Champ tensoriel

En mathématiques et en physique , un champ tensoriel est une fonction attribuant un tenseur à chaque point d'une région d'un espace mathématique (typiquement un espace ou une variété euclidienne ) ou de l' espace physique . Les champs tensoriels sont utilisés en géométrie différentielle , en géométrie algébrique , en relativité générale , dans l'analyse des contraintes et des déformations dans les objets matériels, et dans de nombreuses applications en sciences physiques . Comme un tenseur est une généralisation d'un scalaire (un nombre pur représentant une valeur, par exemple la vitesse) et d'un vecteur (une grandeur et une direction, comme la vitesse), un champ tensoriel est une généralisation d'un champ scalaire et d'un champ vectoriel qui affecte, respectivement, un scalaire ou un vecteur à chaque point de l'espace. Si un tenseur A est défini sur un ensemble de champs vectoriels X(M) sur un module M , on appelle A un champ tensoriel sur M . De nombreuses structures mathématiques appelées « tenseurs » sont également des champs tensoriels. Par exemple, le tenseur de courbure de Riemann est un corps tensoriel car il associe un tenseur à chaque point d'une variété riemannienne , qui est un espace topologique .

Soit M une variété , par exemple le plan euclidien R ⁿ .

Définition. Un corps tensoriel de type ( p , q ) est une section

où V est un fibré vectoriel sur M , V ^* est son dual et ⊗ est le produit tensoriel des fibrés vectoriels.

De manière équivalente, il s'agit d'une collection d'éléments T _x ∈ V _x ^⊗p ⊗ ( V _x ^* ) ^⊗q pour tous les points x ∈ M , disposés selon une application lisse T : M → V ^⊗p ⊗ ( V ^* ) ^⊗q . Les éléments T _x sont appelés tenseurs .

Souvent, nous prenons V = TM comme étant le fibré tangent de M.

Intuitivement, un champ vectoriel se visualise mieux sous la forme d'une « flèche » attachée à chaque point d'une région, avec une longueur et une direction variables. Un exemple de champ vectoriel sur un espace courbe est une carte météorologique montrant la vitesse horizontale du vent à chaque point de la surface de la Terre.

Considérons maintenant des corps plus compliqués. Par exemple, si la variété est riemannienne, alors elle possède un corps métrique , tel que, étant donné deux vecteurs quelconques au point , leur produit scalaire est . Le corps pourrait être donné sous forme de matrice, mais il dépend d'un choix de coordonnées. Il pourrait plutôt être donné sous forme d'ellipsoïde de rayon 1 en chaque point, qui est sans coordonnées. Appliqué à la surface de la Terre, il s'agit de l'indicatrice de Tissot .

En général, nous souhaitons spécifier les champs tensoriels de manière indépendante des coordonnées : ils doivent exister indépendamment de la latitude et de la longitude, ou de toute « projection cartographique » particulière que nous utilisons pour introduire des coordonnées numériques.

Suivant Schouten (1951) et McConnell (1957), le concept de tenseur repose sur un concept de référentiel (ou système de coordonnées ), qui peut être fixe (par rapport à un référentiel d'arrière-plan), mais qui peut en général être autorisé à varier au sein d'une certaine classe de transformations de ces systèmes de coordonnées.

Par exemple, les coordonnées appartenant à l' espace de coordonnées réelles à n dimensions peuvent être soumises à des transformations affines arbitraires :

(avec des indices n- dimensionnels, sommation implicite ). Un vecteur covariant, ou covecteur, est un système de fonctions qui se transforme sous cette transformation affine par la règle

La liste des vecteurs de base de coordonnées cartésiennes se transforme en covecteur, car sous la transformation affine . Un vecteur contravariant est un système de fonctions des coordonnées qui, sous une telle transformation affine, subit une transformation

C'est précisément la condition nécessaire pour garantir que la quantité est un objet invariant qui ne dépend pas du système de coordonnées choisi. Plus généralement, un tenseur de valence ( p , q ) a p indices en bas et q indices en haut, la loi de transformation étant

Le concept de corps tensoriel peut être obtenu en spécialisant les transformations de coordonnées autorisées pour qu'elles soient lisses (ou différentiables , analytiques , etc.). Un corps covecteur est une fonction des coordonnées qui se transforme par la Jacobienne des fonctions de transition (dans la classe donnée). De même, un corps vectoriel contravariant se transforme par la Jacobienne inverse.

Un fibré tensoriel est un fibré de fibres où la fibre est un produit tensoriel de n'importe quel nombre de copies de l' espace tangent et/ou de l'espace cotangent de l'espace de base, qui est une variété. En tant que tel, la fibre est un espace vectoriel et le fibré tensoriel est un type particulier de fibré vectoriel .

Le fibré vectoriel est une idée naturelle d'un « espace vectoriel dépendant en permanence (ou en douceur) de paramètres » – les paramètres étant les points d'une variété M . Par exemple, un espace vectoriel d'une dimension dépendant d'un angle pourrait ressembler à un ruban de Möbius ou encore à un cylindre . Étant donné un fibré vectoriel V sur M , le concept de corps correspondant est appelé une section du fibré : pour m variant sur M , un choix de vecteur

v _m dans V _m ,

où V _m est l'espace vectoriel « à » m .

Comme le concept de produit tensoriel est indépendant de tout choix de base, prendre le produit tensoriel de deux fibrés vectoriels sur M est une tâche de routine. En commençant par le fibré tangent (le fibré des espaces tangents ), l'ensemble de l'appareil expliqué dans le traitement sans composantes des tenseurs se poursuit de manière routinière – là encore indépendamment des coordonnées, comme mentionné dans l'introduction.

On peut donc donner une définition du corps tensoriel , à savoir comme une section d'un fibré tensoriel . (Il existe des fibrés vectoriels qui ne sont pas des fibrés tensoriels : la bande de Möbius par exemple.) On a alors la garantie d'un contenu géométrique, puisque tout a été fait de manière intrinsèque. Plus précisément, un corps tensoriel affecte à tout point donné de la variété un tenseur dans l'espace

où V est l' espace tangent en ce point et V ^∗ est l' espace cotangent . Voir aussi fibré tangent et fibré cotangent .

Étant donnés deux fibrés tensoriels E → M et F → M , une application linéaire A : Γ( E ) → Γ( F ) de l'espace des sections de E vers les sections de F peut être considérée elle-même comme une section tensorielle de si et seulement si elle satisfait A ( fs ) = fA ( s ), pour chaque section s dans Γ( E ) et chaque fonction lisse f sur M . Ainsi une section tensorielle n'est pas seulement une application linéaire sur l'espace vectoriel des sections, mais une application C ^∞ ( M )-linéaire sur le module des sections. Cette propriété permet de vérifier, par exemple, que même si la dérivée de Lie et la dérivée covariante ne sont pas des tenseurs, les tenseurs de torsion et de courbure construits à partir d'elles le sont.

La notation des corps tensoriels peut parfois être confondue avec la notation des espaces tensoriels. Ainsi, le fibré tangent TM = T ( M ) peut parfois s'écrire comme

pour souligner que le fibré tangent est l'espace des portées des champs tensoriels (1,0) (c'est-à-dire des champs vectoriels) sur la variété M. Cela ne doit pas être confondu avec la notation très similaire

dans le dernier cas, nous n'avons qu'un seul espace tensoriel, tandis que dans le premier, nous avons un espace tensoriel défini pour chaque point de la variété M .

Les lettres cursives (script) sont parfois utilisées pour désigner l'ensemble des corps tensoriels infiniment différentiables sur M . Ainsi,

sont les sections du fibré tensoriel ( m , n ) sur M qui sont infiniment différentiables. Un corps tensoriel est un élément de cet ensemble.

Il existe une autre manière plus abstraite (mais souvent utile) de caractériser les corps de tenseurs sur une variété M , qui transforme les corps de tenseurs en tenseurs honnêtes (c'est-à -dire en applications multilinéaires simples ), bien que d'un type différent (bien que ce ne soit généralement pas la raison pour laquelle on dit souvent "tenseur" quand on veut en réalité dire "corps de tenseurs"). Tout d'abord, nous pouvons considérer l'ensemble de tous les champs de vecteurs (C ^∞ ) lisses sur M , (voir la section sur la notation ci-dessus) comme un espace unique — un module sur l' anneau des fonctions lisses, C ^∞ ( M ), par multiplication scalaire ponctuelle. Les notions de multilinéarité et de produits tensoriels s'étendent facilement au cas des modules sur tout anneau commutatif .

A titre d'exemple motivant, considérons l'espace des champs de covecteurs lisses ( 1-formes ), également un module sur les fonctions lisses. Ceux-ci agissent sur les champs de vecteurs lisses pour donner des fonctions lisses par évaluation ponctuelle, à savoir, étant donné un champ de covecteurs ω et un champ de vecteurs X , nous définissons

En raison de la nature ponctuelle de tout ce qui est impliqué, l'action de sur X est une application C ^∞ ( M )-linéaire, c'est-à-dire,

pour tout p dans M et une fonction lisse f . Ainsi, nous pouvons considérer les champs de covecteurs non seulement comme des sections du fibré cotangent, mais aussi comme des applications linéaires de champs de vecteurs dans des fonctions. Par la construction double-duale, les champs de vecteurs peuvent également être exprimés comme des applications de champs de covecteurs dans des fonctions (à savoir, nous pourrions commencer « nativement » avec des champs de covecteurs et travailler à partir de là).

Dans un parallèle complet à la construction de tenseurs simples ordinaires (pas de champs de tenseurs !) sur M comme applications multilinéaires sur des vecteurs et des covecteurs, nous pouvons considérer les champs de tenseurs généraux ( k , l ) sur M comme des applications multilinéaires C ^∞ ( M ) définies sur k copies de et l copies de dans C ^∞ ( M ).

Or, étant donnée une application quelconque T issue d'un produit de k copies de et l copies de dans C ^∞ ( M ), il s'avère qu'elle provient d'un corps tensoriel sur M si et seulement si elle est multilinéaire sur C ^∞ ( M ). A savoir que -module de corps tensoriels de type sur M est canoniquement isomorphe à -module de - formes multilinéaires

Ce type de multilinéarité exprime implicitement le fait que nous avons en réalité affaire à un objet défini ponctuellement, c'est-à-dire à un corps tensoriel, par opposition à une fonction qui, même évaluée en un seul point, dépend simultanément de toutes les valeurs des champs vectoriels et des 1-formes.

Un exemple fréquent d'application de cette règle générale est de montrer que la connexion de Levi-Civita , qui est une application de champs vectoriels lisses prenant une paire de champs vectoriels en un champ vectoriel, ne définit pas un champ tensoriel sur M . C'est parce qu'elle n'est -linéaire que dans Y (au lieu d'une linéarité complète C ^∞ ( M ), elle satisfait la règle de Leibniz, )). Néanmoins, il faut souligner que même s'il ne s'agit pas d'un champ tensoriel, elle est toujours qualifiée d'objet géométrique avec une interprétation sans composante.

Le tenseur de courbure est étudié en géométrie différentielle et le tenseur contrainte-énergie est important en physique, et ces deux tenseurs sont liés par la théorie de la relativité générale d'Einstein .

En électromagnétisme , les champs électrique et magnétique sont combinés en un champ tenseur électromagnétique .

Il convient de noter que les formes différentielles , utilisées pour définir l'intégration sur les variétés, sont un type de corps tensoriel.

En physique théorique et dans d'autres domaines, les équations différentielles posées en termes de corps tensoriels fournissent un moyen très général d'exprimer des relations qui sont à la fois de nature géométrique (garantie par la nature tensorielle) et conventionnellement liées au calcul différentiel . Même la formulation de telles équations nécessite une nouvelle notion, la dérivée covariante . Celle-ci gère la formulation de la variation d'un corps tensoriel le long d'un champ vectoriel . La notion originale de calcul différentiel absolu , qui fut plus tard appelée calcul tensoriel , a conduit à l'isolement du concept géométrique de connexion .

Une extension de l'idée de corps tensoriel incorpore un fibré en ligne supplémentaire L sur M . Si W est le fibré produit tensoriel de V avec L , alors W est un fibré d'espaces vectoriels de même dimension que V . Cela permet de définir le concept de densité tensorielle , un type de corps tensoriel « torsadé ». Une densité tensorielle est le cas particulier où L est le fibré de densités sur une variété , à savoir le fibré déterminant du fibré cotangent . (Pour être strictement précis, il faut également appliquer la valeur absolue aux fonctions de transition – cela fait peu de différence pour une variété orientable .) Pour une explication plus traditionnelle, voir l' article sur la densité tensorielle .

Une caractéristique du faisceau de densités (en supposant encore une fois l'orientabilité) L est que L ^s est bien défini pour les valeurs réelles de s ; cela peut être lu à partir des fonctions de transition, qui prennent des valeurs réelles strictement positives. Cela signifie par exemple que nous pouvons prendre une demi-densité , le cas où s = ⁠1/2En général , nous pouvons prendre des sections de W , le produit tensoriel de V avec L ^s , et considérer des champs de densité tensorielle avec un poids s .

Les demi-densités sont appliquées dans des domaines tels que la définition d'opérateurs intégraux sur des variétés et la quantification géométrique .

Lorsque M est un espace euclidien et que tous les corps sont considérés comme invariants par les traductions des vecteurs de M , on revient à une situation où un corps tensoriel est synonyme d'un tenseur « situé à l'origine ». Cela ne pose pas de gros problèmes et est souvent utilisé dans les applications. Appliqué aux densités tensorielles, cela fait une différence. Le faisceau de densités ne peut pas être sérieusement défini « en un point » ; et donc une limitation du traitement mathématique contemporain des tenseurs est que les densités tensorielles sont définies de manière détournée.

En tant qu'explication avancée du concept de tenseur , on peut interpréter la règle de la chaîne dans le cas multivariable, appliquée aux changements de coordonnées, également comme l'exigence de concepts auto-cohérents de tenseur donnant naissance à des champs de tenseurs.

De manière abstraite, nous pouvons identifier la règle de la chaîne comme un 1- cocycle . Elle donne la cohérence nécessaire pour définir le fibré tangent de manière intrinsèque. Les autres fibrés vectoriels de tenseurs ont des cocycles comparables, qui proviennent de l'application des propriétés fonctorielles des constructions tensorielles à la règle de la chaîne elle-même ; c'est pourquoi ils sont également des concepts intrinsèques (lire, « naturels »).

Ce que l'on appelle habituellement l'approche « classique » des tenseurs tente de lire cela à l'envers – et constitue donc une approche heuristique, post hoc plutôt qu'une approche véritablement fondatrice. La définition des tenseurs par la façon dont ils se transforment sous l'effet d'un changement de coordonnées implique le type d'auto-cohérence que le cocycle exprime. La construction des densités tensorielles est une « torsion » au niveau du cocycle. Les géomètres n'ont jamais douté de la nature géométrique des quantités tensorielles ; ce type d' argument de descente justifie abstraitement toute la théorie.

Le concept de corps tensoriel peut être généralisé en considérant des objets qui se transforment différemment. Un objet qui se transforme comme un corps tensoriel ordinaire sous des transformations de coordonnées, sauf qu'il est également multiplié par le déterminant du Jacobien de la transformation de coordonnées inverse à la puissance w ième, est appelé une densité tensorielle avec un poids w . De manière invariante, dans le langage de l'algèbre multilinéaire, on peut considérer les densités tensorielles comme des applications multilinéaires prenant leurs valeurs dans un fibré de densité tel que l'espace (unidimensionnel) des n -formes (où n est la dimension de l'espace), par opposition à prendre leurs valeurs dans seulement R . Des « poids » plus élevés correspondent alors simplement à la prise de produits tensoriels supplémentaires avec cet espace dans la plage.

Les densités scalaires constituent un cas particulier. Les densités scalaires de 1 scalaire sont particulièrement importantes car il est logique de définir leur intégrale sur une variété. Elles apparaissent, par exemple, dans l' action d'Einstein-Hilbert en relativité générale. L'exemple le plus courant d'une densité scalaire de 1 scalaire est l' élément de volume , qui en présence d'un tenseur métrique g est la racine carrée de son déterminant en coordonnées, noté . Le tenseur métrique est un tenseur covariant d'ordre 2, et donc son déterminant évolue par le carré de la transition de coordonnées :

qui est la loi de transformation pour une densité scalaire de poids +2.

Plus généralement, toute densité tensorielle est le produit d'un tenseur ordinaire avec une densité scalaire de poids approprié. Dans le langage des fibrés vectoriels , le fibré déterminant du fibré tangent est un fibré en ligne qui peut être utilisé pour « tordre » d'autres fibrés w fois. Bien que localement la loi de transformation plus générale puisse effectivement être utilisée pour reconnaître ces tenseurs, une question globale se pose, reflétant que dans la loi de transformation on peut écrire soit le déterminant jacobien, soit sa valeur absolue. Les puissances non entières des fonctions de transition (positives) du fibré de densités ont un sens, de sorte que le poids d'une densité, dans ce sens, n'est pas limité aux valeurs entières. Se limiter aux changements de coordonnées avec un déterminant jacobien positif est possible sur les variétés orientables , car il existe une manière globale cohérente d'éliminer les signes moins ; mais sinon, le fibré en ligne de densités et le fibré en ligne de n -formes sont distincts. Pour en savoir plus sur la signification intrinsèque, voir densité sur une variété .