Point par point

En mathématiques , le qualificatif ponctuel est utilisé pour indiquer qu'une certaine propriété est définie en considérant chaque valeur d'une fonction. Une classe importante de concepts ponctuels sont les opérations ponctuelles , c'est-à-dire les opérations définies sur des fonctions en appliquant les opérations aux valeurs de fonction séparément pour chaque point du domaine de définition. Des relations importantes peuvent également être définies ponctuellement.

Une opération binaire o : Y × Y → Y sur un ensemble Y peut être élevée ponctuellement à une opération O : ( X → Y ) × ( X → Y ) → ( X → Y ) sur l'ensemble X → Y de toutes les fonctions de X à Y comme suit : Étant données deux fonctions f ₁ : X → Y et f ₂ : X → Y , définissons la fonction O ( f ₁ , f ₂ ): X → Y par

Généralement, o et O sont désignés par le même symbole. Une définition similaire est utilisée pour les opérations unaires o et pour les opérations d' arité autre .

L'addition ponctuelle de deux fonctions ayant le même domaine et le même codomaine est définie par :

Le produit ponctuel ou la multiplication ponctuelle est :

Le produit ponctuel avec un scalaire s'écrit généralement avec le terme scalaire en premier. Ainsi, lorsque est un scalaire :

Un exemple d’opération sur des fonctions qui n’est pas ponctuelle est la convolution .

Les opérations ponctuelles héritent de propriétés telles que l'associativité , la commutativité et la distributivité des opérations correspondantes sur le codomaine . Si est une structure algébrique , l'ensemble de toutes les fonctions de l' ensemble des porteuses de peut être transformé en une structure algébrique du même type de manière analogue.

Les opérations par composantes sont généralement définies sur des vecteurs, où les vecteurs sont des éléments de l'ensemble pour un nombre naturel et un corps . Si nous désignons la composante -ième d'un vecteur par , alors l'addition par composantes est .

Des opérations par composants peuvent être définies sur des matrices. L'addition de matrices, où est une opération par composants alors que la multiplication de matrices ne l'est pas.

Un tuple peut être considéré comme une fonction et un vecteur est un tuple. Par conséquent, tout vecteur correspond à la fonction telle que , et toute opération composante par composante sur des vecteurs est l'opération ponctuelle sur des fonctions correspondant à ces vecteurs.

En théorie de l'ordre, il est courant de définir un ordre partiel ponctuel sur les fonctions. Avec des ensembles de fonctions A , B , l'ensemble des fonctions A → B peut être ordonné en définissant f ≤ g si (∀ x ∈ A) f ( x ) ≤ g ( x ) . Les ordres ponctuels héritent également de certaines propriétés des ensembles de fonctions sous-jacents. Par exemple, si A et B sont des treillis continus , alors l'ensemble des fonctions A → B avec un ordre ponctuel l'est aussi . En utilisant l'ordre ponctuel sur les fonctions, on peut définir de manière concise d'autres notions importantes, par exemple :

• Un opérateur de fermeture c sur un poset P est une auto-application monotone et idempotente sur P (c'est-à-dire un opérateur de projection ) avec la propriété supplémentaire que id _A ≤ c , où id est la fonction identité .
• De même, un opérateur de projection k est appelé opérateur de noyau si et seulement si k ≤ id _A .

Un exemple de relation ponctuelle infinie est la convergence ponctuelle de fonctions : une séquence de fonctions converge ponctuellement vers une fonction f si pour chaque x dans X