Vecteur de coordonnées

algèbre linéaire , un vecteur de coordonnées est la représentation d'un vecteur sous forme d'une liste ordonnée de nombres (un n -uplet ) qui décrit ce vecteur à l'aide d'une base ordonnée particulière . Un exemple simple est la position (5, 2, 1) dans un système de coordonnées cartésiennes à trois dimensions , dont les axes constituent la base. Les coordonnées sont toujours définies par rapport à une base ordonnée. Les bases et leurs représentations de coordonnées associées permettent de concrétiser les espaces vectoriels et les transformations linéaires sous forme de vecteurs colonnes , de vecteurs lignes et de matrices ; elles sont donc utiles pour les calculs.

L'idée d'un vecteur de coordonnées peut également être utilisée pour les espaces vectoriels de dimension infinie, comme expliqué ci-dessous.

espace vectoriel de dimension n sur un corps F et soit

Soit V une base ordonnée . Alors, pour tout , il existe une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base qui est égale à :

Le vecteur de coordonnées relatif à B est la séquence de coordonnées

On appelle également cela la représentation de par rapport à B , ou la représentation de B de . Les sont appelés les coordonnées de . L'ordre de la base devient important ici, car il détermine l'ordre dans lequel les coefficients sont listés dans le vecteur de coordonnées.

Les vecteurs de coordonnées des espaces vectoriels de dimension finie peuvent être représentés par des matrices sous forme de vecteurs colonnes ou lignes . Dans la notation ci-dessus, on peut écrire

où est la transposée de la matrice .

La représentation standard

We can mechanize the above transformation by defining a function $, called the standard representation of V with respect to B, that takes every vector to its coordinate representation: . Then is a linear transformation from V to F n . In fact, it is an isomorphism, and its inverse is simply$

Alternatively, we could have defined $to be the above function from the beginning, realized that is an isomorphism, and defined to be its inverse.$

Examples

Example 1

Let $be the space of all the algebraic polynomials of degree at most 3 (i.e. the highest exponent of x can be 3). This space is linear and spanned by the following polynomials:$

matching

then the coordinate vector corresponding to the polynomial

According to that representation, the differentiation operatord/dx which we shall mark D will be represented by the following matrix:

Using that method it is easy to explore the properties of the operator, such as: invertibility, Hermitian or anti-Hermitian or neither, spectrum and eigenvalues, and more.

Example 2

The Pauli matrices, which represent the spin operator when transforming the spin eigenstates into vector coordinates.

Basis transformation matrix

Let B and C be two different bases of a vector space V, and let us mark with $the matrix which has columns consisting of the C representation of basis vectors b 1, b 2, \dots, b n :$

This matrix is referred to as the basis transformation matrix from B to C. It can be regarded as an automorphism over $. Any vector v represented in B can be transformed to a representation in C as follows:$

Under the transformation of basis, the superscript on the transformation matrix, M, and the subscript on the coordinate vector, v, are the same, and seemingly cancel, leaving the remaining subscript. While this may serve as a memory aid, it is important no such cancellation, or similar mathematical operation, is taking place.

Corollary

La matrice M est une matrice inversible et M ⁻¹ est la matrice de transformation de base de C vers B. Autrement dit,

Espaces vectoriels de dimension infinie

Soit V un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps F. Si sa dimension est κ , alors il existe une base de κ éléments pour V. Une fois un ordre choisi, cette base est ordonnée. Les éléments de V sont des combinaisons linéaires finies d'éléments de la base, ce qui donne lieu à des représentations de coordonnées uniques, exactement comme décrit précédemment. La seule différence réside dans le fait que l'ensemble d'indices des coordonnées n'est pas fini. Puisqu'un vecteur v donné est une combinaison linéaire finie d' éléments de la base, les seuls coefficients non nuls du vecteur de coordonnées de v sont ceux de la combinaison linéaire représentant v . Ainsi, le vecteur de coordonnées de v est nul, sauf en un nombre fini de points.

Les transformations linéaires entre espaces vectoriels (éventuellement) de dimension infinie peuvent être modélisées, de façon analogue au cas de dimension finie, par des matrices infinies . Le cas particulier des transformations de V dans V est décrit dans l' article complet sur les anneaux linéaires .