fonction hypergéométrique

Représentation graphique de la fonction hypergéométrique 2F1(a,b; c; z) avec a=2, b=3 et c=4 dans le plan complexe de −2 − 2i à 2 + 2i, les couleurs étant créées avec la fonction ComplexPlot3D de Mathematica 13.1.

mathématiques , la fonction hypergéométrique gaussienne ou ordinaire _2F₁ ( a , b _;c ; z ) est une fonction particulière représentée par la série hypergéométrique , qui inclut de nombreuses autres fonctions particulières comme cas particuliers ou limites . Elle est solution d'une équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre . Toute équation différentielle ordinaire linéaire du second ordre possédant trois points singuliers réguliers peut être transformée en cette équation.

Pour des listes systématiques de certaines des milliers d' identités publiées concernant la fonction hypergéométrique, voir les ouvrages de référence d' John Wallis dans son ouvrage Arithmetica Infinitorum de 1655 .

Les séries hypergéométriques ont été étudiées par Leonhard Euler , mais le premier traitement systématique complet a été donné par 1813 ) .

Les études du XIXe siècle comprennent celles d' 1836 ) et la caractérisation fondamentale par 1857 ) de la fonction hypergéométrique au moyen de l'équation différentielle qu'elle satisfait.

Riemann a montré que l'équation différentielle du second ordre pour ₂F ₁ ( z ), examinée dans le plan complexe, pouvait être caractérisée (sur la sphère de Riemann ) par ses trois singularités régulières .

Les cas où les solutions sont des fonctions algébriques ont été découverts par Hermann Schwarz ( liste de Schwarz ).

La série hypergéométrique

La fonction hypergéométrique est définie pour $série entière$

Elle est indéfinie (ou infinie) si $entier non positif . Ici est le symbole de Pochhammer (ascendant) , qui est défini par :$

0 \\end{cases}" $0\end{cases (q)_{n} = {\begin{matrix} 1 & n = 0 \\ q (q + 1) \dots (q + n - 1) & n > 0 \end{matrix}$ 0\end{cases

La série se termine si

Pour les arguments complexes $prolongée analytiquement le long de n'importe quel chemin du plan complexe évitant les points de branchement 1 et infini. En pratique, la plupart des implémentations informatiques de la fonction hypergéométrique adoptent une coupure de branche le long de la droite fonction gamma , on obtient la limite :$

$série hypergéométrique généralisée, il est démontré que$

et plus généralement,

Cas particuliers

De nombreuses fonctions mathématiques courantes peuvent être exprimées en termes de fonction hypergéométrique, ou comme cas limites de celle-ci. Voici quelques exemples typiques :

$Lorsque a = 1 et b = c, la série se réduit à une simple série géométrique, c'est-à-dire$

D'où le nom hypergéométrique . Cette fonction peut être considérée comme une généralisation de la série géométrique .

La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) peut être définie comme la limite d'une fonction hypergéométrique.

Ainsi, toutes les fonctions qui en sont essentiellement des cas particuliers, comme les fonctions de Bessel , peuvent être exprimées comme limites de fonctions hypergéométriques. Cela inclut la plupart des fonctions couramment utilisées en physique mathématique.

Les fonctions de Legendre sont des solutions d'une équation différentielle du second ordre avec 3 points singuliers réguliers et peuvent donc être exprimées en termes de fonction hypergéométrique de nombreuses manières, par exemple :

Plusieurs polynômes orthogonaux , notamment les polynômes de Jacobi P (polynômes de Legendre , polynômes de Tchebychev , polynômes de Gegenbauer et polynômes de Zernike) , peuvent être exprimés en termes de fonctions hypergéométriques.

D'autres polynômes qui constituent des cas particuliers incluent les polynômes de Krawtchouk , les polynômes de Meixner et les polynômes de Meixner-Pollaczek .

Donné $, laisser$

Alors

est la fonction lambda modulaire , où

Le j-invariant , une fonction modulaire , est une fonction rationnelle dans $.$

Les fonctions bêta incomplètes B _x ( p , q ) sont liées par

Les intégrales elliptiques complètes K et E sont données par

L'équation différentielle hypergéométrique

La fonction hypergéométrique est une solution de l'équation différentielle hypergéométrique d'Euler.

Cette équation possède trois points singuliers réguliers : 0, 1 et ∞. Sa généralisation à trois points singuliers réguliers quelconques est donnée par l’équation différentielle de Riemann . Toute équation différentielle linéaire du second ordre à trois points singuliers réguliers peut être transformée en une équation différentielle hypergéométrique par un changement de variables.

Solutions aux points singuliers

Les solutions de l'équation différentielle hypergéométrique sont construites à partir de la série hypergéométrique ₂F ₁ ( a , b ; c ; z ). L'équation admet deux solutions linéairement indépendantes . En chacun des trois points singuliers 0, 1, ∞, il existe généralement deux solutions particulières de la forme x ^s fois une fonction holomorphe de x , où s est l'une des deux racines de l'équation indicielle et x est une variable locale s'annulant en un point singulier régulier. Ceci donne 3 × 2 = 6 solutions particulières, comme suit.

Autour du point z = 0, il existe deux solutions indépendantes, si c n'est pas un entier non positif,

et, à condition que c ne soit pas un entier,

Si c est un entier non positif 1 − m , alors la première de ces solutions n'existe pas et doit être remplacée par $La seconde solution n'existe pas lorsque c est un entier supérieur à 1, et elle est égale à la première solution, ou à son remplacement, lorsque c est un entier quelconque. Ainsi, lorsque c est un entier, une expression plus complexe doit être utilisée pour obtenir une seconde solution, égale à la première solution multipliée par ln(z), plus une autre série de puissances de z, faisant intervenir la fonction digamma . Voir$

du second ordre à n points singuliers possède un groupe de symétries agissant (projectivement) sur ses solutions, isomorphe au groupe de Coxeter W( D<sub> _n</sub> ) d'ordre 2 ^{<sup>n -1</sup>}n !. L'équation hypergéométrique correspond au cas n = 3, avec un groupe d'ordre 24 isomorphe au groupe symétrique à 4 points, tel que décrit initialement par Kummer . L'apparition de ce groupe symétrique est fortuite et n'a pas d'analogue pour plus de 3 points singuliers. Il est parfois préférable de le considérer comme une extension du groupe symétrique à 3 points (agissant comme des permutations des 3 points singuliers) par un 4-groupe de Klein (dont les éléments changent le signe des différences des exposants en un nombre pair de points singuliers). Le groupe de transformations de Kummer (24 transformations) est engendré par les trois transformations qui transforment une solution F ( a , b ; c ; z ) en l'une des solutions de l'équation.

qui correspondent aux transpositions (12), (23) et (34) sous un isomorphisme avec le groupe symétrique sur 4 points 1, 2, 3, 4. (La première et la troisième de ces sont en fait égales à F ( a , b ; c ; z ) tandis que la seconde est une solution indépendante de l'équation différentielle.)

L'application des transformations de Kummer 24 = 6×4 à la fonction hypergéométrique donne les 6 = 2×3 solutions ci-dessus correspondant à chacun des 2 exposants possibles à chacun des 3 points singuliers, chacun apparaissant 4 fois en raison des identités

Formulaire Q

L'équation différentielle hypergéométrique peut être mise sous forme Q.

En effectuant la substitution u = wv et en éliminant le terme de dérivée première, on constate que

et v est donné par la solution de

qui est

La forme Q est significative dans sa relation avec la dérivée schwarzienne Hille 1976 , pp. 307–401) .

Cartes du triangle de Schwarz

où k est l'un des points 0, 1, ∞. La notation

est également parfois utilisé. Notez que les coefficients de connexion deviennent des transformations de Möbius sur les applications triangulaires.

Notez que chaque application triangulaire est régulière en z ∈ {0, 1, ∞} respectivement, avec

$et$

Dans le cas particulier où λ, μ et ν sont réels, avec 0 ≤ λ, μ, ν < 1, les applications s sont des applications conformes du demi-plan supérieur H sur des triangles de la sphère de Riemann , délimités par des arcs de cercle. Cette application généralise l' application de Schwarz-Christoffel aux triangles avec arcs de cercle. Les points singuliers 0, 1 et ∞ sont envoyés aux sommets des triangles. Les angles des triangles valent respectivement πλ, πμ et πν.

De plus, dans le cas où λ=1/ p , μ=1/ q et ν=1/ r pour les entiers p , q , r , alors le triangle pave la sphère, le plan complexe ou le demi-plan supérieur selon que λ + μ + ν − 1 est positif, nul ou négatif ; et les s-maps sont des fonctions inverses des fonctions automorphes pour le groupe triangulaire〈p , q , r〉= Δ( p , q , r ).

Groupe de monodromie

_{La monodromie d'une équation hypergéométrique décrit comment les} solutions fondamentales évoluent lorsqu'on prolonge analytiquement leur chemin dans le plan z en revenant au même point. Autrement dit, lorsqu'un chemin contourne une singularité de _{2F₁ , la valeur des solutions}à l'arrivée diffère de celle au départ.

Deux solutions fondamentales de l'équation hypergéométrique sont liées entre elles par une transformation linéaire ; la monodromie est donc une application (homomorphisme de groupes) :

où π₁ _est le groupe fondamental . Autrement dit, la monodromie est une représentation linéaire bidimensionnelle du groupe fondamental. Le groupe de monodromie de l'équation est l'image de cette application, c'est-à-dire le groupe engendré par les matrices de monodromie. La représentation de monodromie du groupe fondamental peut être calculée explicitement en fonction des exposants aux points singuliers. _{Si (α, α'), (β, β') et (γ, γ '} ) sont les exposants en 0, 1 et ∞, alors, en prenant z₀ proche de 0, les boucles autour de 0 et 1 ont pour matrices de monodromie

où

Si 1 − a , c − a − b , a − b sont des nombres rationnels non entiers de dénominateurs k , l , m, alors le groupe de monodromie est fini si et seulement si 1" $1 1 / k + 1 / l + 1 / m > 1$ 1 , voir la liste de Schwarz ou l'algorithme de Kovacic .

Formules intégrales

Type Euler

Si B est la fonction bêta , alors

\ eal(b) > 0, " $\Re (b)>0, B (b, c - b)_{2} F_{1} (un, b; c; z) = \int_{0}^{1} x^{b - 1} (1 - x)^{c - b - 1} (1 - z x)^{- un} d x ℜ (c) > ℜ (b) > 0,$ \Re (b)>0,

À condition que z ne soit pas un nombre réel supérieur ou égal à 1. On peut le démontrer en développant (1 − zx ) ⁻^a à l'aide du binôme de Newton , puis en intégrant terme à terme pour z de valeur absolue inférieure à 1, et en effectuant un prolongement analytique ailleurs. Lorsque z est un nombre réel supérieur ou égal à 1, le prolongement analytique est nécessaire, car (1 − zx ) s'annule en un point du support de l'intégrale, ce qui peut rendre la valeur de l'intégrale mal définie. Ce résultat a été établi par Euler en 1748 et est à l'origine des transformations hypergéométriques d'Euler et de Pfaff.

D'autres représentations, correspondant à d'autres branches , sont obtenues en prenant la même fonction à intégrer, mais en considérant le chemin d'intégration comme un cycle de Pochhammer fermé englobant les singularités à différents ordres. De tels chemins correspondent à l' action de monodromie .

Intégrale de Barnes

Barnes a utilisé la théorie des résidus pour évaluer l' intégrale de Barnes.

comme

où le contour est tracé pour séparer les pôles 0, 1, 2... des pôles − a , − a − 1, ..., − b , − b − 1, ... . Ceci est valable tant que z n'est pas un nombre réel non négatif.

John transforme

La fonction hypergéométrique de Gauss peut être écrite comme une transformation de John Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2) .

Les relations contiguës de Gauss

Les six fonctions

relations, données en identifiant deux lignes quelconques sur le côté droit de

où

où m , n et l sont des entiers.

fraction continue de Gauss

Formules de transformation

Les formules de transformation relient deux fonctions hypergéométriques à différentes valeurs de l'argument z .

Transformations linéaires fractionnaires

La transformation d'Euler est $It follows by combining the two Pfaff transformations which in turn follow from Euler's integral representation. For extension of Euler's first and second transformations, see$

). For example,

Values at special points z

See Carl Friedrich Gauss, is the identity

\\Re(a+b) " $\Re (a+b)_{2} F_{1} (a, b; c; 1) = \frac{Γ (c) Γ (c - a - b)}{Γ (c - a) Γ (c - b)}, ℜ (c) > ℜ (a + b)$ \Re (a+b)

which follows from Euler's integral formula by putting z=1. It includes the Vandermonde identity as a special case.

For the special case where $,$

La formule de Dougall généralise cela à la série hypergéométrique bilatérale à z = 1.

Théorème de Kummer ( z = −1)

Il existe de nombreux cas où l'on peut évaluer des fonctions hypergéométriques en z = −1 en appliquant une transformation quadratique pour passer de z = −1 à z = 1, puis en utilisant le théorème de Gauss pour calculer le résultat. Un exemple typique est le théorème de Kummer, du nom d' Ernst Kummer :

ce qui découle des transformations quadratiques de Kummer

et le théorème de Gauss en posant z = −1 dans la première identité. Pour une généralisation de la sommation de Kummer, voir

polynôme de Chebyshev (généralisé) .