Produit tensoriel

En mathématiques , le produit tensoriel de deux espaces vectoriels V et W (sur le même corps ) est un espace vectoriel auquel est associée une application bilinéaire qui associe un couple à un élément de noté ⁠ ⁠ .

Un élément de la forme est appelé produit tensoriel de v et w . Un élément de est un tenseur , et le produit tensoriel de deux vecteurs est parfois appelé tenseur élémentaire ou tenseur décomposable . Les tenseurs élémentaires s'étendent dans le sens où tout élément de est une somme de tenseurs élémentaires. Si des bases sont données pour V et W , une base de est formée par tous les produits tensoriels d'un élément de base de V et d'un élément de base de W .

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels capture les propriétés de toutes les applications bilinéaires dans le sens où une application bilinéaire de dans un autre espace vectoriel Z se factorise de manière unique via une application linéaire (voir Propriété universelle ).

Les produits tensoriels sont utilisés dans de nombreux domaines d'application, notamment en physique et en ingénierie. Par exemple, en relativité générale , le champ gravitationnel est décrit par le tenseur métrique , qui est un champ tensoriel avec un tenseur à chaque point de la variété espace-temps , et chacun appartenant au produit tensoriel de l' espace cotangent au point avec lui-même.

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels est un espace vectoriel défini à un isomorphisme près . Il existe plusieurs manières équivalentes de le définir. La plupart consistent à définir explicitement un espace vectoriel appelé produit tensoriel et, en général, la preuve d'équivalence résulte presque immédiatement des propriétés de base des espaces vectoriels ainsi définis.

Le produit tensoriel peut aussi être défini par une propriété universelle ; voir § Propriété universelle, ci-dessous. Comme pour toute propriété universelle, tous les objets qui satisfont à la propriété sont isomorphes par un isomorphisme unique compatible avec la propriété universelle. Lorsque cette définition est utilisée, les autres définitions peuvent être considérées comme des constructions d'objets satisfaisant à la propriété universelle et comme des preuves qu'il existe des objets satisfaisant à la propriété universelle, c'est-à-dire que des produits tensoriels existent.

Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps F , de bases respectives et ⁠ ⁠ .

Le produit tensoriel de V et W est un espace vectoriel qui a pour base l'ensemble de tous les avec et ⁠ ⁠ . Cette définition peut être formalisée de la manière suivante (cette formalisation est rarement utilisée en pratique, car la définition informelle précédente est généralement suffisante) : est l'ensemble des fonctions du produit cartésien sur F qui ont un nombre fini de valeurs non nulles. Les opérations ponctuelles forment un espace vectoriel. La fonction qui correspond à 1 et les autres éléments de à 0 est notée ⁠ ⁠ .

L'ensemble est alors directement une base de ⁠ ⁠ , qui est appelée le produit tensoriel des bases et ⁠ ⁠ .

Nous pouvons définir de manière équivalente comme l'ensemble des formes bilinéaires sur qui sont non nulles en seulement un nombre fini d'éléments de ⁠ ⁠ . Pour voir cela, étant donné et une forme bilinéaire ⁠ ⁠ , nous pouvons décomposer et dans les bases et comme : où seulement un nombre fini de 's et 's sont non nuls, et trouver par la bilinéarité de cela :

Ainsi, nous voyons que la valeur de pour tout est déterminée de manière unique et totale par les valeurs qu'elle prend sur ⁠ ⁠ . Cela nous permet d'étendre les applications définies sur comme précédemment en applications bilinéaires , en laissant :

Nous pouvons alors exprimer toute forme bilinéaire comme une combinaison linéaire formelle (potentiellement infinie) des applications selon : rendant ces applications semblables à une base de Schauder pour l'espace vectoriel de toutes les formes bilinéaires sur ⁠ ⁠ . Pour qu'il s'agisse plutôt d'une base de Hamel propre , il ne reste plus qu'à ajouter l'exigence selon laquelle elle n'est pas nulle pour un nombre fini d'éléments de ⁠ ⁠ , et à considérer à la place le sous-espace de telles applications.

Dans les deux constructions, le produit tensoriel de deux vecteurs est défini à partir de leur décomposition sur les bases. Plus précisément, en prenant les décompositions de base de et comme précédemment :

Cette définition est assez clairement déduite des coefficients de dans le développement par bilinéarité de utilisant les bases et ⁠ ⁠ , comme fait ci-dessus. Il est alors simple de vérifier qu'avec cette définition, l'application est une application bilinéaire de vers satisfaisant la propriété universelle que toute construction du produit tensoriel satisfait (voir ci-dessous).

Si l'on dispose les éléments sous forme de tableau rectangulaire, le vecteur de coordonnées de est le produit extérieur des vecteurs de coordonnées de et ⁠ ⁠ . Par conséquent, le produit tensoriel est une généralisation du produit extérieur, c'est-à-dire une abstraction de celui-ci au-delà des vecteurs de coordonnées.

Une limitation de cette définition du produit tensoriel est que, si l'on change de base, on définit un produit tensoriel différent. Or, la décomposition sur une base des éléments de l'autre base définit un isomorphisme canonique entre les deux produits tensoriels d'espaces vectoriels, ce qui permet de les identifier. De plus, contrairement aux deux définitions alternatives suivantes, cette définition ne peut pas être étendue en une définition du produit tensoriel de modules sur un anneau .

Une construction du produit tensoriel indépendante de la base peut être obtenue de la manière suivante.

Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps F .

On considère d'abord un espace vectoriel L qui a pour base le produit cartésien . C'est-à-dire que les éléments de base de L sont les couples avec et ⁠ ⁠ . Pour obtenir un tel espace vectoriel, on peut le définir comme l'espace vectoriel des fonctions qui ont un nombre fini de valeurs non nulles et s'identifiant à la fonction qui prend la valeur 1 sur et 0 sinon.

Soit R le sous-espace linéaire de L engendré par les relations que doit satisfaire le produit tensoriel. Plus précisément, R est engendré par les éléments d'une des formes :

où ⁠ ⁠ , et ⁠ ⁠ .

Alors, le produit tensoriel est défini comme l' espace quotient :

et l'image de dans ce quotient est notée ⁠ ⁠ .

Il est facile de prouver que le résultat de cette construction satisfait la propriété universelle considérée ci-dessous. (Une construction très similaire peut être utilisée pour définir le produit tensoriel de modules .)

Dans cette section, la propriété universelle satisfaite par le produit tensoriel est décrite. Comme pour toute propriété universelle, deux objets qui satisfont à la propriété sont liés par un isomorphisme unique . Il s'ensuit qu'il s'agit d'une manière (non constructive) de définir le produit tensoriel de deux espaces vectoriels. Dans ce contexte, les constructions précédentes de produits tensoriels peuvent être considérées comme des preuves de l'existence du produit tensoriel ainsi défini.

Une conséquence de cette approche est que toute propriété du produit tensoriel peut être déduite de la propriété universelle, et que, dans la pratique, on peut oublier la méthode qui a été utilisée pour prouver son existence.

La « définition de propriété universelle » du produit tensoriel de deux espaces vectoriels est la suivante (rappelons qu'une application bilinéaire est une fonction qui est séparément linéaire dans chacun de ses arguments) :

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels V et W est un espace vectoriel noté ⁠ ⁠ , ainsi qu'une application bilinéaire de vers ⁠ ⁠ , tel que, pour chaque application bilinéaire ⁠ ⁠ , il existe une unique application linéaire ⁠ ⁠ , telle que (c'est-à-dire, pour chaque et ⁠ ⁠ ).

Comme la propriété universelle ci-dessus, la caractérisation suivante peut également être utilisée pour déterminer si un espace vectoriel donné et une application bilinéaire donnée forment ou non un produit tensoriel.

Par exemple, il s'ensuit immédiatement que si et sont des entiers positifs alors et l'application bilinéaire définie par l'envoi forment un produit tensoriel de et ⁠ ⁠ . Souvent, cette application sera notée par donc que désigne la valeur de cette application bilinéaire à ⁠ ⁠ .

À titre d'exemple, supposons que soit l'espace vectoriel de toutes les fonctions à valeurs complexes sur un ensemble avec addition et multiplication scalaire définies ponctuellement (ce qui signifie que soit l'application et soit l'application ⁠ ⁠ ). Soit et des ensembles quelconques et pour tout et ⁠ ⁠ , soit la fonction définie par ⁠ ⁠ . Si et sont des sous-espaces vectoriels alors le sous-espace vectoriel de avec l'application bilinéaire : forment un produit tensoriel de et ⁠ ⁠ .

Si V et W sont des espaces vectoriels de dimension finie , alors est de dimension finie et sa dimension est le produit des dimensions de V et W.

Ceci résulte du fait qu'une base de est formée en prenant tous les produits tensoriels d'un élément de base de V et d'un élément de base de W.

Le produit tensoriel est associatif dans le sens où, étant donné trois espaces vectoriels ⁠ ⁠ , il existe un isomorphisme canonique :

qui correspond à ⁠ ⁠ .

Cela permet d'omettre les parenthèses dans le produit tensoriel de plus de deux espaces vectoriels ou vecteurs.

Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels et est commutatif dans le sens où il existe un isomorphisme canonique :

qui correspond à ⁠ ⁠ .

D'autre part, même lorsque ⁠ ⁠ , le produit tensoriel de vecteurs n'est pas commutatif ; c'est-à-dire ⁠ ⁠ , en général.

L'application de vers elle-même induit un automorphisme linéaire appeléapplication de tressage . Plus généralement et comme d'habitude (voiralgèbre tensorielle),soit le produit tensoriel dencopies de l'espace vectorielV. Pour toutepermutationsdesnentiers positifs, l'application :

induit un automorphisme linéaire de ⁠ ⁠ , qui est appelé une application de tressage.

Étant donné une application linéaire ⁠ ⁠ , et un espace vectoriel W , le produit tensoriel :

est l'unique application linéaire telle que :

Le produit tensoriel est défini de la même manière.

Étant donné deux applications linéaires et ⁠ ⁠ , leur produit tensoriel :

est l'unique application linéaire qui satisfait :

On a :

En termes de théorie des catégories , cela signifie que le produit tensoriel est un bifoncteur de la catégorie des espaces vectoriels vers lui-même.

Si f et g sont tous deux injectifs ou surjectifs , alors il en est de même pour toutes les applications linéaires définies ci-dessus. En particulier, le produit tensoriel avec un espace vectoriel est un foncteur exact ; cela signifie que toute suite exacte est associée à une suite exacte ( les produits tensoriels de modules ne transforment pas les injections en injections, mais sont des foncteurs exacts droits ).

En choisissant les bases de tous les espaces vectoriels concernés, les applications linéaires f et g peuvent être représentées par des matrices . Ensuite, selon la manière dont le tenseur est vectorisé, la matrice décrivant le produit tensoriel est le produit de Kronecker des deux matrices. Par exemple, si V , X , W et Y ci-dessus sont tous bidimensionnels et que les bases ont été fixées pour chacun d'eux, et que f et g sont respectivement donnés par les matrices : , alors le produit tensoriel de ces deux matrices est :

Le rang résultant est au plus égal à 4, et donc la dimension résultante est égale à 4. Le rang désigne ici le rang du tenseur, c'est-à-dire le nombre d'indices requis (tandis que le rang de la matrice compte le nombre de degrés de liberté dans le tableau résultant). ⁠ ⁠ .

Un produit dyadique est le cas particulier du produit tensoriel entre deux vecteurs de même dimension.

Pour les entiers non négatifs r et s un tenseur de type sur un espace vectoriel V est un élément de : Voici l' espace vectoriel dual (qui se compose de toutes les applications linéaires f de V vers le corps de base K ).

Il existe une application de produits, appelée produit (tensoriel) de tenseurs :

On le définit en regroupant tous les « facteurs » V apparaissant ensemble : en écrivant pour un élément de V et pour un élément de l'espace dual :

Si V est de dimension finie, alors le choix d'une base de V et de la base duale correspondante de induit naturellement une base de (cette base est décrite dans l' article sur les produits de Kronecker ). En termes de ces bases, les composantes d'un produit (tensoriel) de deux (ou plusieurs) tenseurs peuvent être calculées. Par exemple, si F et G sont deux tenseurs covariants d'ordres m et n respectivement (c'est-à-dire et ⁠ ⁠ ), alors les composantes de leur produit tensoriel sont données par :

Ainsi, les composantes du produit tensoriel de deux tenseurs sont le produit ordinaire des composantes de chaque tenseur. Autre exemple : soit U un tenseur de type (1, 1) de composantes ⁠ ⁠ , et soit V un tenseur de type de composantes ⁠ ⁠ . Alors : et :

Les tenseurs munis de leur opération produit forment une algèbre , appelée algèbre tensorielle .

Pour les tenseurs de type (1, 1) il existe une application d'évaluation canonique : définie par son action sur les tenseurs purs :

Plus généralement, pour les tenseurs de type ⁠ ⁠ , avec r , s > 0 , il existe une application, appelée contraction tensorielle : (Les copies de et sur lesquelles cette application doit être appliquée doivent être précisées.)

D'autre part, si est de dimension finie , il existe une application canonique dans l'autre sens (appelée application de coévaluation ) : où est une base quelconque de ⁠ ⁠ , et est sa base duale . Cette application ne dépend pas du choix de la base.

L’interaction entre l’évaluation et la coévaluation peut être utilisée pour caractériser les espaces vectoriels de dimension finie sans faire référence aux bases.

Le produit tensoriel peut être naturellement considéré comme un module de l' algèbre de Lie au moyen de l'action diagonale : pour simplifier, supposons ⁠ ⁠ , alors, pour chaque ⁠ ⁠ , où est la transposée de u , c'est-à-dire, en termes de l'appariement évident sur ⁠ ⁠ ,

Il existe un isomorphisme canonique donné par :

Sous cet isomorphisme, tout u dans peut d'abord être considéré comme un endomorphisme de puis comme un endomorphisme de ⁠ ⁠ . En fait, il s'agit de la représentation adjointe ad( u ) de ⁠ ⁠ .

Étant donné deux espaces vectoriels de dimension finie U , V sur le même corps K , on note l' espace dual de U par U* , et l' espace vectoriel K de toutes les applications linéaires de U dans V par Hom( U , V ) . Il existe un isomorphisme : défini par une action du tenseur pur sur un élément de ⁠ ⁠ ,

Son « inverse » peut être défini à l'aide d'une base et de sa base duale comme dans la section « Carte d'évaluation et contraction du tenseur » ci-dessus :

Ce résultat implique : ce qui donne automatiquement le fait important que forme une base de où sont les bases de U et V .

De plus, étant donné trois espaces vectoriels U , V , W le produit tensoriel est lié à l'espace vectoriel de toutes les applications linéaires, comme suit : Ceci est un exemple de foncteurs adjoints : le produit tensoriel est « adjoint à gauche » à Hom.

Le produit tensoriel de deux modules A et B sur un anneau commutatif R est défini exactement de la même façon que le produit tensoriel d'espaces vectoriels sur un corps : où maintenant est le R -module libre engendré par le produit cartésien et G est le R -module engendré par ces relations .

Plus généralement, le produit tensoriel peut être défini même si l'anneau est non commutatif . Dans ce cas, A doit être un R -module à droite et B un R -module à gauche, et au lieu des deux dernières relations ci-dessus, la relation : est imposée. Si R est non commutatif, ce n'est plus un R -module, mais juste un groupe abélien .

La propriété universelle s'applique également, légèrement modifiée : la carte définie par est une carte linéaire moyenne (appelée « carte linéaire moyenne canonique » ) ; c'est-à-dire qu'elle satisfait :

Les deux premières propriétés font de φ une application bilinéaire du groupe abélien ⁠ ⁠ . Pour toute application linéaire moyenne de ⁠ ⁠ , un homomorphisme de groupe unique f de satisfait ⁠ ⁠ , et cette propriété détermine l'isomorphisme au sein du groupe. Voir l' article principal pour plus de détails.

Soit A un R -module à droite et B un R -module à gauche. Alors le produit tensoriel de A et B est un groupe abélien défini par : où est un groupe abélien libre sur et G est le sous-groupe de engendré par les relations :

La propriété universelle peut être énoncée comme suit. Soit G un groupe abélien dont l'application est bilinéaire, au sens où :

Il existe alors une carte unique telle que pour tous et ⁠ ⁠ .

De plus, nous pouvons donner une structure de module sous certaines conditions supplémentaires :

1. Si A est un ( S , R )-bimodule, alors est un S -module à gauche, où ⁠ ⁠ .
2. Si B est un ( R , S )-bimodule, alors est un S -module à droite, où ⁠ ⁠ .
3. Si A est un ( S , R )-bimodule et B est un ( R , T )-bimodule, alors est un ( S , T )-bimodule, où les actions gauche et droite sont définies de la même manière que les deux exemples précédents.
4. Si R est un anneau commutatif, alors A et B sont des ( R , R )-bimodules où et ⁠ ⁠ . Par 3), nous pouvons conclure que est un ( R , R )-bimodule.

Pour les espaces vectoriels, le produit tensoriel est rapidement calculé puisque les bases de V de W déterminent immédiatement une base de ⁠ ⁠ , comme cela a été mentionné ci-dessus. Pour les modules sur un anneau général (commutatif), tous les modules ne sont pas libres. Par exemple, Z / n Z n'est pas un groupe abélien libre ( Z -module). Le produit tensoriel avec Z / n Z est donné par :

Plus généralement, étant donné une présentation d'un certain R -module M , c'est-à-dire un certain nombre de générateurs ainsi que des relations : le produit tensoriel peut être calculé comme le noyau suivant :

Ici ⁠ ⁠ , et l'application est déterminée en envoyant une partie dans la j ième copie de à (dans ⁠ ⁠ ). Familièrement, cela peut être reformulé en disant qu'une présentation de M donne lieu à une présentation de ⁠ ⁠ . On y fait référence en disant que le produit tensoriel est un foncteur exact à droite . Il n'est pas en général exact à gauche, c'est-à-dire que, étant donné une application injective de R -modules ⁠ ⁠ , le produit tensoriel : n'est généralement pas injectif. Par exemple, la tensorisation de l'application (injective) donnée par multiplication par n , n : Z → Z avec Z / n Z donne l'application nulle 0 : Z / n Z → Z / n Z , qui n'est pas injective. Les foncteurs Tor supérieurs mesurent le défaut du produit tensoriel n'étant pas exact à gauche. Tous les foncteurs Tor supérieurs sont assemblés dans le produit tensoriel dérivé .

Soit R un anneau commutatif. Le produit tensoriel des R -modules s'applique, en particulier, si A et B sont des R -algèbres . Dans ce cas, le produit tensoriel est lui-même une R -algèbre en posant : Par exemple :

Un exemple particulier est lorsque A et B sont des corps contenant un sous-corps commun R . Le produit tensoriel des corps est étroitement lié à la théorie de Galois : si, par exemple, A = R [ x ] / f ( x ) , où f est un polynôme irréductible à coefficients dans R , le produit tensoriel peut être calculé comme : où maintenant f est interprété comme le même polynôme, mais avec ses coefficients considérés comme des éléments de B . Dans le corps plus grand B , le polynôme peut devenir réductible, ce qui fait intervenir la théorie de Galois. Par exemple, si A = B est une extension galoisienne de R , alors : est isomorphe (en tant qu'A -algèbre) à la ⁠ ⁠ .

Les matrices carrées avec des entrées dans un corps représentent des applications linéaires d' espaces vectoriels , disons ⁠ ⁠ , et donc des applications linéaires d' espaces projectifs sur ⁠ ⁠ . Si est non singulier alors est bien défini partout, et les vecteurs propres de correspondent aux points fixes de ⁠ ⁠ . La configuration propre de est constituée de points dans ⁠ ⁠ , à condition qu'elle soit générique et algébriquement close . Les points fixes des applications non linéaires sont les vecteurs propres des tenseurs. Soit un tenseur de dimension ⁠ de format avec des entrées situées dans un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Un tel tenseur définit des applications polynomiales et de coordonnées :

Ainsi chacune des coordonnées de est un polynôme homogène de degré en ⁠ ⁠ . Les vecteurs propres de sont les solutions de la contrainte : et la configuration propre est donnée par la variété des mineurs de cette matrice.

Les espaces de Hilbert généralisent les espaces vectoriels de dimension finie à des dimensions arbitraires. Il existe une opération analogue , également appelée « produit tensoriel », qui fait des espaces de Hilbert une catégorie monoïdale symétrique . Il est essentiellement construit comme la complétion dans l'espace métrique du produit tensoriel algébrique discuté ci-dessus. Cependant, il ne satisfait pas l'analogue évident de la propriété universelle définissant les produits tensoriels ; les morphismes pour cette propriété doivent être limités aux opérateurs de Hilbert–Schmidt .

Dans les situations où l'imposition d'un produit scalaire est inappropriée, on peut toujours tenter de compléter le produit tensoriel algébrique, sous forme de produit tensoriel topologique . Cependant, une telle construction n'est plus spécifiée de manière unique : dans de nombreux cas, il existe plusieurs topologies naturelles sur le produit tensoriel algébrique.

Certains espaces vectoriels peuvent être décomposés en sommes directes de sous-espaces. Dans ce cas, le produit tensoriel de deux espaces peut être décomposé en sommes de produits des sous-espaces (par analogie avec la façon dont la multiplication se répartit sur l'addition).

Les espaces vectoriels dotés d'une structure multiplicative supplémentaire sont appelés algèbres . Le produit tensoriel de telles algèbres est décrit par la règle de Littlewood–Richardson .

Étant données deux formes multilinéaires et sur un espace vectoriel sur le corps, leur produit tensoriel est la forme multilinéaire :

Il s'agit d'un cas particulier de produit de tenseurs s'ils sont considérés comme des applications multilinéaires (voir aussi tenseurs comme applications multilinéaires ). Ainsi, les composantes du produit tensoriel de formes multilinéaires peuvent être calculées par le produit de Kronecker .

Il convient de mentionner que, bien qu'il soit appelé « produit tensoriel », il ne s'agit pas d'un produit tensoriel de graphes au sens ci-dessus ; il s'agit en fait du produit de la théorie des catégories dans la catégorie des graphes et des homomorphismes de graphes . Cependant, il s'agit en fait du produit tensoriel de Kronecker des matrices d'adjacence des graphes. Comparez également la section Produit tensoriel d'applications linéaires ci-dessus.

Le cadre le plus général pour le produit tensoriel est la catégorie monoïdale . Elle capture l'essence algébrique de la tensorisation, sans faire de référence spécifique à ce qui est tensorisé. Ainsi, tous les produits tensoriels peuvent être exprimés comme une application de la catégorie monoïdale à un cadre particulier, agissant sur certains objets particuliers.

Un certain nombre de sous-espaces importants de l' algèbre tensorielle peuvent être construits sous forme de quotients : il s'agit notamment de l' algèbre extérieure , de l' algèbre symétrique , de l' algèbre de Clifford , de l' algèbre de Weyl et de l' algèbre enveloppante universelle en général.

L'algèbre extérieure est construite à partir du produit extérieur . Étant donné un espace vectoriel V , le produit extérieur est défini comme :

Lorsque le corps sous-jacent de V n'a pas de caractéristique 2, alors cette définition est équivalente à :

L'image de dans le produit extérieur est généralement notée et satisfait, par construction, ⁠ ⁠ . Des constructions similaires sont possibles pour ( n facteurs), donnant naissance à ⁠ ⁠ , la n- ième puissance extérieure de V . Cette dernière notion est à la base des n -formes différentielles .

L'algèbre symétrique est construite de manière similaire, à partir du produit symétrique :

Plus généralement :

Autrement dit, dans l'algèbre symétrique, deux vecteurs adjacents (et donc tous les vecteurs) peuvent être interchangés. Les objets résultants sont appelés tenseurs symétriques .

Les langages de programmation matricielle peuvent avoir ce modèle intégré. Par exemple, dans APL, le produit tensoriel est exprimé comme ○.×(par exemple A ○.× Bou A ○.× B ○.× C). Dans J, le produit tensoriel est la forme dyadique de */(par exemple a */ bou a */ b */ c).

Le traitement de J permet également la représentation de certains corps tensoriels, comme aet bpeuvent être des fonctions au lieu de constantes. Ce produit de deux fonctions est une fonction dérivée, et si aet bsont différentiables , alors a */ best différentiable.

Cependant, ces types de notation ne sont pas universellement présents dans les langages matriciels. D'autres langages matriciels peuvent nécessiter un traitement explicite des indices (par exemple, MATLAB ) et/ou peuvent ne pas prendre en charge les fonctions d'ordre supérieur telles que la dérivée jacobine (par exemple, Fortran /APL).