Transposition d'une application linéaire

En algèbre linéaire , la transposée d'une application linéaire entre deux espaces vectoriels, définis sur le même corps , est une application induite entre les espaces duaux des deux espaces vectoriels. La transposée ou l'adjoint algébrique d'une application linéaire est souvent utilisée pour étudier l'application linéaire d'origine. Ce concept est généralisé par les foncteurs adjoints .

Soit l' espace dual algébrique d'un espace vectoriel Soit et des espaces vectoriels sur le même corps Si est une application linéaire , alors son adjoint algébrique ou dual , est l'application définie par La fonctionnelle résultante est appelée le pullback de par

L' espace dual continu d'un espace vectoriel topologique (TVS) est noté par Si et sont des TVS alors une application linéaire est faiblement continue si et seulement si dans ce cas on note la restriction de à L'application est appelée la transposée ou adjointe algébrique de L'identité suivante caractérise la transposée de : où est l' appariement naturel défini par

L'affectation produit une application linéaire injective entre l'espace des opérateurs linéaires de à et l'espace des opérateurs linéaires de à Si alors l'espace des applications linéaires est une algèbre sous composition d'applications , et l'affectation est alors un antihomomorphisme d'algèbres, c'est-à-dire que Dans le langage de la théorie des catégories , prendre le dual des espaces vectoriels et la transposée des applications linéaires est donc un foncteur contravariant de la catégorie des espaces vectoriels vers elle-même. On peut s'identifier à l'utilisation de l'injection naturelle dans le double dual.

• Si et sont des applications linéaires alors
• Si est un isomorphisme ( surjectif ) de l'espace vectoriel alors la transposée l'est aussi
• Si et sont des espaces normés alors

Supposons maintenant que soit un opérateur linéaire faiblement continu entre des espaces vectoriels topologiques et avec des espaces duaux continus et respectivement. Soit le système dual canonique , défini par où et sont dits orthogonaux si Pour tout sous-ensemble et soit la polaire ( absolue ) de dans (resp. de dans ).

• Si et sont des ensembles convexes, faiblement fermés contenant l’origine, alors cela implique
• Si et alors

• Si et sont localement convexes alors

Supposons que et sont des espaces vectoriels topologiques et est un opérateur linéaire faiblement continu (donc ). Étant donné les sous-ensembles et , définissons leurs annihilateurs (par rapport au système dual canonique) par

et

• Le noyau de est le sous-espace de orthogonal à l'image de :

• L'application linéaire est injective si et seulement si son image est un sous-ensemble faiblement dense de (c'est-à-dire que l'image de est dense dans lorsque est donnée la topologie faible induite par ).
• La transposée est continue lorsque et sont toutes deux dotées de la topologie faible-* (resp. toutes deux dotées de la topologie duale forte , toutes deux dotées de la topologie de convergence uniforme sur les sous-ensembles convexes compacts, toutes deux dotées de la topologie de convergence uniforme sur les sous-ensembles compacts).
• ( Surjection des espaces de Fréchet ) : Si et sont des espaces de Fréchet alors l'opérateur linéaire continu est surjectif si et seulement si (1) la transposée est injective , et (2) l'image de la transposée de est un sous-ensemble faiblement fermé (ie faiblement-* fermé) de

Soit un sous-espace vectoriel fermé d'un espace localement convexe de Hausdorff et notons l'application quotient canonique par Supposons que soit muni de la topologie quotient induite par l'application quotient Alors la transposée de l'application quotient a pour valeur et est un isomorphisme TVS sur Si est un espace de Banach alors est aussi une isométrie . En utilisant cette transposée, toute fonctionnelle linéaire continue sur l'espace quotient est canoniquement identifiée à une fonctionnelle linéaire continue dans l'annihilateur de

Soit un sous-espace vectoriel fermé d'un espace localement convexe de Hausdorff Si et si est une extension linéaire continue de à alors l'affectation induit un isomorphisme d'espace vectoriel qui est une isométrie si est un espace de Banach.

On note l' application d'inclusion par La transposée de l'application d'inclusion est dont le noyau est l'annihilateur et qui est surjectif par le théorème de Hahn-Banach . Cette application induit un isomorphisme des espaces vectoriels

Si l'application linéaire est représentée par la matrice par rapport à deux bases de et alors est représentée par la matrice transposée par rapport aux bases duales de et d'où le nom. Alternativement, comme est représentée par l'action à droite sur les vecteurs colonnes, est représentée par la même matrice agissant à gauche sur les vecteurs lignes. Ces points de vue sont liés par le produit scalaire canonique sur lequel identifie l'espace des vecteurs colonnes avec l'espace dual des vecteurs lignes.

L'identité qui caractérise la transposée, c'est-à-dire, est formellement similaire à la définition de l' adjoint hermitien , cependant, la transposée et l'adjoint hermitien ne sont pas la même application. La transposée est une application et est définie pour les applications linéaires entre des espaces vectoriels quelconques et sans nécessiter de structure supplémentaire. L'adjoint hermitien est une application et n'est défini que pour les applications linéaires entre des espaces de Hilbert, car il est défini en termes de produit scalaire sur l'espace de Hilbert. L'adjoint hermitien nécessite donc plus de structure mathématique que la transposée.

Cependant, la transposée est souvent utilisée dans des contextes où les espaces vectoriels sont tous deux dotés d'une forme bilinéaire non dégénérée telle que le produit scalaire euclidien ou un autre produit scalaire réel . Dans ce cas, la forme bilinéaire non dégénérée est souvent utilisée implicitement pour établir une correspondance entre les espaces vectoriels et leurs duals, afin d'exprimer l'application transposée sous la forme d'une application. Pour un espace de Hilbert complexe, le produit scalaire est sesquilinéaire et non bilinéaire, et ces conversions transforment la transposée en application adjointe.

Plus précisément : si et sont des espaces de Hilbert et est une application linéaire alors la transposée de et l'adjoint hermitien dont nous noterons respectivement et sont liés. Notons et les isométries antilinéaires canoniques des espaces de Hilbert et sur leurs duals. Alors est la composition d'applications suivante :

Supposons que et sont des espaces vectoriels topologiques et que soit une application linéaire, alors de nombreuses propriétés de se reflètent dans

• Si et sont des ensembles convexes faiblement fermés contenant l’origine, alors implique
• L'espace nul de est le sous-espace de orthogonal à l'intervalle de