Double lot

Étant donné une trivialisation locale de avec des fonctions de transition , une trivialisation locale de est donnée par le même revêtement ouvert de avec des fonctions de transition (l' inverse de la transposée ). Le fibré dual est alors construit à l'aide du théorème de construction des fibrés . Comme cas particuliers :

• Le faisceau dual d'un faisceau associé est le faisceau associé à la représentation duale du groupe de structure .
• Le fibré dual du fibré tangent d'une variété différentiable est son fibré cotangent .

Si l'espace de base est paracompact et de Hausdorff, alors un fibré vectoriel réel de rang fini et son dual sont isomorphes en tant que fibrés vectoriels. Cependant, comme pour les espaces vectoriels , il n'existe pas de choix naturel d'isomorphisme à moins que l'espace ne soit muni d'un produit scalaire .

Ceci n'est pas vrai dans le cas des fibrés vectoriels complexes : par exemple, le fibré en droites tautologique sur la sphère de Riemann n'est pas isomorphe à son dual. Le dual d'un fibré vectoriel complexe est bien isomorphe au fibré conjugué , mais le choix de l'isomorphisme n'est pas canonique à moins que ce dernier ne soit muni d'un produit hermitien .

Le fibré Hom de deux fibrés vectoriels est canoniquement isomorphe au fibré produit tensoriel

Étant donné un morphisme de fibrés vectoriels sur le même espace, il existe un morphisme entre leurs fibrés duaux (dans l'ordre inverse), défini fibre par fibre comme la transposée de chaque application linéaire. En conséquence, l'opération de fibré dual définit un foncteur contravariant de la catégorie des fibrés vectoriels et de leurs morphismes vers elle-même.