Intégral

L'intégrale définie d'une fonction peut être représentée par l' aire signée de la région délimitée par sa courbe et l'axe horizontal ; dans le graphique ci-dessus, à titre d'exemple, l'intégrale de f entre f et f est égale à l'aire jaune (−) soustraite de l'aire bleue (+)

mathématiques , une intégrale est l'équivalent continu d'une somme et sert à calculer des aires , des volumes et leurs généralisations. Le calcul d'une intégrale, appelé intégration , est l'une des deux opérations fondamentales du calcul différentiel et intégral , avec la dérivation . L'intégration a d'abord été utilisée pour résoudre des problèmes de mathématiques et de physique , comme le calcul de l' aire sous une courbe ou la détermination du déplacement à partir de la vitesse . Son utilisation s'est ensuite étendue à de nombreux domaines scientifiques.

Une intégrale définie calcule l' aire signée de la région du plan délimitée par la courbe représentative d'une fonction donnée entre deux points de la droite réelle . Par convention, les aires situées au-dessus de l' axe horizontal du plan sont positives, et celles situées en dessous sont négatives. Le terme « intégrale » désigne également la notion de primitive , c'est-à-dire une fonction dont la dérivée est la fonction donnée ; on parle alors d'intégrales indéfinies . Le théorème fondamental du calcul intégral relie l'intégration définie à la dérivation et fournit une méthode pour calculer l'intégrale définie d'une fonction lorsque sa primitive est connue ; la dérivation et l'intégration sont des opérations inverses .

Bien que les méthodes de calcul des aires et des volumes remontent aux mathématiques de la Grèce antique , les principes de l'intégration furent formulés indépendamment par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz à la fin du XVIIe siècle. Ces derniers concevaient l'aire sous une courbe comme une somme infinie de rectangles d' épaisseur infinitésimale . Bernhard Riemann donna par la suite une définition rigoureuse des intégrales, fondée sur une méthode de passage à la limite qui approxime l'aire d'une région curviligne en la décomposant en tranches verticales d'épaisseur infinitésimale. Au début du XXe siècle, Henri Lebesgue généralisa la formulation de Riemann en introduisant ce que l'on appelle aujourd'hui l' intégrale de Lebesgue ; celle-ci est plus générale que celle de Riemann, car une classe plus large de fonctions est intégrable au sens de Lebesgue.

Les intégrales peuvent être généralisées en fonction du type de fonction et du domaine d'intégration. Par exemple, une intégrale curviligne est définie pour les fonctions de deux variables ou plus, et l' intervalle d'intégration est remplacé par une courbe reliant deux points de l'espace. Dans une intégrale de surface , la courbe est remplacée par un segment de surface dans l'espace tridimensionnel .

méthode d'exhaustion de l' astronome et philosophe grec Eudoxe et Démocrite ( vers 370 av. J.-C.), qui visait à calculer les aires et les volumes en les décomposant en une infinité de sous-ensembles dont l'aire ou le volume était connu. Cette méthode fut ensuite développée et employée par Archimède au IIIe siècle av. J.-C., qui l'utilisa pour calculer l' aire d'un cercle , l' aire et le volume d'une sphère , l'aire d'une ellipse , l'aire sous une parabole , le volume d'un segment de paraboloïde de révolution, le volume d'un segment d' hyperboloïde de révolution et l'aire d'une spirale .

Une méthode similaire a été développée indépendamment en Chine vers le IIIe siècle après J.-C. par Liu Hui , qui l'a utilisée pour calculer l'aire du cercle. Cette méthode a ensuite été utilisée au Ve siècle par les mathématiciens chinois Zu Chongzhi et Zu Geng , père et fils, pour calculer le volume d'une sphère.

Au Moyen-Orient, Hasan Ibn al-Haytham, latinisé en Alhazen ( puissances quatrièmes . Alhazen a déterminé les équations permettant de calculer l'aire délimitée par la courbe représentée par (ce qui correspond à l'intégrale dans la notation contemporaine), pour toute valeur entière non négative donnée de . Il a utilisé ces résultats pour effectuer ce que l'on appellerait aujourd'hui une intégration de cette fonction, les formules des sommes de carrés entiers et de puissances quatrièmes lui permettant de calculer le volume d'un paraboloïde .

Les progrès significatifs suivants en calcul intégral n'apparurent qu'au XVIIe siècle. À cette époque, les travaux de Cavalieri , avec sa méthode des indivisibles , et ceux de Fermat , commencèrent à jeter les bases du calcul moderne Cavalieri calcula les intégrales de $sa formule de quadrature . Le cas n = -1 nécessita l'invention d'une fonction, le logarithme hyperbolique, obtenu par quadrature de l' hyperbole en 1647.$

Au début du XVIIe siècle, Barrow et Torricelli ont franchi des étapes importantes en suggérant un lien entre intégration et différentiation . Barrow a fourni la première démonstration du théorème fondamental du calcul infinitésimal . Wallis a généralisé la méthode de Cavalieri, calculant des intégrales de $théorème fondamental du calcul par Leibniz et Newton . Ce théorème établit un lien entre intégration et dérivation. Ce lien, combiné à la relative simplicité de la dérivation, permet de calculer des intégrales. En particulier, le théorème fondamental du calcul permet de résoudre une classe de problèmes beaucoup plus vaste. Tout aussi important est le cadre mathématique complet développé par Leibniz et Newton. Appelé calcul infinitésimal, il a permis une analyse précise des fonctions à domaine continu. Ce cadre est devenu par la suite le calcul moderne , dont la notation des intégrales est directement issue des travaux de Leibniz.$

Formalisation

Bien que Newton et Leibniz aient proposé une approche systématique de l'intégration, leurs travaux manquaient de rigueur . L'évêque Berkeley s'en prit notamment aux accroissements nuls utilisés par Newton, les qualifiant de « fantômes de quantités disparues » . Le calcul infinitésimal acquit une assise plus solide avec le développement des limites . L'intégration fut formalisée rigoureusement pour la première fois, à l'aide des limites, par Riemann . Bien que toutes les fonctions continues par morceaux bornées soient Riemann-intégrables sur un intervalle borné, des fonctions plus générales furent par la suite considérées – en particulier dans le contexte de l'analyse de Fourier – auxquelles la définition de Riemann ne s'applique pas, et Lebesgue formula une définition différente de l'intégrale , fondée sur la théorie de la mesure (un sous-domaine de l'analyse réelle ). D'autres définitions de l'intégrale, étendant les approches de Riemann et de Lebesgue, furent proposées. Ces approches basées sur le système des nombres réels sont les plus courantes aujourd'hui, mais il existe des approches alternatives, comme par exemple une définition de l'intégrale comme la partie standard d'une somme de Riemann infinie, basée sur le système des nombres hyperréels .

notation historique

La notation de l'intégrale indéfinie a été introduite par Gottfried Wilhelm Leibniz en 1675. Il a adapté le symbole intégral , ∫ , à partir de la lettre ſ ( s long ), signifiant « somme » (écrit ſsumma ; du latin « somme » ou « total »). La notation moderne de l'intégrale définie, avec des bornes au-dessus et en dessous du signe intégral, a été utilisée pour la première fois par Joseph Fourier dans les Mémoires de l'Académie française vers 1819-1820, puis reprise dans son ouvrage de 1822.

Isaac Newton utilisait une petite barre verticale au-dessus d'une variable pour indiquer l'intégration, ou plaçait la variable dans un carré. Cette barre verticale était facilement confondue avec $Jacob Bernoulli en 1690 : « Ergo et horum Integralia aequantur ».$

Terminologie et notation

En général, l'intégrale d'une fonction à valeurs réelles

Le symbole intégral $différentielle de la variable intégrale de Lebesgue existe et est finie, etc.) Si des limites sont spécifiées, l'intégrale est dite définie.$

Lorsque les limites sont omises, comme dans

L'intégrale ainsi obtenue est dite indéfinie ; elle représente une classe de fonctions (les primitives ) dont la dérivée est l'intégrande. Le théorème fondamental du calcul intégral relie l'évaluation des intégrales définies à celle des intégrales indéfinies. Il existe plusieurs extensions de la notation des intégrales permettant d'inclure l'intégration sur des domaines non bornés et/ou en plusieurs dimensions (voir les sections suivantes de cet article).

Dans les cas plus avancés, il n'est pas rare d'omettre $intégrale de Riemann simple , ou lorsque le type exact d'intégrale est sans importance. Par exemple, on peut écrire pour exprimer la linéarité de l'intégrale, une propriété commune à l'intégrale de Riemann et à toutes ses généralisations.$

Interprétations

Définitions formelles

Sommes de Riemann convergent

Il existe de nombreuses façons de définir formellement une intégrale, et elles ne sont pas toutes équivalentes. Ces différences visent principalement à traiter des cas particuliers qui ne seraient pas intégrables selon d'autres définitions, mais elles peuvent aussi avoir des implications pédagogiques. Les définitions les plus couramment utilisées sont les intégrales de Riemann et les intégrales de Lebesgue.

Intégrale de Riemann

sommes de Riemann de fonctions par rapport à des partitions étiquetées d'un intervalle. Une partition étiquetée d'un intervalle fermé

Intégrale de Lebesgue

intégration de Lebesgue

Il est souvent intéressant, tant en théorie qu'en pratique, de pouvoir passer à la limite sous l'intégrale. Par exemple, on peut fréquemment construire une suite de fonctions qui approchent, au sens approprié, la solution d'un problème. L'intégrale de la fonction solution devrait alors être la limite des intégrales des approximations. Cependant, de nombreuses fonctions pouvant être obtenues comme limites ne sont pas intégrables au sens de Riemann, et de tels théorèmes de limite ne sont donc pas valables avec l'intégrale de Riemann. Par conséquent, il est primordial de disposer d'une définition de l'intégrale permettant d'intégrer une classe de fonctions plus large.

Une telle intégrale est l'intégrale de Lebesgue, qui exploite le fait suivant pour élargir la classe des fonctions intégrables : si les valeurs d'une fonction sont réarrangées sur son domaine, l'intégrale de cette fonction reste la même. C'est ainsi qu'Henri Lebesgue a introduit l'intégrale qui porte son nom, l'expliquant ainsi dans une lettre à Paul Montel :

Je dois payer une certaine somme, que j'ai rassemblée dans ma poche. Je sors les billets et les pièces de ma poche et les donne au créancier dans l'ordre où je les trouve, jusqu'à atteindre la somme totale. C'est l'intégrale de Riemann. Mais je peux procéder autrement. Après avoir sorti tout l'argent de ma poche, je trie les billets et les pièces par valeur identique, puis je paie les différentes piles l'une après l'autre au créancier. C'est mon intégrale.

Comme l'explique Folland, « pour calculer l'intégrale de Riemann de $mesure , μ. Dans le cas le plus simple, la mesure de Lebesgue$

où l'intégrale de droite est une intégrale de Riemann impropre ordinaire ( $fonctions mesurables ), cela définit l'intégrale de Lebesgue.$

Une fonction mesurable générale

Dans ce cas, l'intégrale est, comme dans le cas riemannien, la différence entre l'aire au-dessus de l' axe

où

0, \\\\ 0, & \ ext{otherwise,} \\end{cases}\\\\ & f^-(x) &&{}={} \\max \\{-f(x),0\\} &&{}={} \\begin{cases} -f(x), & \ ext{if } f(x) < 0, \\\\ 0, & \ ext{otherwise.} \\end{cases} \\end{alignat}"

0,\\0,&{ ext{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{ ext{if }}f(x)<0,\\0,&{ ext{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat \begin{matrix} f^{+} (x) & = max {f (x), 0} & = {\begin{matrix} f (x), & if f (x) > 0, \\ 0, & otherwise, \end{matrix} \\ f^{-} (x) & = max {- f (x), 0} & = {\begin{matrix} - f (x), & if f (x) < 0, \\ 0, & otherwise. \end{matrix} \end{matrix}

0,\\0,&{ ext{sinon,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{ ext{si }}f(x)<0,\\0,&{ ext{sinon.}}\end{cases}}\end{alignedat

Autres intégrales

Bien que les intégrales de Riemann et de Lebesgue soient les définitions de l'intégrale les plus couramment utilisées, il en existe un certain nombre d'autres, notamment :

L' intégrale de Darboux , définie par les sommes de Darboux (sommes de Riemann restreintes), est équivalente à l' intégrale de Riemann . Une fonction est Darboux-intégrable si et seulement si elle est Riemann-intégrable. Les intégrales de Darboux ont l'avantage d'être plus faciles à définir que les intégrales de Riemann.
L' intégrale de Riemann-Stieltjes est une extension de l'intégrale de Riemann qui intègre par rapport à une fonction plutôt qu'à une variable.
L' intégrale de Lebesgue-Stieltjes , développée plus en détail par Johann Radon , généralise à la fois les intégrales de Riemann-Stieltjes et de Lebesgue.
L' intégrale de Daniell , qui englobe l'intégrale de Lebesgue et l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes sans dépendre des mesures .
L' intégrale de Haar , utilisée pour l'intégration sur les groupes topologiques localement compacts, a été introduite par Alfréd Haar en 1933.
L' intégrale de Henstock-Kurzweil , définie diversement par Arnaud Denjoy , Oskar Perron et (plus élégamment, comme l'intégrale de jauge) Jaroslav Kurzweil , et développée par Ralph Henstock .
L' intégrale de Khinchin , du nom d' Alexandre Khinchin .
L' intégrale d'Itô et l'intégrale de Stratonovich , qui définissent l'intégration par rapport aux semi-martingales telles que le mouvement brownien .
L' intégrale de Young , qui est une sorte d'intégrale de Riemann-Stieltjes par rapport à certaines fonctions à variation non bornée .
L' intégrale de chemin rugueux , qui est définie pour les fonctions dotées d'une structure de « chemin rugueux » supplémentaire et généralise l'intégration stochastique à la fois aux semi-martingales et aux processus tels que le mouvement brownien fractionnaire .
L' intégrale de Choquet , une intégrale sous-additive ou sur-additive créée par Gustave Choquet en 1953.
L' intégrale de Bochner , une généralisation de l'intégrale de Lebesgue aux fonctions qui prennent des valeurs dans un espace de Banach .

Propriétés

Linéarité

L'ensemble des fonctions intégrables au sens de Riemann sur un intervalle fermé $espace vectoriel muni des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire, ainsi que de l'intégration.$

est une forme linéaire sur cet espace vectoriel. Ainsi, l'ensemble des fonctions intégrables est fermé par combinaison linéaire , et l'intégrale d'une combinaison linéaire est la combinaison linéaire des intégrales :

De même, l'ensemble des fonctions à valeurs réelles Lebesgue-intégrables sur un espace mesuré

est une fonctionnelle linéaire sur cet espace vectoriel, de sorte que :

Plus généralement, considérons l'espace vectoriel de toutes les fonctions mesurables sur un espace mesuré $espace vectoriel topologique complet localement compact corps topologique localement compact$

qui est compatible avec les combinaisons linéaires. Dans ce cas, la linéarité est vérifiée pour le sous-espace des fonctions dont l'intégrale est un élément de $nombres p-adiques , et espace de Hilbert complexe .$

La linéarité, combinée à certaines propriétés naturelles de continuité et à la normalisation pour une certaine classe de fonctions « simples », permet de définir autrement l'intégrale. C'est l'approche de Daniell pour les fonctions à valeurs réelles sur un ensemble $Nicolas Bourbaki aux fonctions à valeurs dans un espace vectoriel topologique localement compact. Voir les fonctions Riemann-intégrables définies sur un intervalle fermé et borné bornée sur cet intervalle. Il existe donc des nombres réels$

Inégalités entre fonctions. Si

Sous-intervalles. Si

Produits et valeurs absolues de fonctions. Si

produits et puissances point par point, ainsi que leurs valeurs absolues : si inégalité de Cauchy-Schwarz , joue un rôle prépondérant dans la théorie des espaces de Hilbert, où le membre de gauche est interprété comme le produit scalaire de deux fonctions de carré intégrable sont également intégrables et l'inégalité de Höldersuivanteest vérifiée :pour sont également Riemann-intégrables et l'inégalité de Minkowski suivante est vérifiée : Un analogue de cette inégalité pour l'intégrale de Lebesgue est utilisé dans la construction des espaces L p .

Conventions

Dans cette section, $fonction à valeurs réelles intégrable au sens de Riemann . L'intégrale$

$intervalle , sont appelées les bornes d'intégration$

Avec

La première convention est nécessaire pour considérer les intégrales calculées sur des sous-intervalles de $point , doit être nulle . L'une des raisons de la première convention est que l'intégrabilité de élément quelconque de$

Avec la première convention, la relation résultante

est alors bien définie pour toute permutation cyclique de $la différentiation et l'intégration sont des opérations inverses : si l'on intègre puis différencie une fonction continue , on retrouve la fonction originale. Une conséquence importante, parfois appelée le second théorème fondamental du calcul intégral, permet de calculer des intégrales à l'aide d'une primitive de la fonction à intégrer.$

Premier théorème

Soit $intervalle fermé$

Alors,

pour tout $intervalle fermé [primitive$

Extensions

Intégrales impropres

L' intégrale impropre a des intervalles non bornés pour son domaine et son image.

Une intégrale de Riemann « propre » suppose que l'intégrande est définie et finie sur un intervalle fermé et borné, délimité par les bornes d'intégration. Une intégrale est dite impropre lorsqu'une ou plusieurs de ces conditions ne sont pas satisfaites. Dans certains cas, de telles intégrales peuvent être définies en considérant la limite d'une suite d' intégrales de Riemann propres sur des intervalles de plus en plus grands.

Si l'intervalle n'est pas borné, par exemple à son extrémité supérieure, alors l'intégrale impropre est la limite lorsque cette extrémité tend vers l'infini :

Si l'intégrande n'est définie ou finie que sur un intervalle semi-ouvert, par exemple

Autrement dit, l'intégrale impropre est la limite des intégrales propres lorsque l'une des extrémités de l'intervalle d'intégration tend vers un nombre réel spécifié , ou

L'intégrale double calcule le volume sous une surface

De même que l'intégrale définie d'une fonction positive d'une variable représente l' aire de la région comprise entre la courbe représentative de la fonction et l' axe des abscisses , l' intégrale double d'une fonction positive de deux variables représente le volume de la région comprise entre la surface définie par la fonction et le plan contenant son domaine. Par exemple, une fonction à deux dimensions dépend de deux variables réelles, x et y , et l'intégrale d'une fonction f sur le rectangle R défini comme le produit cartésien de deux intervalles peut s'écrire :

où la différentielle $intégrale double peut être définie à l'aide de sommes de Riemann et représente le volume (signé) sous la courbe de le théorème de Fubini stipule que cette intégrale peut être exprimée comme une intégrale itérée équivalente .$

Cela ramène le problème du calcul d'une intégrale double au calcul d'intégrales unidimensionnelles. C'est pourquoi une autre notation pour l'intégrale sur R utilise un signe d'intégrale double :

L'intégration sur des domaines plus généraux est possible. L'intégrale d'une fonction f , par rapport au volume, sur une région D à n dimensions est notée par des symboles tels que :

Intégrales curvilignes et intégrales de surface

Une intégrale curviligne additionne les éléments le long d'une courbe.

Le concept d'intégrale peut être étendu à des domaines d'intégration plus généraux, tels que les lignes courbes et les surfaces à l'intérieur d'espaces de dimension supérieure. Ces intégrales sont respectivement appelées intégrales curvilignes et intégrales de surface. Elles ont d'importantes applications en physique, notamment dans le cadre de l'étude des champs vectoriels .

Une intégrale curviligne (parfois appelée intégrale de chemin ) est une intégrale où la fonction à intégrer est évaluée le long d'une courbe . Différentes intégrales curvilignes sont utilisées. Dans le cas d'une courbe fermée, on parle également d' intégrale de contour .

La fonction à intégrer peut être un champ scalaire ou un champ vectoriel . La valeur de l'intégrale curviligne est la somme des valeurs du champ en tous les points de la courbe, pondérées par une fonction scalaire définie sur la courbe (généralement la longueur d'arc ou, pour un champ vectoriel, le produit scalaire du champ vectoriel par un vecteur différentiel de la courbe). Cette pondération distingue l'intégrale curviligne des intégrales plus simples définies sur des intervalles . De nombreuses formules simples en physique ont des analogues continus naturels sous forme d'intégrales curvilignes ; par exemple, le fait que le travail est égal à la force F multipliée par le déplacement

Pour un objet se déplaçant le long d'une trajectoire $champ vectoriel champ électrique ou un champ gravitationnel, le travail total effectué par le champ sur l'objet est obtenu en sommant le travail différentiel effectué pour passer de$

L' intégrale de surface généralise les intégrales doubles à l'intégration sur une surface (qui peut être un ensemble courbe dans l'espace ) ; elle peut être vue comme l' analogue, pour l' intégrale double, de l' intégrale curviligne . La fonction à intégrer peut être un champ scalaire ou un champ vectoriel . La valeur de l'intégrale de surface est la somme des intégrales du champ en tous les points de la surface. Ceci peut être réalisé en décomposant la surface en éléments de surface, qui constituent le partitionnement des sommes de Riemann.

À titre d’exemple d’application des intégrales de surface, considérons un champ vectoriel $flux est défini comme la quantité de fluide traversant produit scalaire de normale unitaire à la surface$

Dans cet exemple, le flux de fluide peut provenir d'un fluide physique tel que l'eau ou l'air, ou d'un flux électrique ou magnétique. Les intégrales de surface trouvent donc des applications en physique, notamment dans le cadre de la théorie classique de l'électromagnétisme .

Intégrales de contour

analyse complexe , l'intégrande est une fonction à valeurs complexes d'une variable complexe

Intégrales de formes différentielles

forme différentielle est un concept mathématique utilisé en calcul à plusieurs variables , en topologie différentielle et en théorie des tenseurs . Les formes différentielles sont classées par degré. Par exemple, une 1-forme est une somme pondérée des différentielles des coordonnées, telles que :

où E , F et G sont des fonctions à trois dimensions. Une 1-forme différentielle peut être intégrée sur un chemin orienté, et l'intégrale résultante est une autre façon d'écrire une intégrale curviligne. Ici, les différentielles élémentaires dx , dy et dz mesurent des longueurs orientées infinitésimales parallèles aux trois axes de coordonnées.

Une 2-forme différentielle est une somme de la forme

Ici, les 2-formes de base mesurent des aires orientées parallèles aux deux plans de coordonnées. Le symbole désigne le produit extérieur , qui est similaire au produit vectoriel en ce sens que le produit extérieur de deux formes représentant des longueurs orientées représente une aire orientée. Une 2-forme peut être intégrée sur une surface orientée, et l'intégrale résultante est équivalente à l'intégrale de surface donnant le flux de .

Contrairement au produit vectoriel et au calcul vectoriel tridimensionnel, le produit extérieur et le calcul des formes différentielles sont valables en dimension arbitraire et sur des variétés plus générales (courbes, surfaces et leurs analogues de dimension supérieure). La dérivée extérieure joue le rôle du gradient et du rotationnel du calcul vectoriel, et le théorème de Stokes généralise simultanément les trois théorèmes du calcul vectoriel : le théorème de la divergence , le théorème de Green et le théorème de Kelvin-Stokes .

Sommaires

la sommation . Les sommations et les intégrales peuvent être établies sur les mêmes fondements grâce à la théorie des intégrales de Lebesgue ou au calcul sur échelle de temps .

Intégrales fonctionnelles

espace de fonctions , est appelée intégrale fonctionnelle .

Applications

Les intégrales sont largement utilisées dans de nombreux domaines. Par exemple, en théorie des probabilités , elles permettent de déterminer la probabilité qu'une variable aléatoire appartienne à un intervalle donné. De plus, l'intégrale sous une fonction de densité de probabilité complète doit être égale à 1, ce qui permet de vérifier si une fonction sans valeurs négatives peut être une fonction de densité.

Les intégrales permettent de calculer l' aire d'une région bidimensionnelle à frontière courbe, ainsi que le volume d'un objet tridimensionnel à frontière courbe. L'aire d'une région bidimensionnelle peut être calculée à l'aide de l'intégrale définie mentionnée précédemment. Le volume d'un objet tridimensionnel, tel qu'un disque ou une rondelle, peut être calculé par intégration sur un disque, en utilisant l'équation du volume d'un cylindre, V = r² , où r est le rayon. Dans le cas d'un disque simple obtenu par rotation d'une courbe autour de l' axe $cinématique, pour déterminer des grandeurs telles que le déplacement, le temps et la vitesse . Par exemple, dans un mouvement rectiligne, le déplacement d'un objet pendant l'intervalle de temps t est donné par$

où la vitesse est exprimée en fonction du temps. Le travail effectué par une force (donnée en fonction de la position) d'une position initiale à une position finale est :

Les intégrales sont également utilisées en thermodynamique , où l'intégration thermodynamique sert à calculer la différence d'énergie libre entre deux états donnés.

Calcul

Analytique

La technique la plus élémentaire pour calculer les intégrales définies d'une variable réelle repose sur le théorème fondamental du calcul intégral . Soit $singularité sur le chemin d'intégration, d'après le théorème fondamental du calcul intégral,$

Il est parfois nécessaire d'utiliser l'une des nombreuses techniques développées pour évaluer les intégrales. La plupart de ces techniques consistent à réécrire une intégrale sous une forme différente, généralement plus facile à manipuler. Parmi ces techniques, on peut citer l'intégration par substitution , l'intégration par parties , l'intégration par substitution trigonométrique et l'intégration par décomposition en fractions partielles .

Il existe des méthodes alternatives pour calculer des intégrales plus complexes. De nombreuses intégrales non élémentaires peuvent être développées en série de Taylor et intégrées terme à terme. Dans certains cas, la série infinie ainsi obtenue peut être sommée analytiquement. La méthode de convolution utilisant les fonctions G de Meijer peut également être employée, à condition que l'intégrande puisse s'écrire comme un produit de fonctions G de Meijer. Il existe aussi de nombreuses méthodes moins courantes pour calculer des intégrales définies ; par exemple, l'identité de Parseval permet de transformer une intégrale sur un domaine rectangulaire en une somme infinie. Parfois, une intégrale peut être évaluée par une astuce ; pour un exemple, voir l'intégrale de Gauss .

Le calcul des volumes des solides de révolution peut généralement être effectué par intégration sur disque ou par intégration sur coquille .

Les résultats spécifiques obtenus par diverses techniques sont rassemblés dans la liste des intégrales .

Symbolique

tables d'intégrales ont été compilées et publiées au fil des ans. Avec la démocratisation de l'informatique, de nombreux professionnels, enseignants et étudiants se sont tournés vers les systèmes de calcul formel , spécialement conçus pour effectuer des tâches complexes ou fastidieuses, dont l'intégration. L'intégration symbolique a été l'une des motivations du développement des premiers systèmes de ce type, tels que Macsyma et Maple .

Une difficulté mathématique majeure de l'intégration symbolique réside dans le fait que, souvent, une fonction relativement simple n'admet pas d'intégrales exprimables sous forme analytique , ne faisant intervenir que des fonctions élémentaires . Ces fonctions incluent les fonctions rationnelles et exponentielles , le logarithme , les fonctions trigonométriques et leurs inverses , ainsi que les opérations de multiplication et de composition. L' algorithme de Risch fournit un critère général permettant de déterminer si une primitive d'une fonction élémentaire est élémentaire et, le cas échéant, de calculer son intégrale. Cependant, les fonctions admettant des primitives sous forme analytique sont l'exception, et par conséquent, les systèmes de calcul formel ne peuvent espérer trouver une primitive pour une fonction élémentaire construite aléatoirement. En revanche, si les éléments constitutifs des primitives sont fixés à l'avance, il est possible de déterminer si la primitive d'une fonction donnée peut être exprimée à l'aide de ces éléments et des opérations de multiplication et de composition, et d'en trouver la solution symbolique lorsqu'elle existe. L'algorithme de Risch, implémenté dans Mathematica , Maple et d'autres systèmes de calcul formel , fait exactement cela pour les fonctions et les primitives construites à partir de fonctions rationnelles, de radicaux , de logarithmes et de fonctions exponentielles.

Certaines intégrales particulières apparaissent suffisamment fréquemment pour justifier une étude approfondie. En particulier, il peut être utile d'inclure, dans l'ensemble des primitives, les fonctions spéciales (telles que les fonctions de Legendre , la fonction hypergéométrique , la fonction gamma , la fonction gamma incomplète , etc.). Étendre l'algorithme de Risch à de telles fonctions est possible, mais complexe et fait l'objet de recherches actives.

Plus récemment, une nouvelle approche a émergé, utilisant les fonctions D -finies , solutions d' équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux. La plupart des fonctions élémentaires et spéciales sont D -finies, et l'intégrale d'une fonction D -finie est également une fonction D -finie. Ceci fournit un algorithme pour exprimer la primitive d'une fonction D -finie comme solution d'une équation différentielle. Cette théorie permet également de calculer l'intégrale définie d'une fonction D comme la somme d'une série donnée par ses premiers coefficients et fournit un algorithme pour calculer n'importe quel coefficient.

Les systèmes d'intégration à base de règles facilitent l'intégration. Rubi, un système de calcul formel utilisant des règles d'intégration, exploite un vaste réseau de règles d'intégration symbolique pour intégrer une grande variété de fonctions. Ce système utilise plus de 6 600 règles d'intégration pour calculer des intégrales. La méthode des crochets est une généralisation du théorème maître de Ramanujan, applicable à un large éventail d'intégrales univariées et multivariées. Un ensemble de règles est appliqué aux coefficients et aux termes exponentiels du développement en série de la fonction pour déterminer l'intégrale. Cette méthode est étroitement liée à la transformée de Mellin .

Numérique

Méthodes de quadrature numérique : méthode des rectangles, méthode des trapèzes, méthode de Romberg (avec un nombre de segments variable), quadrature de Gauss

Les intégrales définies peuvent être approchées par plusieurs méthodes d' intégration numérique . La méthode des rectangles consiste à diviser la région sous la courbe de la fonction en une série de rectangles correspondant aux valeurs de la fonction, puis à multiplier par le pas d'intégration pour obtenir la somme. Une approche plus performante, la méthode des trapèzes , remplace les rectangles utilisés dans une somme de Riemann par des trapèzes. Cette méthode pondère les première et dernière valeurs par un demi, puis multiplie par le pas d'intégration pour obtenir une meilleure approximation. L'idée sous-jacente à la méthode des trapèzes, selon laquelle des approximations plus précises de la fonction conduisent à de meilleures approximations de l'intégrale, peut être étendue : la méthode de Simpson approxime l'intégrande par une fonction quadratique par morceaux.

Les sommes de Riemann, la méthode des trapèzes et la méthode de Simpson sont des exemples de formules de quadrature appartenant à la famille des formules de Newton-Cotes . La formule de quadrature de Newton-Cotes de degré $phénomène de Runge . Une solution à ce problème est la quadrature de Clenshaw-Curtis, dans laquelle l'intégrande est approchée par un développement en polynômes de Tchebychev .$

$de Romberg divise par deux la largeur interpole ensuite un polynôme La quadrature de Gauss évalue la fonction aux racines d'un ensemble de polynômes orthogonaux . Une méthode de Gauss l'intégration de Monte Carlo .$

Mécanique

L'aire d'une forme bidimensionnelle quelconque peut être déterminée à l'aide d'un instrument de mesure appelé planimètre . Le volume d'objets de forme irrégulière peut être mesuré avec précision grâce au volume de fluide déplacé lors de l'immersion de l'objet.

Géométrique

géométriques à l'aide d'un compas et d'une règle d'un carré équivalent .

Intégration par différenciation

Kempf, Jackson et Morales ont démontré des relations mathématiques permettant de calculer une intégrale par différentiation . Leur calcul fait intervenir la fonction delta de Dirac et l' opérateur de dérivée partielle . Ce calcul peut également être appliqué aux intégrales fonctionnelles , permettant ainsi leur calcul par différentiation fonctionnelle .

Exemples

En utilisant le théorème fondamental du calcul

Le théorème fondamental du calcul permet des calculs simples des fonctions de base :