Calcul multivariable

calcul à une variable aux fonctions de plusieurs variables : la différentiation et l'intégration de fonctions impliquant plusieurs variables ( multivariées ), plutôt qu'une seule.

Multivariable calculus may be thought of as an elementary part of calculus on Euclidean space. The special case of calculus in three dimensional space is often called vector calculus.

domain is therefore multi-dimensional. Care is therefore required in these generalizations, because of two key differences between 1D and higher dimensional spaces:

There are infinite ways to approach a single point in higher dimensions, as opposed to two (from the positive and negative direction) in 1D;
There are multiple extended objects associated with the dimension; for example, a 1D function is represented as a curve on the 2D Cartesian plane, but a scalar-valued function of two variables is a surface in 3D, while curves can also live in 3D space.

The consequence of the first difference is the difference in the definition of the limits and continuity. Directional limits and derivatives define the limit and differential along a 1D parametrized curve, reducing the problem to the 1D case. Further higher-dimensional objects can be constructed from these operators.

The consequence of the second difference is the existence of multiple types of integration, including line integrals, surface integrals and volume integrals. Due to the non-uniqueness of these integrals, an antiderivative or indefinite integral cannot be properly defined.

Limits

A study of limits and continuity in multivariable calculus yields many counterintuitive results not demonstrated by single-variable functions.

A limit along a path may be defined by considering a parametrised path $in n-dimensional Euclidean space. Any function can then be projected on the path as a 1D function . The limit of to the point along the path can hence be defined as$

Note that the value of this limit can be dependent on the form of $, i.e. the path chosen, not just the point which the limit approaches. For example, consider the function$

If the point $is approached through the line, or in parametric form:$

Différenciation

En utilisant l'extension des limites évoquée ci-dessus, on peut alors étendre la définition de la dérivée à une fonction à valeurs scalaires le long d'un certain chemin :

Contrairement aux limites, dont la valeur dépend de la forme exacte du chemin , on peut montrer que la dérivée le long du chemin ne dépend que du vecteur tangent du chemin en , c'est-à-dire , à condition que soit lipschitzienne en , et que la limite existe pour au moins un tel chemin.

développement de Taylor de autour de en utilisant le théorème de Taylor pour construire le reste :

où . En substituant ceci dans 10, où . La continuité lipschitzienne nous donne , pour un certain fini , . Il s'ensuit que . Notez également que étant donné la continuité de , comme . En substituant ces deux conditions dans 12, dont la limite ne dépend que de comme terme dominant.

Il est donc possible de généraliser la définition de la dérivée directionnelle comme suit : la dérivée directionnelle d'une fonction scalaire le long du vecteur unitaire en un point donné est

ou, exprimé en termes de différentiation ordinaire,

qui est une expression bien définie car est une fonction scalaire avec une variable dans .

Il est impossible de définir une dérivée scalaire unique sans lui préciser de direction ; il est clair, par exemple, que … Il est également possible que des dérivées directionnelles existent pour certaines directions, mais pas pour d’autres.

Dérivée partielle

dérivée par rapport à une variable, toutes les autres variables étant maintenues constantes.

On peut considérer une dérivée partielle comme la dérivée directionnelle de la fonction le long d'un axe de coordonnées.

Les dérivées partielles peuvent être combinées de manière intéressante pour créer des expressions plus complexes de la dérivée. En calcul vectoriel , l' opérateur del (→ ) est utilisé pour définir les concepts de gradient , de divergence et de rotationnel à l'aide des dérivées partielles. Une matrice de dérivées partielles, la matrice jacobienne , permet de représenter la dérivée d'une fonction entre deux espaces de dimension quelconque. La dérivée peut ainsi être vue comme une transformation linéaire qui varie directement d'un point à l'autre du domaine de la fonction.

Les équations différentielles contenant des dérivées partielles sont appelées équations aux dérivées partielles ou EDP. Ces équations sont généralement plus difficiles à résoudre que les équations différentielles ordinaires , qui ne contiennent de dérivées que par rapport à une seule variable.

Intégration multiple

intégrale aux fonctions d'un nombre quelconque de variables. Les intégrales doubles et triples permettent de calculer les aires et les volumes de régions du plan et de l'espace. Le théorème de Fubini garantit qu'une intégrale multiple peut être évaluée comme une intégrale répétée ou itérée, pourvu que l'intégrande soit continue sur tout le domaine d'intégration.

L' intégrale de surface et l' intégrale de ligne sont utilisées pour intégrer sur des variétés courbes telles que les surfaces et les courbes .

Théorème fondamental du calcul en dimensions multiples

En calcul différentiel à une variable, le théorème fondamental établit un lien entre la dérivée et l'intégrale. Ce lien, en calcul différentiel à plusieurs variables, est concrétisé par les théorèmes intégraux du calcul vectoriel :

Dans une étude plus avancée du calcul multivariable, on constate que ces quatre théorèmes sont des incarnations spécifiques d'un théorème plus général, le théorème de Stokes généralisé , qui s'applique à l'intégration des formes différentielles sur les variétés .

Applications et utilisations

Les techniques du calcul multivariable sont utilisées pour étudier de nombreux objets d'intérêt dans le monde matériel. En particulier,

	Type de fonctions	Techniques applicables
Courbes	$1 n > 1$	Longueurs des courbes, intégrales de ligne et courbure .
Surfaces	$2 n > 2$	Aires des surfaces, intégrales de surface , flux à travers les surfaces et courbure.
Champs scalaires		Maximums et minimums, multiplicateurs de Lagrange , dérivées directionnelles , ensembles de niveau .
champs vectoriels		Toute opération du calcul vectoriel, y compris le gradient , la divergence et le rotationnel .

Le calcul multivariable permet d'analyser les systèmes déterministes à plusieurs degrés de liberté . On utilise souvent des fonctions dont les variables indépendantes correspondent à chaque degré de liberté pour modéliser ces systèmes, et le calcul multivariable fournit des outils pour caractériser leur dynamique .

Le calcul multivarié est utilisé dans la commande optimale des systèmes dynamiques à temps continu . Il est utilisé en analyse de régression pour établir des formules permettant d'estimer les relations entre différents ensembles de données empiriques .

Le calcul multivarié est utilisé dans de nombreux domaines des sciences naturelles et sociales ainsi que de l'ingénierie pour modéliser et étudier des systèmes de grande dimension présentant un comportement déterministe. En économie , par exemple, les choix des consommateurs concernant divers biens et les choix des producteurs concernant les différents intrants à utiliser et les extrants à produire sont modélisés à l'aide du calcul multivarié.

Les systèmes non déterministes, ou stochastiques, peuvent être étudiés à l'aide d'un autre type de mathématiques, comme le calcul stochastique .