Contraction du tenseur

En algèbre multilinéaire , une contraction tensorielle est une opération sur un tenseur qui résulte de l' appariement canonique d'un espace vectoriel et de son dual . En composantes, elle est exprimée comme une somme de produits de composantes scalaires du ou des tenseurs provoquée par l'application de la convention de sommation à une paire d'indices fictifs qui sont liés l'un à l'autre dans une expression. La contraction d'un tenseur mixte unique se produit lorsqu'une paire d'indices littéraux (l'un en indice inférieur, l'autre en indice supérieur) du tenseur sont mis égaux l'un à l'autre et additionnés. Dans la notation d'Einstein, cette sommation est intégrée à la notation. Le résultat est un autre tenseur avec un ordre réduit de 2.

La contraction du tenseur peut être vue comme une généralisation de la trace .

Soit V un espace vectoriel sur un corps k . Le cœur de l'opération de contraction, et le cas le plus simple, est l'appariement canonique de V avec son espace vectoriel dual V ^∗ . L'appariement est l' application linéaire du produit tensoriel de ces deux espaces au corps k :

correspondant à la forme bilinéaire

où f est dans V ^∗ et v est dans V . L'application C définit l'opération de contraction sur un tenseur de type (1, 1) , qui est un élément de . Notons que le résultat est un scalaire (un élément de k ). En dimension finie , en utilisant l' isomorphisme naturel entre et l'espace des applications linéaires de V dans V , on obtient une définition sans base de la trace .

En général, un tenseur de type ( m , n ) (avec m ≥ 1 et n ≥ 1 ) est un élément de l'espace vectoriel

(où il y a m facteurs V et n facteurs V ^∗ ). En appliquant l'appariement canonique au k ième facteur V et au l ième facteur V ^∗ , et en utilisant l'identité sur tous les autres facteurs, on définit l'opération de contraction ( k , l ), ​​qui est une application linéaire qui donne un tenseur de type ( m − 1, n − 1) . Par analogie avec le cas (1, 1) , l'opération de contraction générale est parfois appelée la trace.

Dans la notation d'indice tensoriel , la contraction de base d'un vecteur et d'un vecteur dual est notée par

qui est une abréviation de la sommation explicite des coordonnées

(où v ⁱ sont les composantes de v dans une base particulière et f _i sont les composantes de f dans la base duale correspondante).

Puisqu'un tenseur dyadique mixte général est une combinaison linéaire de tenseurs décomposables de la forme , la formule explicite pour le cas dyadique suit : soit

soit un tenseur dyadique mixte. Sa contraction est alors

Une contraction générale est notée en étiquetant un indice covariant et un indice contravariant avec la même lettre, la sommation sur cet indice étant impliquée par la convention de sommation . Le tenseur contracté résultant hérite des indices restants du tenseur d'origine. Par exemple, la contraction d'un tenseur T de type (2,2) sur les deuxième et troisième indices pour créer un nouveau tenseur U de type (1,1) s'écrit comme

En revanche, laissez

être un tenseur dyadique non mélangé. Ce tenseur ne se contracte pas ; si ses vecteurs de base sont pointillés, tenseur métrique contravariant ,

dont le rang est 2.

Comme dans l'exemple précédent, la contraction sur une paire d'indices qui sont tous deux contravariants ou tous deux covariants n'est pas possible en général. Cependant, en présence d'un produit scalaire (également appelé métrique ) g , de telles contractions sont possibles. On utilise la métrique pour augmenter ou diminuer l'un des indices, selon les besoins, puis on utilise l'opération habituelle de contraction. L'opération combinée est connue sous le nom de contraction métrique .

La contraction est souvent appliquée aux corps tensoriels sur des espaces (par exemple l'espace euclidien , les variétés ou les schémas ). Puisque la contraction est une opération purement algébrique, elle peut être appliquée ponctuellement à un corps tensoriel, par exemple si T est un corps tensoriel (1,1) sur l'espace euclidien, alors dans toutes les coordonnées, sa contraction (un champ scalaire) U en un point x est donnée par

Comme le rôle de x n'est pas compliqué ici, il est souvent supprimé et la notation pour les corps de tenseurs devient identique à celle des tenseurs purement algébriques.

Sur une variété riemannienne , une métrique (corps de produits internes) est disponible, et les contractions métriques et non métriques sont toutes deux cruciales pour la théorie. Par exemple, le tenseur de Ricci est une contraction non métrique du tenseur de courbure de Riemann , et la courbure scalaire est l'unique contraction métrique du tenseur de Ricci.

On peut également considérer la contraction d'un corps tensoriel dans le contexte de modules sur un anneau approprié de fonctions sur la variété ou dans le contexte de faisceaux de modules sur le faisceau de structure ; voir la discussion à la fin de cet article.

Comme application de la contraction d'un corps tensoriel, soit V un champ vectoriel sur une variété riemannienne (par exemple, l'espace euclidien ). Soit la dérivée covariante de V (dans un choix de coordonnées). Dans le cas de coordonnées cartésiennes dans l'espace euclidien, on peut écrire

Ensuite, le changement de l'indice β en α entraîne la liaison de la paire d'indices, de sorte que la dérivée se contracte avec elle-même pour obtenir la somme suivante :

qui est la divergence div V . Alors

est une équation de continuité pour V .

En général, on peut définir diverses opérations de divergence sur des corps tensoriels de rang supérieur , comme suit. Si T est un corps tensoriel avec au moins un indice contravariant, prendre la différentielle covariante et contracter l'indice contravariant choisi avec le nouvel indice covariant correspondant à la différentielle donne un nouveau tenseur de rang inférieur d'un à celui de T .

On peut généraliser l'opération de contraction du noyau (vecteur avec vecteur dual) d'une manière légèrement différente, en considérant une paire de tenseurs T et U . Le produit tensoriel est un nouveau tenseur, qui, s'il possède au moins un indice covariant et un indice contravariant, peut être contracté. Le cas où T est un vecteur et U un vecteur dual est exactement l'opération de base introduite en premier dans cet article.

Dans la notation des indices tensoriels, pour contracter deux tenseurs entre eux, on les place côte à côte (juxtaposés) comme facteurs du même terme. Cela met en œuvre le produit tensoriel, donnant un tenseur composite. La contraction de deux indices dans ce tenseur composite met en œuvre la contraction souhaitée des deux tenseurs.

Par exemple, les matrices peuvent être représentées comme des tenseurs de type (1,1) dont le premier indice est contravariant et le second indice est covariant. Soit les composantes d'une matrice et soit les composantes d'une seconde matrice. Leur multiplication est alors donnée par la contraction suivante, un exemple de contraction d'une paire de tenseurs :

De plus, le produit intérieur d'un vecteur de forme différentielle est un cas particulier de contraction de deux tenseurs entre eux.

Soit R un anneau commutatif et M un module libre fini sur R . Alors la contraction opère sur l'algèbre tensorielle complète (mixte) de M exactement de la même manière que dans le cas des espaces vectoriels sur un corps. (Le fait essentiel est que l'appariement canonique est toujours parfait dans ce cas.)

Plus généralement, soit O _X un faisceau d'anneaux commutatifs sur un espace topologique X , par exemple O _X pourrait être le faisceau de structure d'une variété complexe , d'un espace analytique ou d'un schéma . Soit M un faisceau localement libre de modules sur O _X de rang fini. Alors le dual de M se comporte toujours bien et les opérations de contraction ont un sens dans ce contexte.