Calcul de Ricci

En mathématiques , le calcul de Ricci constitue les règles de notation et de manipulation des indices pour les tenseurs et les corps de tenseurs sur une variété différentiable , avec ou sans tenseur ou connexion métrique . C'est aussi le nom moderne de ce qu'on appelait autrefois le calcul différentiel absolu (le fondement du calcul tensoriel), le calcul tensoriel ou l'analyse tensorielle développé par Gregorio Ricci-Curbastro en 1887-1896, et popularisé par la suite dans un article écrit avec son élève Tullio Levi-Civita en 1900. Jan Arnoldus Schouten a développé la notation et le formalisme modernes de ce cadre mathématique, et a contribué à la théorie, lors de ses applications à la relativité générale et à la géométrie différentielle au début du XXe siècle. La base de l'analyse tensorielle moderne a été développée par Bernhard Riemann dans son article de 1861.

Une composante d'un tenseur est un nombre réel qui est utilisé comme coefficient d'un élément de base pour l'espace tensoriel. Le tenseur est la somme de ses composantes multipliée par leurs éléments de base correspondants. Les tenseurs et les corps tensoriels peuvent être exprimés en termes de leurs composantes, et les opérations sur les tenseurs et les corps tensoriels peuvent être exprimées en termes d'opérations sur leurs composantes. La description des corps tensoriels et des opérations sur eux en termes de leurs composantes est au centre du calcul de Ricci. Cette notation permet une expression efficace de ces corps tensoriels et de ces opérations. Bien qu'une grande partie de la notation puisse être appliquée à n'importe quel tenseur, les opérations relatives à une structure différentielle ne s'appliquent qu'aux corps tensoriels. Si nécessaire, la notation s'étend aux composantes de non-tenseurs, en particulier aux tableaux multidimensionnels .

Un tenseur peut être exprimé comme une somme linéaire du produit tensoriel des éléments de base vecteur et covecteur . Les composantes tensorielles résultantes sont étiquetées par les indices de la base. Chaque indice a une valeur possible par dimension de l' espace vectoriel sous-jacent . Le nombre d'indices est égal au degré (ou ordre) du tenseur.

Pour des raisons de compacité et de commodité, le calcul de Ricci intègre la notation d'Einstein , qui implique une sommation sur des indices répétés dans un terme et une quantification universelle sur des indices libres. Les expressions dans la notation du calcul de Ricci peuvent généralement être interprétées comme un ensemble d'équations simultanées reliant les composantes en tant que fonctions sur une variété, généralement plus spécifiquement en tant que fonctions des coordonnées sur la variété. Cela permet une manipulation intuitive des expressions avec une connaissance limitée d'un ensemble de règles.

Applications

Le calcul tensoriel a de nombreuses applications en physique , en ingénierie et en informatique, notamment l'élasticité , la mécanique des milieux continus , l'électromagnétisme (voir les descriptions mathématiques du champ électromagnétique ), la relativité générale (voir les mathématiques de la relativité générale ), la théorie quantique des champs et l'apprentissage automatique .

Travaillant avec l'un des principaux partisans du calcul extérieur, Élie Cartan , le géomètre influent Shiing-Shen Chern résume le rôle du calcul tensoriel :

Dans notre sujet de géométrie différentielle, où vous parlez de variétés, une difficulté est que la géométrie est décrite par des coordonnées, mais les coordonnées n'ont pas de sens. Elles peuvent subir des transformations. Et pour gérer ce genre de situation, un outil important est ce qu'on appelle l'analyse tensorielle, ou calcul de Ricci, qui était nouveau pour les mathématiciens. En mathématiques, vous avez une fonction, vous l'écrivez, vous calculez, ou vous additionnez, ou vous multipliez, ou vous pouvez différencier. Vous avez quelque chose de très concret. En géométrie, la situation géométrique est décrite par des nombres, mais vous pouvez changer ces nombres à volonté. Donc pour gérer cela, vous avez besoin du calcul de Ricci.

Notation des indices

Distinctions liées à la base

Coordonnées spatiales et temporelles

Lorsqu'une distinction doit être faite entre les éléments de base de type spatial et un élément de type temporel dans l'espace-temps à quatre dimensions de la physique classique, cela se fait traditionnellement au moyen d'indices comme suit :

L' alphabet latin minuscule a , b , c , ... est utilisé pour indiquer la restriction à l'espace euclidien tridimensionnel , qui prend les valeurs 1, 2, 3 pour les composants spatiaux ; et l'élément de type temporel, indiqué par 0, est affiché séparément.
L' alphabet grec minuscule α , β , γ , ... est utilisé pour l'espace-temps à 4 dimensions , qui prend généralement les valeurs 0 pour les composantes temporelles et 1, 2, 3 pour les composantes spatiales.

Certaines sources utilisent 4 au lieu de 0 comme valeur d'indice correspondant au temps ; dans cet article, c'est 0 qui est utilisé. Sinon, dans des contextes mathématiques généraux, n'importe quel symbole peut être utilisé pour les indices, généralement sur toutes les dimensions de l'espace vectoriel.

Notation des coordonnées et des indices

Les auteurs précisent généralement clairement si un indice est destiné à servir d’index ou d’étiquette.

Par exemple, dans l'espace euclidien 3D et en utilisant des coordonnées cartésiennes ; le vecteur de coordonnées A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z ) montre une correspondance directe entre les indices 1, 2, 3 et les étiquettes x , y , z . Dans l'expression A _i , i est interprété comme un indice s'étendant sur les valeurs 1, 2, 3, tandis que les indices x , y , z ne sont que des étiquettes, pas des variables. Dans le contexte de l'espace-temps, la valeur d'indice 0 correspond conventionnellement à l'étiquette t .

Référence à la base

Les indices eux-mêmes peuvent être étiquetés à l'aide de symboles de type diacritique , tels qu'un chapeau (ˆ), une barre (¯), un tilde (˜) ou un nombre premier (′) comme dans :

{\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{ ilde {\eta }}\,,T_{\mu ' <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>X</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>ϕ</mi> <mo>^</mo> </mover> </mrow> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>λ</mi> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> <msub> <mi>Z</mi> <mrow> <mrow> <mover> <mi>η</mi> <mo>~</mo> </mover> </mrow> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> <msub> <mi>T</mi> <mrow> <msup> <mi>μ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{ ilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour désigner une base éventuellement différente pour cet indice. Un exemple est celui des transformations de Lorentz d'un référentiel à un autre, où un référentiel pourrait être désamorcé et l'autre amorcé, comme dans :

{\displaystyle v^{\mu '}=v^{ u }L_{ u }{}^{\mu '}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <msup> <mi>μ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>L</mi> <mrow> <mi>v</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <msup> <mi>μ</mi> <mo>′</mo> </msup> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v^{\mu '}=v^{ u }L_{ u }{}^{\mu '}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ceci ne doit pas être confondu avec la notation de van der Waerden pour les spineurs , qui utilise des chapeaux et des points sur les indices pour refléter la chiralité d'un spineur.

Indices supérieur et inférieur

Le calcul de Ricci, et la notation des indices plus généralement, distinguent les indices inférieurs (indices) et les indices supérieurs (indices supérieurs) ; ces derniers ne sont pas des exposants, même s'ils peuvent apparaître comme tels au lecteur familier uniquement avec d'autres parties des mathématiques.

Dans le cas particulier où le tenseur métrique est partout égal à la matrice identité, il est possible de supprimer la distinction entre les indices supérieurs et inférieurs, et alors tous les indices pourraient être écrits en position inférieure. Les formules de coordonnées en algèbre linéaire telles que celles pour le produit de matrices peuvent en être des exemples. Mais en général, la distinction entre les indices supérieurs et inférieurs doit être maintenue. ${\displaystyle a_{ij}b_{jk <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>un</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mi>j</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>b</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a_{ij}b_{jk}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Composantes tensorielles covariantes

Un indice inférieur (indice) indique la covariance des composants par rapport à cet indice :

{\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Composantes tensorielles contravariantes

Un indice supérieur (exposant) indique la contravariance des composantes par rapport à cet indice :

{\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Composantes du tenseur à variance mixte

Un tenseur peut avoir des indices supérieurs et inférieurs :

{\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L'ordre des indices est important, même lorsque la variance est différente. Cependant, lorsqu'il est entendu qu'aucun indice ne sera augmenté ou diminué tout en conservant le symbole de base, les indices covariants sont parfois placés sous les indices contravariants pour des raisons de commodité de notation (par exemple avec le delta de Kronecker généralisé ).

Type et degré du tenseur

Le nombre de chaque indice supérieur et inférieur d'un tenseur donne son type : un tenseur avec p indices supérieurs et q indices inférieurs est dit de type ( p , q ) , ou de type- ( p , q ) .

Le nombre d'indices d'un tenseur, indépendamment de la variance, est appelé le degré du tenseur (ou bien sa valence , son ordre ou son rang , bien que le rang soit ambigu). Ainsi, un tenseur de type ( p , q ) a un degré p + q .

Convention de sommation

Le même symbole apparaissant deux fois (une fois en haut et une fois en bas) dans un terme indique une paire d'indices qui sont additionnés sur :

{\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad { ext{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>ou</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad { ext{ou}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

L'opération impliquée par une telle sommation est appelée contraction tensorielle :

{\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta } ightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta } ightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,. }</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cette sommation peut se produire plus d'une fois dans un terme avec un symbole distinct par paire d'indices, par exemple :

{\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo>≡</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_ {\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

D'autres combinaisons d'indices répétés dans un terme sont considérées comme mal formées, telles que

La raison pour laquelle de telles formules sont exclues est que même si ces quantités peuvent être calculées comme des tableaux de nombres, elles ne se transformeraient généralement pas en tenseurs lors d'un changement de base.

Notation multi-index

Si un tenseur possède une liste de tous les indices supérieurs ou inférieurs, une méthode abrégée consiste à utiliser une lettre majuscule pour la liste :

{\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>je</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>j</mi> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>≡</mo> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>je</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>je</mi> <mi>J</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>J</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\équiv A_{I}B^{IJ}C_{J},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n et J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Sommation séquentielle

Une paire de barres verticales | ⋅ | autour d'un ensemble d'indices tous supérieurs ou tous inférieurs (mais pas les deux), associée à une contraction avec un autre ensemble d'indices lorsque l'expression est complètement antisymétrique dans chacun des deux ensembles d'indices :

{\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>⋯</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> <mo><</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

signifie une somme restreinte sur des valeurs d'indice, où chaque indice est contraint d'être strictement inférieur au suivant. Plusieurs groupes peuvent être additionnés de cette manière, par exemple :

{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu u \cdots \zeta |}C^{\mu u \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu < u <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu u \cdots \zeta }C^{\mu u \cdots \zeta }\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>⋯</mo> <mi>λ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>⋯</mo> <mi>λ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>μ</mi> <mi>v</mi> <mo>⋯</mo> <mi>ζ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>v</mi> <mo>⋯</mo> <mi>ζ</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo><</mo> <mi>β</mi> <mo><</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </munder> <mtext> </mtext> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>δ</mi> <mo><</mo> <mi>ϵ</mi> <mo><</mo> <mo>⋯</mo> <mo><</mo> <mi>λ</mi> </mrow> </munder> <mtext> </mtext> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>μ</mi> <mo><</mo> <mi>v</mi> <mo><</mo> <mo>⋯</mo> <mo><</mo> <mi>ζ</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>UN</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>⋯</mo> <mi>λ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>⋯</mo> <mi>λ</mi> <mi>μ</mi> <mi>v</mi> <mo>⋯</mo> <mi>ζ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>v</mi> <mo>⋯</mo> <mi>ζ</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu u \cdots \zeta |}C^{\mu u \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu < u <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu u \cdots \zeta }C^{\mu u \cdots \zeta }\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Lors de l'utilisation de la notation multi-index, une flèche inférieure est placée sous le bloc d'indices :

{\displaystyle A_{\underset { ightharpoondown }{P}}{}^{\underset { ightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset { ightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset { ightharpoondown }{P}}\sum _{\underset { ightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset { ightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <munder> <mi>P</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <munder> <mi>Q</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> <mrow> <munder> <mi>R</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> </mrow> </msub> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <munder> <mi>P</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> </munder> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <munder> <mi>Q</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> </munder> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <munder> <mi>R</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> </munder> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>P</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>Q</mi> <mi>R</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>C</mi> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\underset { ightharpoondown }{P}}{}^{\underset { ightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset { ightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset { ightharpoondown }{P}}\sum _{\underset { ightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset { ightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

{\displaystyle {\underset { ightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset { ightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset { ightharpoondown }{R}}=|\mu u \cdots \zeta | <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <munder> <mi>P</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mspace></mspace> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mrow> <munder> <mi>Q</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>δ</mi> <mi>ϵ</mi> <mo>⋯</mo> <mi>λ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mspace></mspace> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mrow> <munder> <mi>R</mi> <mo>⇁</mo> </munder> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> <mo>⋯</mo> <mi>ζ</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\underset { ightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset { ightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset { ightharpoondown }{R}}=|\mu u \cdots \zeta |}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Indices de hausse et de baisse

En contractant un indice avec un tenseur métrique non singulier , le type d'un tenseur peut être modifié, convertissant un indice inférieur en un indice supérieur ou vice versa :

{\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad { ext{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mrow> <mtext>and</mtext> </mrow> <mspace></mspace> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad { ext{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Dans de nombreux cas, le symbole de base est conservé (par exemple en utilisant A là où B apparaît ici), et lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, le repositionnement d'un index peut être interprété comme impliquant cette opération.

Corrélations entre les positions d'indice et l'invariance

Ce tableau résume la manière dont la manipulation des indices covariants et contravariants s'intègre dans l'invariance sous une transformation passive entre bases, les composantes de chaque base étant définies en fonction de l'autre reflétées dans la première colonne. Les indices barrés font référence au système de coordonnées final après la transformation.

Le delta de Kronecker est utilisé, voir également ci-dessous.

Principes généraux de la notation et des opérations d'index

Les tenseurs sont égaux si et seulement si chaque composant correspondant est égal ; par exemple, le tenseur A est égal au tenseur B si et seulement si

{\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour tout α , β , γ . Par conséquent, certaines facettes de la notation sont utiles pour vérifier qu'une équation a un sens (une procédure analogue à l'analyse dimensionnelle ).

Indices libres et fictifs

Les indices qui ne sont pas impliqués dans les contractions sont appelés indices libres . Les indices utilisés dans les contractions sont appelés indices factices ou indices de sommation .

Une équation tensorielle représente de nombreuses équations ordinaires (à valeurs réelles)

Les composantes des tenseurs (comme A ^α , B _β^γ etc.) ne sont que des nombres réels. Étant donné que les indices prennent différentes valeurs entières pour sélectionner des composantes spécifiques des tenseurs, une seule équation tensorielle représente de nombreuses équations ordinaires. Si une égalité tensorielle a n indices libres et si la dimensionnalité de l'espace vectoriel sous-jacent est m , l'égalité représente m ⁿ équations : chaque indice prend chaque valeur d'un ensemble spécifique de valeurs.

Par exemple, si

{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

est en quatre dimensions (c'est-à-dire que chaque indice va de 0 à 3 ou de 1 à 4), alors comme il y a trois indices libres ( α , β , δ ), il y a 4 ³ = 64 équations. Trois d'entre elles sont :

{\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>00</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>20</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>30</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>00</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>10</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>20</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>30</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>02</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>12</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>22</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mn>32</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ceci illustre la compacité et l'efficacité de l'utilisation de la notation d'indice : de nombreuses équations qui partagent toutes une structure similaire peuvent être rassemblées en une seule équation tensorielle simple.

Les indices sont des étiquettes remplaçables

Le remplacement d'un symbole d'indice par un autre laisse l'équation du tenseur inchangée (à condition qu'il n'y ait pas de conflit avec d'autres symboles déjà utilisés). Cela peut être utile lors de la manipulation d'indices, comme l'utilisation de la notation d'indice pour vérifier les identités de calcul vectoriel ou les identités du delta de Kronecker et du symbole de Levi-Civita (voir également ci-dessous). Un exemple de changement correct est :

{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta } ightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>→</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta } ightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

alors qu'un changement erroné est :

{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta } rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>↛</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mrow> </mrow> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta } rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Dans le premier remplacement, λ a remplacé α et μ a remplacé γ partout , donc l'expression a toujours la même signification. Dans le second, λ n'a pas complètement remplacé α et μ n'a pas complètement remplacé γ (d'ailleurs, la contraction sur l' indice γ est devenue un produit tensoriel), ce qui est totalement incohérent pour les raisons présentées ci-après.

Les indices sont les mêmes à chaque terme

Les indices libres dans une expression tensorielle apparaissent toujours dans la même position (supérieure ou inférieure) dans chaque terme, et dans une équation tensorielle, les indices libres sont les mêmes de chaque côté. Les indices fictifs (qui impliquent une sommation sur cet indice) ne doivent pas nécessairement être les mêmes, par exemple :

{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>E</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

quant à une expression erronée :

{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>E</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

En d'autres termes, les indices non répétés doivent être du même type dans chaque terme de l'équation. Dans l'identité ci-dessus, α , β , δ s'alignent partout et γ apparaît deux fois dans un terme en raison d'une contraction (une fois comme indice supérieur et une fois comme indice inférieur), et c'est donc une expression valide. Dans l'expression invalide, alors que β s'aligne, α et δ ne le font pas, et γ apparaît deux fois dans un terme (contraction) et une fois dans un autre terme, ce qui est incohérent.

Les crochets et la ponctuation ont été utilisés une fois là où cela était implicite

Lors de l'application d'une règle à un certain nombre d'indices (différenciation, symétrisation, etc., présentés ci-après), les crochets ou les symboles de ponctuation désignant les règles ne sont affichés que sur un groupe d'indices auxquels ils s'appliquent.

Si les parenthèses entourent des indices covariants , la règle s'applique uniquement à tous les indices covariants entre parenthèses , et non aux indices contravariants qui se trouvent placés entre les parenthèses.

De même, si les parenthèses entourent des indices contravariants , la règle s’applique uniquement à tous les indices contravariants entre crochets , et non aux indices covariants placés de manière intermédiaire.

Pièces symétriques et antisymétriques

Symétriquepartie du tenseur

Les parenthèses ( ) autour de plusieurs indices désignent la partie symétrisée du tenseur. Lors de la symétrisation de p indices en utilisant σ pour couvrir les permutations des nombres 1 à p , on prend une somme sur les permutations de ces indices α _{σ ( i )} pour i = 1, 2, 3, ..., p , puis on divise par le nombre de permutations :

{\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>p</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>σ</mi> </mrow> </munder> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Par exemple, deux indices symétrisants signifient qu'il y a deux indices à permuter et à additionner :

{\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots } ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

tandis que pour trois indices symétrisants, il y a trois indices à additionner et à permuter :

{\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>)</mo> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mi>α</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots } ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La symétrisation est distributive sur l’addition ;

{\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots } ight)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots } ight)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les indices ne font pas partie de la symétrisation lorsqu'ils sont :

pas au même niveau, par exemple ;
${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha } ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
entre parenthèses et entre les barres verticales (c'est-à-dire |⋅⋅⋅|), modifiant l'exemple précédent ;
${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>β</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha } ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ici les indices α et γ sont symétrisés, β ne l'est pas.

Antisymétriqueou partie alternée du tenseur

Les crochets [ ] autour des indices multiples désignent la partie antisymétrisée du tenseur. Pour p indices antisymétrisants, on prend la somme des permutations de ces indices α _{σ ( i )} multipliée par la signature de la permutation sgn( σ ) , puis on divise par le nombre de permutations :

{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>p</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>σ</mi> </mrow> </munder> <mi>sgn</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>σ</mi> <mo>)</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>σ</mi> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>…</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où δ^{β ₁ ⋅⋅⋅ β _p}
_{α ₁ ⋅⋅⋅ α _p}est le delta de Kronecker généralisé de degré 2 p , avec une mise à l'échelle telle que définie ci-dessous.

Par exemple, deux indices antisymétrisants impliquent :

{\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>]</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots } ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

tandis que trois indices antisymétrisants impliquent :

{\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>]</mo> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mi>α</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots } ight)}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour un exemple plus spécifique, si F représente le tenseur électromagnétique , alors l'équation

{\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha } ight)\, <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>=</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>3</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>γ</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace></mspace> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha } ight)\,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

représente la loi de Gauss pour le magnétisme et la loi de Faraday pour l'induction .

Comme précédemment, l’antisymétrisation est distributive sur l’addition ;

{\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots } ight)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>]</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>]</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>]</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>]</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots } ight)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Comme pour la symétrisation, les indices ne sont pas antisymétrisés lorsqu'ils sont :

pas au même niveau, par exemple ;
${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha } ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$
entre crochets et entre les barres verticales (c'est-à-dire |⋅⋅⋅|), en modifiant l'exemple précédent ;
${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha } ight) <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>β</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msub> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>α</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha } ight)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Ici les indices α et γ sont antisymétrisés, β ne l'est pas.

Somme des parties symétriques et antisymétriques

Tout tenseur peut s'écrire comme la somme de ses parties symétriques et antisymétriques sur deux indices :

{\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>]</mo> <mi>γ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

comme on peut le voir en additionnant les expressions ci-dessus pour A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} et A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Ceci n'est valable que pour deux indices.

Différenciation

Pour des raisons de compacité, les dérivées peuvent être indiquées en ajoutant des indices après une virgule ou un point-virgule.

Dérivée partielle

Alors que la plupart des expressions du calcul de Ricci sont valables pour des bases arbitraires, les expressions impliquant des dérivées partielles de composantes de tenseurs par rapport à des coordonnées ne s'appliquent qu'avec une base de coordonnées : une base définie par différentiation par rapport aux coordonnées. Les coordonnées sont généralement notées x ^μ , mais ne forment pas en général les composantes d'un vecteur. Dans un espace-temps plat avec une coordination linéaire, un tuple de différences de coordonnées, Δ x ^μ , peut être traité comme un vecteur contravariant. Avec les mêmes contraintes sur l'espace et sur le choix du système de coordonnées, les dérivées partielles par rapport aux coordonnées donnent un résultat qui est effectivement covariant. Outre leur utilisation dans ce cas particulier, les dérivées partielles de composantes de tenseurs ne se transforment en général pas de manière covariante, mais sont utiles pour construire des expressions qui sont covariantes, bien que toujours avec une base de coordonnées si les dérivées partielles sont explicitement utilisées, comme avec les dérivées covariantes, extérieures et de Lie ci-dessous.

Pour indiquer la différenciation partielle des composantes d'un champ tensoriel par rapport à une variable de coordonnées x ^γ , une virgule est placée avant un indice inférieur ajouté de la variable de coordonnées.

{\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cela peut être répété (sans ajouter de virgules supplémentaires) :

{\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>q</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>⋯</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{q}}}}\cdots {\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+2}}}}{\dfrac {\partial }{\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Ces composantes ne se transforment pas de manière covariante, à moins que l'expression à différencier soit un scalaire. Cette dérivée est caractérisée par la règle du produit et les dérivées des coordonnées

{\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha },}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où δ est le delta de Kronecker .

Dérivée covariante

La dérivée covariante n'est définie que si une connexion est définie. Pour tout corps tensoriel, un point-virgule ( ; ) placé avant un indice inférieur (covariant) ajouté indique une différenciation covariante. Les alternatives moins courantes au point-virgule incluent une barre oblique ( / ) ou dans un espace courbe tridimensionnel une seule barre verticale ( | ).

La dérivée covariante d'une fonction scalaire, un vecteur contravariant et un vecteur covariant sont :

{\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>;</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f_{;\beta }=f_{,\beta }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>;</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mo>;</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où Γ ^α_γβ sont les coefficients de connexion.

Pour un tenseur arbitraire :

{\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>+</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>δ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>−</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mo>⋯</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>δ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Une notation alternative pour la dérivée covariante de tout tenseur est le symbole nabla indice ∇ _β . Pour le cas d'un champ vectoriel A ^α :

{\displaystyle abla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>∇</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>;</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle abla _{\beta }A^{\alpha }=A^{\alpha }{}_{;\beta }\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La formulation covariante de la dérivée directionnelle de tout champ tensoriel le long d'un vecteur v ^γ peut être exprimée comme sa contraction avec la dérivée covariante, par exemple :

{\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>v</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mo>;</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les composantes de cette dérivée d'un corps tensoriel se transforment de manière covariante et forment donc un autre corps tensoriel, malgré les sous-expressions (la dérivée partielle et les coefficients de connexion) qui ne se transforment pas séparément de manière covariante.

Cette dérivée est caractérisée par la règle du produit :

{\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mo>;</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> <mo>;</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mo>⋯</mo> </mrow> </msub> <msup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>δ</mi> <mo>⋯</mo> <mo>;</mo> <mi>ϵ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots })_{;\epsilon }=A^{\alpha }{}_{\beta \cdots ;\epsilon }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots }+A^{\alpha }{}_{\beta \cdots }B^{\gamma }{}_{\delta \cdots ;\epsilon }\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Types de connexion

Une connexion de Koszul sur le fibré tangent d'une variété différentiable est appelée connexion affine .

Une connexion est une connexion métrique lorsque la dérivée covariante du tenseur métrique s'annule :

{\displaystyle g_{\mu u ;\xi }=0\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> <mo>;</mo> <mi>ξ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g_{\mu u ;\xi }=0\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Une connexion affine qui est également une connexion métrique est appelée une connexion riemannienne . Une connexion riemannienne qui est sans torsion (c'est-à-dire pour laquelle le tenseur de torsion s'annule : T ^α_βγ = 0 ) est une connexion de Levi-Civita .

Les Γ ^α_βγ pour une connexion Levi-Civita dans une base de coordonnées sont appelés symboles de Christoffel du deuxième type.

Dérivée extérieure

La dérivée extérieure d'un corps de tenseurs de type (0, s ) totalement antisymétrique de composantes A _{α ₁ ⋅⋅⋅ α _s} (également appelée forme différentielle ) est une dérivée covariante par transformations de base. Elle ne dépend ni d'un tenseur métrique ni d'une connexion : elle ne nécessite que la structure d'une variété différentiable. Dans une base de coordonnées, elle peut être exprimée comme l'antisymétrisation des dérivées partielles des composantes du tenseur :

{\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mrow> <mi>d</mi> </mrow> <mi>A</mi> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mi>γ</mi> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>∂</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mo>[</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> <mo>]</mo> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\mathrm {d} A)_{\gamma \alpha _{1}\cdots \alpha _{s}}={\frac {\partial }{\partial x^{[\gamma }}}A_{\alpha _{1}\cdots \alpha _{s}]}=A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{s},\gamma ]}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cette dérivée n'est définie sur aucun corps tensoriel d'indices contravariants ou qui ne soit pas totalement antisymétrique. Elle est caractérisée par une règle de produit gradué.

Dérivée de Lie

La dérivée de Lie est une autre dérivée qui est covariante sous les transformations de base. Comme la dérivée extérieure, elle ne dépend ni d'un tenseur métrique ni d'une connexion. La dérivée de Lie d'un corps tensoriel T de type ( r , s ) le long (du flux de) d'un champ vectoriel contravariant X ^ρ peut être exprimée en utilisant une base de coordonnées comme

{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>T</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> <mtd></mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>=</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>−</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>γ</mi> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mo>⋯</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>+</mo> <mspace></mspace> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Cette dérivée est caractérisée par la règle du produit et par le fait que la dérivée de Lie d'un champ de vecteurs contravariants le long de lui-même est nulle :

{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <msub> <mrow> <mrow> <mi>L</mi> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>X</mi> </mrow> </msub> <mi>X</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mo>,</mo> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>X</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\alpha }=X^{\gamma }X^{\alpha }{}_{,\gamma }-X^{\alpha }{}_{,\gamma }X^{\gamma }=0\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Tenseurs notables

Delta de Kronecker

Le delta de Kronecker est comme la matrice identité lorsqu'elle est multipliée et contractée :

{\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{ u }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{ u }.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mspace></mspace> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>ν</mi> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </msubsup> <mspace></mspace> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{ u }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{ u }.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les composants δ^αβ
sont les mêmes dans toute base et forment un tenseur invariant de type (1, 1) , c'est-à-dire l'identité du fibré tangent sur l' application identité de la variété de base , et donc sa trace est un invariant. Sa trace est la dimensionnalité de l'espace ; par exemple, dans l'espace-temps à quatre dimensions ,

{\displaystyle \delta _{ ho }^{ ho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mo>+</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> <mrow> <mn>3</mn> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mn>4.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{ ho }^{ ho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Le delta de Kronecker fait partie de la famille des deltas de Kronecker généralisés. Le delta de Kronecker généralisé de degré 2 p peut être défini en termes du delta de Kronecker par (une définition courante inclut un multiplicateur supplémentaire de p ! à droite) :

{\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et agit comme un antisymétriseur sur les indices p :

{\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mspace></mspace> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mrow> <mo>[</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>p</mi> </mrow> </msub> <mo>]</mo> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Tenseur de torsion

Une connexion affine a un tenseur de torsion T ^α_βγ :

{\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>γ</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle T^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }-\gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma },}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où γ ^α_βγ sont donnés par les composantes du support de Lie de la base locale, qui s'annulent lorsqu'il s'agit d'une base de coordonnées.

Pour une connexion Levi-Civita, ce tenseur est défini comme étant nul, ce qui, pour une base de coordonnées, donne les équations

{\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>γ</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma ^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Tenseur de courbure de Riemann

Si ce tenseur est défini comme

{\displaystyle R^{ ho }{}_{\sigma \mu u }=\Gamma ^{ ho }{}_{ u \sigma ,\mu }-\Gamma ^{ ho }{}_{\mu \sigma , u }+\Gamma ^{ ho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{ u \sigma }-\Gamma ^{ ho }{}_{ u \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>σ</mi> <mi>μ</mi> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mi>σ</mi> <mo>,</mo> <mi>μ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>σ</mi> <mo>,</mo> <mi>ν</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>λ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mi>σ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mi>λ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>Γ</mi> <mrow> <mi>λ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>μ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R^{ ho }{}_{\sigma \mu u }=\Gamma ^{ ho }{}_{ u \sigma ,\mu }-\Gamma ^{ ho }{}_{\mu \sigma , u }+\Gamma ^{ ho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{ u \sigma }-\Gamma ^{ ho }{}_{ u \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

alors c'est le commutateur de la dérivée covariante avec elle-même :

{\displaystyle A_{ u ; ho \sigma }-A_{ u ;\sigma ho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{ u ho \sigma }\,, <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>;</mo> <mi>ρ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>;</mo> <mi>σ</mi> <mi>ρ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>ν</mi> <mi>ρ</mi> <mi>σ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle A_{ u ; ho \sigma }-A_{ u ;\sigma ho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{ u ho \sigma }\,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

puisque la connexion est sans torsion, ce qui signifie que le tenseur de torsion s'annule.

Ceci peut être généralisé pour obtenir le commutateur pour deux dérivées covariantes d'un tenseur arbitraire comme suit :

{\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{ ho \gamma \delta }T^{ ho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{ ho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1} ho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mo>;</mo> <mi>δ</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <mi>ρ</mi> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <mo>⋯</mo> <mo>−</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>ρ</mi> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>ρ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>σ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mi>σ</mi> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mi>σ</mi> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msub> <mi>γ</mi> <mi>δ</mi> </mrow> </msub> <msup> <mi>T</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>r</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>s</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>σ</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }&-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!=-R^{\alpha _{1}}{}_{ ho \gamma \delta }T^{ ho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{ ho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1} ho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

qui sont souvent appelées les identités Ricci .

Tenseur métrique

Le tenseur métrique g _αβ est utilisé pour abaisser les indices et donne la longueur de toute courbe de type spatial

{\displaystyle { ext{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtext>length</mtext> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow> <msqrt> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>γ</mi> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { ext{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où γ est une paramétrisation strictement monotone et lisse du chemin. Elle donne également la durée de toute courbe de type temps

{\displaystyle { ext{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,, <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtext>duration</mtext> </mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mrow> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <msup> <mi>c</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mfrac> </mrow> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <mi>d</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </msqrt> </mrow> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>γ</mi> <mspace></mspace> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle { ext{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où γ est une paramétrisation strictement monotone et lisse de la trajectoire. Voir aussi Élément de ligne .

La matrice inverse g ^αβ du tenseur métrique est un autre tenseur important, utilisé pour élever les indices :

{\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>g</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>g</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mi>γ</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>δ</mi> <mrow> <mi>γ</mi> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msubsup> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=