Coordonnées orthogonales

En mathématiques , les coordonnées orthogonales sont définies comme un ensemble de coordonnées d dans lequel les hypersurfaces de coordonnées se rencontrent toutes à angle droit (notez que les indices supérieurs sont des indices , pas des exposants ). Une surface de coordonnées pour une coordonnée particulière q ^k est la courbe , la surface ou l'hypersurface sur laquelle q ^k est une constante. Par exemple, les coordonnées cartésiennes tridimensionnelles ( x , y , z ) sont un système de coordonnées orthogonales, puisque ses surfaces de coordonnées x = constante, y = constante et z = constante sont des plans qui se rencontrent à angle droit les uns par rapport aux autres, c'est-à-dire qu'ils sont perpendiculaires. Les coordonnées orthogonales sont un cas particulier mais extrêmement courant de coordonnées curvilignes . ${\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{2},\dots ,q^{d})}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Motivation

Alors que les opérations vectorielles et les lois physiques sont normalement plus faciles à dériver en coordonnées cartésiennes , les coordonnées orthogonales non cartésiennes sont souvent utilisées pour la résolution de divers problèmes, en particulier les problèmes de valeurs limites , tels que ceux qui surviennent dans les théories des champs de la mécanique quantique , de l'écoulement des fluides , de l'électrodynamique , de la physique des plasmas et de la diffusion d' espèces chimiques ou de chaleur .

Le principal avantage des coordonnées non cartésiennes est qu'elles peuvent être choisies pour correspondre à la symétrie du problème. Par exemple, l'onde de pression due à une explosion loin du sol (ou d'autres barrières) dépend de l'espace 3D en coordonnées cartésiennes, mais la pression s'éloigne principalement du centre, de sorte qu'en coordonnées sphériques le problème devient presque unidimensionnel (puisque l'onde de pression ne dépend principalement que du temps et de la distance par rapport au centre). Un autre exemple est celui d'un fluide (lent) dans un tuyau circulaire droit : en coordonnées cartésiennes, il faut résoudre un problème aux limites (difficile) à deux dimensions impliquant une équation aux dérivées partielles, mais en coordonnées cylindriques le problème devient unidimensionnel avec une équation différentielle ordinaire au lieu d'une équation aux dérivées partielles .

La raison pour laquelle les coordonnées orthogonales sont préférées aux coordonnées curvilignes générales est la simplicité : de nombreuses complications surviennent lorsque les coordonnées ne sont pas orthogonales. Par exemple, dans les coordonnées orthogonales, de nombreux problèmes peuvent être résolus par séparation de variables . La séparation de variables est une technique mathématique qui convertit un problème complexe à d dimensions en problèmes à d dimensions qui peuvent être résolus en termes de fonctions connues. De nombreuses équations peuvent être réduites à l'équation de Laplace ou à l' équation de Helmholtz . L'équation de Laplace est séparable en 13 systèmes de coordonnées orthogonales (les 14 répertoriés dans le tableau ci-dessous à l'exception de l' équation toroïdale ), et l' équation de Helmholtz est séparable en 11 systèmes de coordonnées orthogonales.

Les coordonnées orthogonales n'ont jamais de termes hors diagonale dans leur tenseur métrique . En d'autres termes, la distance infinitésimale au carré ds ² peut toujours être écrite comme une somme mise à l'échelle des déplacements de coordonnées infinitésimales au carré

{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\left(h_{k}\,dq^{k} ight)^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <msup> <mi>m</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> </munderover> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{d}\gauche(h_{k}\,dq^{k}\droite)^{2}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où d est la dimension et les fonctions d'échelle (ou facteurs d'échelle)

{\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}| <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mtext> </mtext> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mo>=</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>et</mi> <mi>f</mi> </mrow> </mrow> </mover> </mrow> </mrow> <mtext> </mtext> <mrow> <msqrt> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ mathbf {e} _{k}|}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

égalent les racines carrées des composantes diagonales du tenseur métrique, ou les longueurs des vecteurs de base locaux décrits ci-dessous. Ces fonctions d'échelle h _i sont utilisées pour calculer les opérateurs différentiels dans les nouvelles coordonnées, par exemple, le gradient , le laplacien , la divergence et le curl . ${\displaystyle \mathbf {e} _{k <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {e} _ {k}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Une méthode simple pour générer des systèmes de coordonnées orthogonales en deux dimensions consiste à utiliser une application conforme d'une grille bidimensionnelle standard de coordonnées cartésiennes ( x , y ) . Un nombre complexe z = x + iy peut être formé à partir des coordonnées réelles x et y , où i représente l' unité imaginaire . Toute fonction holomorphe w = f ( z ) avec une dérivée complexe non nulle produira une application conforme ; si le nombre complexe résultant s'écrit w = u + iv , alors les courbes de constantes u et v se coupent à angle droit, tout comme les lignes originales de constantes x et y le faisaient.

Les coordonnées orthogonales en trois dimensions et plus peuvent être générées à partir d'un système de coordonnées orthogonales bidimensionnel, soit en le projetant dans une nouvelle dimension ( coordonnées cylindriques ), soit en faisant tourner le système bidimensionnel autour de l'un de ses axes de symétrie. Cependant, il existe d'autres systèmes de coordonnées orthogonales en trois dimensions qui ne peuvent pas être obtenus en projetant ou en faisant tourner un système bidimensionnel, comme les coordonnées ellipsoïdales . Des coordonnées orthogonales plus générales peuvent être obtenues en commençant par certaines surfaces de coordonnées nécessaires et en considérant leurs trajectoires orthogonales .

Vecteurs de base

Base covariante

Dans les coordonnées cartésiennes , les vecteurs de base sont fixes (constants). Dans le cadre plus général des coordonnées curvilignes , un point dans l'espace est spécifié par les coordonnées, et à chaque point est lié un ensemble de vecteurs de base, qui ne sont généralement pas constants : c'est l'essence des coordonnées curvilignes en général et c'est un concept très important. Ce qui distingue les coordonnées orthogonales est que, bien que les vecteurs de base varient, ils sont toujours orthogonaux les uns par rapport aux autres. En d'autres termes,

{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad { ext{if}}\quad i eq j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>si</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <mi>je</mi> <mo>≠</mo> <mi>j</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=0\quad { ext{if}}\quad i eq j}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ces vecteurs de base sont par définition les vecteurs tangents des courbes obtenus en faisant varier une coordonnée, en gardant les autres fixes :

Visualisation des coordonnées orthogonales 2D. Les courbes obtenues en maintenant toutes les coordonnées constantes sauf une sont affichées, ainsi que les vecteurs de base. Notez que les vecteurs de base ne sont pas de longueur égale : ils ne doivent pas l'être, ils doivent seulement être orthogonaux.

{\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>l</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {e} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où r est un point et q ⁱ est la coordonnée pour laquelle le vecteur de base est extrait. En d'autres termes, une courbe est obtenue en fixant toutes les coordonnées sauf une ; la coordonnée non fixée est modifiée comme dans une courbe paramétrique , et la dérivée de la courbe par rapport au paramètre (la coordonnée variable) est le vecteur de base pour cette coordonnée.

Notez que les vecteurs ne sont pas nécessairement de longueur égale. Les fonctions utiles connues sous le nom de facteurs d'échelle des coordonnées sont simplement les longueurs des vecteurs de base (voir tableau ci-dessous). Les facteurs d'échelle sont parfois appelés coefficients de Lamé , à ne pas confondre avec les paramètres de Lamé (mécanique des solides) . ${\displaystyle h_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle { mathbf {e}} _ {i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les vecteurs de base normalisés sont notés avec un chapeau et obtenus en divisant par la longueur :

{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i} ight| <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mrow> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mrow> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{h_{i}}}={\frac {{\mathbf {e} }_{i}}{\left|{\mathbf {e} }_{i} ight|}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Un champ de vecteurs peut être spécifié par ses composantes par rapport aux vecteurs de base ou aux vecteurs de base normalisés, et il faut être sûr de savoir dans quel cas on se trouve. Les composantes de la base normalisée sont plus courantes dans les applications pour plus de clarté des quantités (par exemple, on peut vouloir traiter la vitesse tangentielle au lieu de la vitesse tangentielle multipliée par un facteur d'échelle) ; dans les dérivations, la base normalisée est moins courante car plus compliquée.

Base contravariante

Les vecteurs de base présentés ci-dessus sont des vecteurs de base covariants (car ils « covarient » avec les vecteurs). Dans le cas de coordonnées orthogonales, les vecteurs de base contravariants sont faciles à trouver car ils seront dans la même direction que les vecteurs covariants mais de longueur réciproque (pour cette raison, les deux ensembles de vecteurs de base sont dits réciproques l'un par rapport à l'autre) :

{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{i}}{h_{i}}}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}^{2}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

ceci résulte du fait que, par définition, , en utilisant le delta de Kronecker . Notez que : ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <msup> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle mathbf {e} _ {i} cdot mathbf {e} ^ {j} = delta _ {i} ^ {j}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{h_{i}}}=h_{i}\mathbf {e} ^{i}\equiv {\hat {\mathbf {e} }}^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Nous sommes maintenant confrontés à trois bases différentes couramment utilisées pour décrire des vecteurs en coordonnées orthogonales : la base covariante e _i , la base contravariante e ⁱ et la base normalisée ê ⁱ . Alors qu'un vecteur est une quantité objective , ce qui signifie que son identité est indépendante de tout système de coordonnées, les composantes d'un vecteur dépendent de la base dans laquelle le vecteur est représenté.

Pour éviter toute confusion, les composantes du vecteur x par rapport à la base e _i sont représentées par x ⁱ , tandis que les composantes par rapport à la base e ⁱ sont représentées par x _i :

{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i}=\sum _{i}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La position des indices représente la manière dont les composantes sont calculées (les indices supérieurs ne doivent pas être confondus avec l'exponentiation ). Notez que les symboles de sommation Σ ( Sigma majuscule ) et la plage de sommation, indiquant la sommation sur tous les vecteurs de base ( i = 1, 2, ..., d ), sont souvent omis . Les composantes sont liées simplement par :

{\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle h_{i}^{2}x^{i}=x_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Il n'existe pas de notation distinctive répandue utilisée pour les composants vectoriels par rapport à la base normalisée ; dans cet article, nous utiliserons des indices pour les composants vectoriels et noterons que les composants sont calculés sur la base normalisée.

Algèbre vectorielle

L'addition et la négation de vecteurs s'effectuent composante par composante, comme dans les coordonnées cartésiennes, sans aucune complication. Des considérations supplémentaires peuvent être nécessaires pour d'autres opérations vectorielles.

Il faut cependant noter que toutes ces opérations supposent que deux vecteurs d'un champ vectoriel sont liés au même point (en d'autres termes, que les extrémités des vecteurs coïncident). Étant donné que les vecteurs de base varient généralement en coordonnées orthogonales, si l'on ajoute deux vecteurs dont les composantes sont calculées à des points différents de l'espace, les différents vecteurs de base doivent être pris en compte.

Produit scalaire

Le produit scalaire en coordonnées cartésiennes ( espace euclidien avec une base orthonormée ) est simplement la somme des produits des composantes. En coordonnées orthogonales, le produit scalaire de deux vecteurs x et y prend cette forme familière lorsque les composantes des vecteurs sont calculées dans la base normalisée :

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <mo>⋅</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>et</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>et</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}x_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \sum _{j}y_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\sum _{i}x_{i}y_{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

C'est une conséquence immédiate du fait que la base normalisée peut former à un moment donné un système de coordonnées cartésiennes : l'ensemble de base est orthonormé .

Pour les composantes dans les bases covariantes ou contravariantes,

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i}h_{i}^{2}x^{i}y^{i}=\sum _{i}{\frac {x_{i}y_{i}}{h_{i}^{2}}}=\sum _{i}x^{i}y_{i}=\sum _{i}x_{i}y^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cela peut être facilement obtenu en écrivant les vecteurs sous forme de composants, en normalisant les vecteurs de base et en prenant le produit scalaire. Par exemple, en 2D :

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2} ight)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2} ight)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2} ight)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}} ight)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mfrac> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mfrac> <msup> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} &=\left(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2} ight)\cdot \left(y_{1}\mathbf {e} ^{1}+y_{2}\mathbf {e} ^{2} ight)\\[10pt]&=\left(x^{1}h_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+x^{2}h_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2} ight)\cdot \left(y_{1}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{1}}{h_{1}}}+y_{2}{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}^{2}}{h_{2}}} ight)=x^{1}y_{1}+x^{2}y_{2}\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où le fait que les bases covariantes et contravariantes normalisées sont égales a été utilisé.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel en coordonnées cartésiennes 3D est :

{\displaystyle \mathbf {x} imes \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} imes \mathbf {y} =(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La formule ci-dessus reste alors valable en coordonnées orthogonales si les composantes sont calculées sur la base normalisée.

Pour construire le produit vectoriel en coordonnées orthogonales avec des bases covariantes ou contravariantes, nous devons à nouveau simplement normaliser les vecteurs de base, par exemple :

{\displaystyle \mathbf {x} imes \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i} imes \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i} imes \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>×</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} imes \mathbf {y} =\sum _{i}x^{i}\mathbf {e} _{i} imes \sum _{j}y^{j}\mathbf {e} _{j}=\sum _{i}x^{i}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i} imes \sum _{j}y^{j}h_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui, écrit étendu,

{\displaystyle \mathbf {x} imes \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2} ight){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3} ight){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1} ight){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>×</mo> <mrow> <mi>y</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {x} imes \mathbf {y} =\left(x^{2}y^{3}-x^{3}y^{2} ight){\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\left(x^{3}y^{1}-x^{1}y^{3} ight){\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}\mathbf {e} _{2}+\left(x^{1}y^{2}-x^{2}y^{1} ight){\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}\mathbf {e} _{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Une notation concise pour le produit vectoriel, qui simplifie la généralisation aux coordonnées non orthogonales et aux dimensions supérieures, est possible avec le tenseur de Levi-Civita , qui aura des composantes autres que des zéros et des uns si les facteurs d'échelle ne sont pas tous égaux à un.

Calcul vectoriel

Différenciation

En observant un déplacement infinitésimal à partir d'un certain point, il est évident que

{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,dq^{i}=\sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Par définition , le gradient d'une fonction doit satisfaire (cette définition reste vraie si ƒ est un tenseur quelconque )

{\displaystyle df= abla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df= abla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>∇</mi> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mspace></mspace> <mo>⇒</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>f</mi> <mo>=</mo> <mi>∇</mi> <mi>f</mi> <mo>⋅</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle df= abla f\cdot d\mathbf {r} \quad \Rightarrow \quad df= abla f\cdot \sum _{i}\mathbf {e} _{i}\,dq^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Il s'ensuit alors que l'opérateur del doit être :

{\displaystyle abla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∇</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle abla =\sum _{i}\mathbf {e} ^{i}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et cela reste vrai dans les coordonnées curvilignes générales. Des quantités comme le gradient et le Laplacien se produisent grâce à une application appropriée de cet opérateur.

Formules vectorielles de base

À partir de d r et des vecteurs de base normalisés ê _i , on peut construire ce qui suit.

où

{\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}} imes {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}} ight) ight|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}} ight|=h_{1}h_{2}h_{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>×</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle J=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}} imes {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}} ight) ight|=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (q^{1},q^{2},q^{3})}} ight|=h_{1}h_{2}h_{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

est le déterminant jacobien , qui a l'interprétation géométrique de la déformation en volume du cube infinitésimal d x d y d z au volume courbe infinitésimal dans les coordonnées orthogonales.

Intégration

En utilisant l'élément de ligne illustré ci-dessus, l' intégrale de ligne le long d'un chemin d'un vecteur F est : ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P <semantics> <mrow> <mstyle> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {P}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </msub> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> <mo>⋅</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </munder> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{\mathcal {P}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {P}}\sum _{i}F_{i}\mathbf {e} ^{i}\cdot \sum _{j}\mathbf {e} _{j}\,dq^{j}=\sum _{i}\int _{\mathcal {P}}F_{i}\,dq^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Un élément infinitésimal d'aire pour une surface décrite en maintenant une coordonnée q _k constante est :

{\displaystyle dA_{k}=\prod _{i eq k}ds_{i}=\prod _{i eq k}h_{i}\,dq^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>≠</mo> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dA_{k}=\prod _{i eq k}ds_{i}=\prod _{i eq k}h_{i}\,dq^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

De même, l'élément de volume est :

{\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <mi>d</mi> <msub> <mi>s</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <munder> <mo>∏</mo> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle dV=\prod _{i}ds_{i}=\prod _{i}h_{i}\,dq^{i}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où le grand symbole Π ( Pi majuscule ) indique un produit de la même manière qu'un grand Σ indique une sommation. Notez que le produit de tous les facteurs d'échelle est le déterminant jacobien .

À titre d'exemple, l' intégrale de surface d'une fonction vectorielle F sur une surface q ¹ = constante en 3D est : ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S <semantics> <mrow> <mstyle> <mstyle> <mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </mrow> </mstyle> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {S}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mi>d</mi> <mrow> <mi>A</mi> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </mrow> </msub> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>A</mi> <mo>=</mo> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mrow> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\ dA=\int _{\mathcal {S}}\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\ dA=\int _{\mathcal {S}}F^{1}{\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}\,dq^{2}\,dq^{3}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Notez que F ¹ / h ₁ est la composante de F normale à la surface.

Opérateurs différentiels en trois dimensions

Étant donné que ces opérations sont courantes dans les applications, tous les composants vectoriels de cette section sont présentés par rapport à la base normalisée : . ${\displaystyle {\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mi>F</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mi>F</mi> </mrow> <mo>⋅</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mover> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\hat {F}}_{i}=\mathbf {F} \cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les expressions ci-dessus peuvent être écrites sous une forme plus compacte en utilisant le symbole de Levi-Civita et le déterminant jacobien , en supposant une sommation sur des indices répétés : ${\displaystyle \epsilon _{ijk <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>ϵ</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \epsilon _{ijk}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>J</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>h</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle J=h_{1}h_{2}h_{3}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Notez également que le gradient d'un champ scalaire peut être exprimé en termes de la matrice jacobienne J contenant des dérivées partielles canoniques :

{\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}} ight] <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>J</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>∂</mi> <mi>ϕ</mi> </mrow> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>q</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {J} =\left[{\frac {\partial \phi }{\partial q^{1}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{2}}},{\frac {\partial \phi }{\partial q^{3}}} ight]}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

lors d'un changement de base :

{\displaystyle abla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∇</mi> <mi>ϕ</mi> <mo>=</mo> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mi>J</mi> </mrow> <mrow> <mi>T</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle abla \phi =\mathbf {S} \mathbf {R} \mathbf {J} ^{T}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où les matrices de rotation et de mise à l'échelle sont :

{\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}] <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mo>[</mo> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mrow> <mi>e</mi> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {R} =[\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}]}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]). <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mi>S</mi> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> </mrow> <mo>(</mo> <mo>[</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <msubsup> <mi>h</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>]</mo> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbf {S} =\mathrm {diag} ([h_{1}^{-1},h_{2}^{-1},h_{3}^{-1}]).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Tableau de coordonnées orthogonales bidimensionnelles

Exemples de coordonnées orthogonales bidimensionnelles (https://www.desmos.com/calculator/m5gmtg4n1d).

Tableau des coordonnées orthogonales tridimensionnelles

Outre les coordonnées cartésiennes habituelles, 13 autres sont présentées dans le tableau ci-dessous. La notation d'intervalle est utilisée pour la compacité dans la colonne des coordonnées curvilignes, et les entrées sont groupées par leurs signatures d'intervalle, par exemple COxCCxCO pour les coordonnées sphériques, avec le x dans chaque signature indiquant le produit cartésien, avec une limite théorique de 27 produits. De par la symétrie, nous pouvons conclure qu'il s'agit d'une liste complète. Les entrées ne sont pas triées par leurs signatures d'intervalle dans l'ordre alphabétique, et les signatures ne sont pas incluses. Après le regroupement des entrées par signature d'intervalle, l'ordre de tri ici est alphabétique par le nom du système de coordonnées curvilignes.