂ , ..., xₙ ) . Puisqu’il s’agit d’un vecteur (un élément de l’espace vectoriel), on peut l’ écrire :
où e₁ = (1,0,0...,0), e₂ = (0,1,0...,0), e₃ = ( 0,0,1 ... ,0),..., eₙ = (0,0,0...,1) est la base canonique des vecteurs de l'espace Rⁿ , et i = 1, 2,... n est un indice identifiant les composantes. Chaque vecteur possède exactement une composante dans chaque dimension (ou « axe ») et ces composantes sont mutuellement orthogonales ( perpendiculaires ) et normalisées (de norme unitaire ).
Plus généralement, on peut définir des vecteurs de base b<sub> i </sub> qui dépendent de q = ( q <sub>1</sub> , q <sub>2</sub> , ..., q<sub> n</sub> ), c'est-à-dire qu'ils varient d'un point à l'autre : b <sub>i</sub> = b <sub>i </sub>( q ). Dans ce cas, pour définir le même point x dans cette base alternative, les coordonnées v<sub> i</sub> par rapport à cette base dépendent également nécessairement de x , soit v <sub> i</sub> = v<sub> i</sub> ( x ). Un vecteur v dans cet espace, par rapport à ces coordonnées et vecteurs de base alternatifs, peut alors être développé comme une combinaison linéaire dans cette base (ce qui revient simplement à multiplier chaque vecteur de base e <sub> i</sub> par un nombre v<sub> i</sub> – multiplication scalaire ).
La somme vectorielle qui décrit v dans la nouvelle base est composée de vecteurs différents, bien que la somme elle-même reste la même.
Transformation des coordonnées
D'un point de vue plus général et abstrait, un système de coordonnées curvilignes est simplement une surface de coordonnées sur la variété différentiable E <sub>n</sub> ( espace euclidien de dimension n ) difféomorphe à la surface de coordonnées cartésiennes sur cette même variété. Deux surfaces de coordonnées difféomorphes sur une variété différentielle ne se superposent pas nécessairement de manière différentiable. Grâce à cette définition simple d'un système de coordonnées curvilignes, tous les résultats qui suivent ne sont que des applications de théorèmes classiques de topologie différentielle .
Les fonctions de transformation sont telles qu'il existe une relation biunivoque entre les points des « anciennes » et des « nouvelles » coordonnées, c'est-à-dire que ces fonctions sont des bijections , et elles satisfont aux exigences suivantes dans leurs domaines :
Algèbre vectorielle et tensorielle en coordonnées curvilignes tridimensionnelles
Tenseurs en coordonnées curvilignes
Calcul vectoriel et tensoriel en coordonnées curvilignes tridimensionnelles
Simmonds, dans son livre sur l'analyse tensorielle , cite Albert Einstein disant
La magie de cette théorie ne manquera guère de s'imposer à quiconque l'a véritablement comprise ; elle représente un véritable triomphe de la méthode du calcul différentiel absolu, fondée par Gauss, Riemann, Ricci et Levi-Civita.
Le calcul vectoriel et tensoriel en coordonnées curvilignes générales est utilisé dans l'analyse tensorielle sur les variétés curvilignes quadridimensionnelles en relativité générale , dans la mécanique des coques courbes , dans l'examen des propriétés d'invariance des équations de Maxwell qui ont suscité un intérêt dans les métamatériaux et dans de nombreux autres domaines.
Cette section présente quelques relations utiles dans le calcul des vecteurs et des tenseurs du second ordre en coordonnées curvilignes. Les notations et le contenu proviennent principalement de Ogden , Simmonds , Green et Zerna , Basar et Weichert et Ciarlet
Soit φ = φ( x ) un champ scalaire bien défini et v = v ( x ) un champ vectoriel bien défini , et λ 1 , λ 2 ... des paramètres des coordonnées
Éléments géométriques
est un vecteur tangent à C en coordonnées curvilignes (en utilisant la règle de la chaîne ). En utilisant la définition des coefficients de Lamé, et celle de la métrique g <sub>ij</sub> = 0 lorsque i ≠ j , la norme est :
où
Intégration
Opérateur Champ scalaire champ vectoriel Intégrale de ligne Intégrale de surface Intégrale de volume
Différenciation
Les expressions du gradient, de la divergence et du laplacien peuvent être directement étendues à n dimensions, cependant le rotationnel n'est défini qu'en 3D.
Le champ vectoriel b<sub> i</sub> est tangent à la courbe de coordonnées q <sub>i</sub> et forme une base naturelle en chaque point de cette courbe. Cette base, comme indiqué en introduction, est également appelée base curviligne covariante . On peut aussi définir une base réciproque , ou base curviligne contravariante , b<sub> i</sub> . Toutes les relations algébriques entre les vecteurs de base, telles que décrites dans la section consacrée à l'algèbre tensorielle, s'appliquent à la base naturelle et à sa réciproque en chaque point x .
Opérateur Champ scalaire champ vectoriel champ tenseur du second ordre Pente Divergence N / A Laplacien Boucle N / A Pour les champs vectoriels en 3D uniquement, où
Voir le rotationnel d'un champ tensoriel
Forces fictives en coordonnées curvilignes générales
Par définition, si la position d' une particule en l'absence de forces est exprimée dans un système de coordonnées inertiel ( x₁ , x₂ , x₃ , t ), alors son accélération est nulle (d²xj / dt² = 0 ) [ Dans ce contexte, un système de coordonnées peut ne pas être « inertiel » en raison d' un axe temporel non rectiligne , d' un axe spatial non rectiligne (ou des deux). Autrement dit, les vecteurs de base des coordonnées peuvent varier dans le temps à position fixe, ou varier avec la position à instant fixe, ou les deux. Lorsque les équations du mouvement sont exprimées dans un système de coordonnées non inertiel (au sens strict), des termes supplémentaires apparaissent : les symboles de Christoffel. À proprement parler, ces termes représentent des composantes de l'accélération absolue (en mécanique classique ) , mais on peut aussi choisir de continuer à considérer d²xj / dt² comme l'accélération (comme si les coordonnées étaient inertielles) et de traiter les termes supplémentaires comme s'il s'agissait de forces, auquel cas on les appelle forces fictives. La composante de toute force fictive de ce type , normale à la trajectoire de la particule et située dans le plan de courbure de cette trajectoire, est alors appelée force centrifuge .
Ce contexte plus général met en évidence la correspondance entre les concepts de force centrifuge dans les systèmes de coordonnées en rotation et dans les systèmes de coordonnées curvilignes stationnaires. (Ces deux concepts apparaissent fréquemment dans la littérature. ) Pour un exemple simple, considérons une particule de masse m se déplaçant sur un cercle de rayon r avec une vitesse angulaire w par rapport à un système de coordonnées polaires en rotation avec une vitesse angulaire W . L'équation du mouvement radial est mr '' = F <sub>r</sub> + mr ( w + W ) ² . La force centrifuge est donc égale à mr multiplié par le carré de la vitesse de rotation absolue A = w + W de la particule. Si l'on choisit un système de coordonnées en rotation à la vitesse de la particule, alors W = A et w = 0, auquel cas la force centrifuge est mrA² . En revanche, si l'on choisit un système de coordonnées stationnaire, on a W = 0 et w = A , auquel cas la force centrifuge est également mrA² . Cette égalité des résultats s'explique par le fait que, dans les deux cas , les vecteurs de base à l'emplacement de la particule évoluent exactement de la même manière au cours du temps. Il s'agit donc en réalité de deux manières différentes de décrire exactement la même chose : l'une en termes de coordonnées en rotation et l'autre en termes de coordonnées curvilignes stationnaires, les deux étant non inertielles au sens plus abstrait du terme.
Lorsqu'on décrit un mouvement général, les forces réelles agissant sur une particule sont souvent rapportées au cercle osculateur instantané tangent à sa trajectoire. Ce cercle n'étant généralement pas centré en un point fixe, la décomposition en composantes centrifuge et de Coriolis est en constante évolution. Ceci reste vrai que le mouvement soit décrit en coordonnées fixes ou en rotation.