Notation multi-index

La notation multi-indice est une notation mathématique qui simplifie les formules utilisées dans le calcul multivariable , les équations aux dérivées partielles et la théorie des distributions , en généralisant le concept d' indice entier à un tuple ordonné d'indices.

Définition et propriétés de base

Un multi-index n -dimensionnel est un tuple ${ extstyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

des entiers non négatifs (c'est-à-dire un élément de l' ensemble des nombres naturels de dimension α , noté ). ${ extstyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {N} _{0}^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour les multi-indices et , on définit : ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>∈</mo> <msubsup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Somme et différence par composant: ${\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>±</mo> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>±</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Commande partielle: ${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>≤</mo> <mi>β</mi> <mspace></mspace> <mo>⇔</mo> <mspace></mspace> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>≤</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mspace></mspace> <mi>∀</mi> <mspace></mspace> <mi>i</mi> <mo>∈</mo> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Somme des composants (valeur absolue): ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mo>⋯</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Factorielle: ${\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}! <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>!</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>!</mo> <mo>⋅</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>!</mo> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>!</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Coefficient binomial: ${\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )! <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>β</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>⋯</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>α</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>β</mi> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Coefficient multinomial: ${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha ! <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>α</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>!</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>!</mo> <mo>⋯</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>k</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> <mo>:=</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>∈</mo> <msub> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k:=|\alpha |\in \mathbb {N} _{0}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Pouvoir: ${\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>…</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Dérivée partielle d'ordre supérieur: ${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>∂</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <msubsup> <mi>∂</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>…</mo> <msubsup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}},}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>:=</mo> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>∂</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>D</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle D^{\alpha }=\partial ^{\alpha }}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Quelques applications

La notation multi-indices permet l'extension de nombreuses formules du calcul élémentaire au cas multi-variable correspondant. Voici quelques exemples. Dans tout ce qui suit, (ou ), , et (ou ). ${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>y</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>∈</mo> <msup> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x,y,h\in \mathbb {C} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \alpha , u \in \mathbb {N} _{0}^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>ν</mi> <mo>∈</mo> <msubsup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha , u \in \mathbb {N} _{0}^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n} o \mathbb {C} <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>,</mo> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>:</mo> <msup> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <mrow> <mi>C</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f,g,a_{\alpha }\colon \mathbb {C} ^{n} o \mathbb {C} }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n} o \mathbb {R} <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>→</mo> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \mathbb {R} ^{n} o \mathbb {R} }</annotation> </semantics> </math><img src=$

Théorème multinomial: ${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i} ight)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>k</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>k</mi> <mi>α</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i} ight)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\binom {k}{\alpha }}\,x^{\alpha }}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Théorème multi-binomial: ${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{ u \leq \alpha }{\binom {\alpha }{ u }}\,x^{ u }y^{\alpha - u }. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>y</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>≤</mo> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>ν</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>y</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{ u \leq \alpha }{\binom {\alpha }{ u }}\,x^{ u }y^{\alpha - u }.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ x + y est un vecteur et α est un multi-index, l'expression de gauche est l'abréviation de ( x ₁ + y ₁ ) ^{α ₁} ⋯( x _n + y _n ) ^{α _n} .
Formule de Leibniz: Pour des fonctions fluides et , ${ extstyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{ u \leq \alpha }{\binom {\alpha }{ u }}\,\partial ^{ u }f\,\partial ^{\alpha - u }g. <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mi>f</mi> <mi>g</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>ν</mi> <mo>≤</mo> <mi>α</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>α</mi> <mi>ν</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mspace></mspace> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mspace></mspace> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mi>ν</mi> </mrow> </msup> <mi>g</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{ u \leq \alpha }{\binom {\alpha }{ u }}\,\partial ^{ u }f\,\partial ^{\alpha - u }g.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Série Taylor: Pour une fonction analytique en variables on a En fait, pour une fonction suffisamment lisse, on a le développement de Taylor similaire où le dernier terme (le reste) dépend de la version exacte de la formule de Taylor. Par exemple, pour la formule de Cauchy (avec reste intégral), on obtient ${ extstyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo>∈</mo> <msubsup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mrow> </munder> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h), <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>n</mi> </mrow> </munder> <mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>α</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>R</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munder> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>h</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>α</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mo>∫</mo> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mi>h</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Opérateur aux dérivées partielles linéaire général: Un opérateur différentiel partiel formel d'ordre linéaire ième dans les variables s'écrit comme ${ extstyle N <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>N</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle N}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}. <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>∂</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munder> <mo>∑</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>≤</mo> <mi>N</mi> </mrow> </munder> <mrow> <msub> <mi>a</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$
Intégration par parties: Pour les fonctions lisses à support compact dans un domaine borné on a Cette formule est utilisée pour la définition des distributions et des dérivées faibles . ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Ω</mi> <mo>⊂</mo> <msup> <mrow> <mi>R</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </msub> <mi>u</mi> <mo>(</mo> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>α</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msub> <mo>∫</mo> <mrow> <mi>Ω</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mi>u</mi> <mo>)</mo> <mi>v</mi> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \int _{\Omega }u(\partial ^{\alpha }v)\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Un exemple de théorème

Si sont multi-indices et , alors ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>∈</mo> <msubsup> <mrow> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{ ext{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{ ext{otherwise.}}\end{cases <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>β</mi> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>if</mtext> </mrow> <mtext> </mtext> <mi>α</mi> <mo>≤</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mtext>otherwise.</mtext> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{ ext{if}}~\alpha \leq \beta ,\\0&{ ext{otherwise.}}\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Preuve

La preuve découle de la règle de puissance pour la dérivée ordinaire ; si α et β sont dans , alors ${ extstyle \{0,1,2,\ldots \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle \{0,1,2,\ldots \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Supposons que , , et . Alors nous avons que ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n}) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mo>|</mo> <mi>α</mi> <mo>|</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mi>∂</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <mi>∂</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mrow> <mi>∂</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>⋯</mo> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mrow> <mi>∂</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Pour chaque dans , la fonction ne dépend que de . Dans ce qui précède, chaque différentiation partielle se réduit donc à la différentiation ordinaire correspondante . Par conséquent, de l'équation ( 1 ), il résulte que s'annule si pour au moins un dans . Si ce n'est pas le cas, c'est-à-dire si comme multi-indices, alors pour chaque et le théorème s'ensuit. CQFD ${ extstyle i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle i}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle \{1,\ldots ,n\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle \{1,\ldots ,n\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{i}^{\beta _{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle x_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \partial /\partial x_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>∂</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>∂</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \partial /\partial x_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle d/dx_{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>d</mi> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mi>d</mi> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d/dx_{i}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <msup> <mi>∂</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $\beta _{i α_{i} > β_{i}$ \beta _{i}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3eb86272b58b5bb91e49ed413de791d789db353"> ${ extstyle i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle i}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle \{1,\ldots ,n\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>,</mo> <mi>n</mi> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle \{1,\ldots ,n\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle \alpha \leq \beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>≤</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle \alpha \leq \beta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>x</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>β</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>−</mo> <msub> <mi>α</mi> <mrow> <mi>i</mi> </mrow> </msub> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle i <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>i</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle i}</annotation> </semantics> </math><img src=$