Théorème multinomial

En mathématiques , le théorème du multinomial décrit comment développer une puissance d'une somme en fonction des puissances des termes de cette somme. Il s'agit de la généralisation du théorème du binomial des binômes aux multinomiaux .

Pour tout entier positif m et tout entier non négatif n , le théorème multinomial décrit comment une somme à m termes se développe lorsqu'elle est élevée à la puissance n : où est un coefficient multinomial . La somme est prise sur toutes les combinaisons d' indices entiers non négatifs k ₁ à k _m telles que la somme de tous les k _i soit n . C'est-à-dire que pour chaque terme du développement, les exposants des x _i doivent totaliser n .

Dans le cas m = 2 , cet énoncé se réduit à celui du théorème du binome .

La troisième puissance du trinôme a + b + c est donnée par Ceci peut être calculé à la main en utilisant la propriété distributive de la multiplication sur l'addition et en combinant les termes semblables, mais cela peut aussi être fait (peut-être plus facilement) avec le théorème du multinomial. Il est possible de « lire » les coefficients multinomiaux à partir des termes en utilisant la formule du coefficient multinomial. Par exemple, le terme a le coefficient , le terme a le coefficient , et ainsi de suite.

L'énoncé du théorème peut être écrit de manière concise en utilisant des multiindices :

où

et

Cette preuve du théorème multinomial utilise le théorème du binome et l'induction sur m .

Premièrement, pour m = 1 , les deux côtés sont égaux à x ₁ ⁿ puisqu'il n'y a qu'un seul terme k ₁ = n dans la somme. Pour l'étape d'induction, supposons que le théorème multinomial soit valable pour m . Ensuite

par l'hypothèse d'induction. En appliquant le théorème binomial au dernier facteur,

qui complète l'induction. La dernière étape suit car

comme on peut facilement le voir en écrivant les trois coefficients en utilisant des factorielles comme suit :

Les chiffres

Dans le théorème, on retrouve les coefficients multinomiaux . Ils peuvent être exprimés de nombreuses manières, notamment comme un produit de coefficients binomiaux ou de factoriels :

La substitution de x _i = 1 pour tout i dans le théorème multinomial

donne immédiatement que

Le nombre de termes dans une somme multinomiale, # _{n , m} , est égal au nombre de monômes de degré n sur les variables x ₁ , …, x _m :

Le comptage peut être effectué facilement en utilisant la méthode des étoiles et des barres .

La plus grande puissance d'un nombre premier p qui divise un coefficient multinomial peut être calculée en utilisant une généralisation du théorème de Kummer .

Par l' approximation de Stirling , ou de manière équivalente par le développement asymptotique de la fonction log-gamma , par exemple,

Les coefficients multinomiaux ont une interprétation combinatoire directe, comme le nombre de façons de déposer n objets distincts dans m bacs distincts, avec k ₁ objets dans le premier bac, k ₂ objets dans le deuxième bac, et ainsi de suite.

En mécanique statistique et en combinatoire , si l'on a une distribution numérique d'étiquettes, alors les coefficients multinomiaux proviennent naturellement des coefficients binomiaux. Étant donnée une distribution numérique { n _i } sur un ensemble de N éléments au total, n _i représente le nombre d'éléments auxquels doit être attribué l'étiquette i . (En mécanique statistique, i est l'étiquette de l'état énergétique.)

Le nombre d'arrangements est trouvé par

• Choisir n ₁ du total N à étiqueter 1. Ceci peut être fait de plusieurs manières.
• Parmi les N − n ₁ éléments restants, choisissez n ₂ pour l'étiqueter 2. Cela peut être fait de plusieurs manières.
• Parmi les éléments N − n ₁ − n _{2 restants, choisissez} n ₃ pour l'étiqueter 3. Encore une fois, cela peut être fait de différentes manières.

En multipliant le nombre de choix à chaque étape, on obtient :

L'annulation donne lieu à la formule indiquée ci-dessus.

Le coefficient multinomial

est également le nombre de façons distinctes de permuter un multi-ensemble de n éléments, où k _i est la multiplicité de chacun des i éléments. Par exemple, le nombre de permutations distinctes des lettres du mot MISSISSIPPI, qui a 1 M, 4 I, 4 S et 2 P, est

Le théorème multinomial permet de généraliser le triangle de Pascal ou la pyramide de Pascal au simplexe de Pascal . Il s'agit d'un moyen rapide de générer une table de recherche pour les coefficients multinomiaux.