Fonction bêta

En mathématiques , la fonction bêta , également appelée intégrale d'Euler de première espèce, est une fonction particulière qui est étroitement liée à la fonction gamma et aux coefficients binomiaux . Elle est définie par l' intégrale

pour les entrées de nombres complexes telles que . $0\Re \left(j_1\right),\Re \left(j_2\right)>0$0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e586772938f1fe6118c8c9f32ef6e485c4957189">

La fonction bêta a été étudiée par Leonhard Euler et Adrien-Marie Legendre et doit son nom à Jacques Binet ; son symbole Β est une majuscule grecque bêta .

La fonction bêta est symétrique , ce qui signifie que pour toutes les entrées et .

Une propriété clé de la fonction bêta est sa relation étroite avec la fonction gamma :

Une preuve est donnée ci-dessous dans le § Relation avec la fonction gamma.

La fonction bêta est également étroitement liée aux coefficients binomiaux . Lorsque m (ou n , par symétrie) est un entier positif, il résulte de la définition de la fonction gamma Γ que

Pour obtenir cette relation, écrivons le produit de deux factorielles sous forme d'intégrales. Comme ce sont des intégrales dans deux variables distinctes, nous pouvons les combiner en une intégrale itérée :

En changeant les variables par u = st et v = s (1 − t ) , car u + v = s et u / (u+v) = t , nous avons que les limites d'intégration pour s sont de 0 à ∞ et les limites d'intégration pour t sont de 0 à 1. Ainsi produit

En divisant les deux côtés, on obtient le résultat souhaité.

L'identité énoncée peut être considérée comme un cas particulier de l'identité pour l' intégrale d'une convolution .

on a :

Voir La fonction gamma , page 18–19 pour une dérivation de cette relation.

Nous avons

où désigne la fonction digamma .

L'approximation de Stirling donne la formule asymptotique

pour les grands x et les grands y .

Si par contre x est grand et y est fixe, alors

L'intégrale définissant la fonction bêta peut être réécrite de diverses manières, notamment les suivantes :

où dans l'avant-dernière identité n est un nombre réel positif quelconque. On peut passer de la première intégrale à la seconde en remplaçant .

La fonction bêta peut être écrite comme une somme infinie

(où est la factorielle croissante )

et comme un produit infini

La fonction bêta satisfait plusieurs identités analogues aux identités correspondantes pour les coefficients binomiaux, y compris une version de l'identité de Pascal

et une récurrence simple sur une coordonnée :

Les valeurs entières positives de la fonction bêta sont également les dérivées partielles d'une fonction 2D : pour tous les entiers non négatifs et ,

où

L'identité de type Pascal ci-dessus implique que cette fonction est une solution à l' équation aux dérivées partielles du premier ordre

Pour , la fonction bêta peut être écrite en termes de convolution impliquant la fonction puissance tronquée :

Les évaluations à des moments particuliers peuvent être considérablement simplifiées ; par exemple,

et

En prenant cette dernière formule, il s'ensuit que . En généralisant cela en une identité bivariée pour un produit de fonctions bêta, on obtient :

L'intégrale d'Euler pour la fonction bêta peut être convertie en une intégrale sur le contour de Pochhammer C comme

Cette intégrale de contour de Pochhammer converge pour toutes les valeurs de α et β et donne donc la continuation analytique de la fonction bêta.

Tout comme la fonction gamma pour les entiers décrit les factorielles , la fonction bêta peut définir un coefficient binomial après ajustement des indices :

De plus, pour l'entier n , Β peut être factorisé pour donner une fonction d'interpolation sous forme fermée pour les valeurs continues de k :

La fonction bêta réciproque est la fonction de la forme

Il est intéressant de noter que leurs représentations intégrales sont étroitement liées à l' intégrale définie des fonctions trigonométriques avec le produit de sa puissance et de son angle multiple :

La fonction bêta incomplète , une généralisation de la fonction bêta, est définie comme

Pour x = 1 , la fonction bêta incomplète coïncide avec la fonction bêta complète. La relation entre les deux fonctions est celle qui existe entre la fonction gamma et sa généralisation la fonction gamma incomplète . Pour des entiers positifs a et b , la fonction bêta incomplète sera un polynôme de degré a + b - 1 à coefficients rationnels.

Par la substitution et , nous montrons que

La fonction bêta incomplète régularisée (ou fonction bêta régularisée en abrégé) est définie en termes de fonction bêta incomplète et de fonction bêta complète :

La fonction bêta incomplète régularisée est la fonction de distribution cumulative de la distribution bêta , et est liée à la fonction de distribution cumulative d'une variable aléatoire X suivant une distribution binomiale avec probabilité de succès unique p et nombre d'essais de Bernoulli n :

L' expansion de la fraction continue

avec des coefficients respectivement impairs et pairs

converge rapidement lorsque n'est pas proche de 1. Les convergentes et sont inférieures à , tandis que les convergentes et sont supérieures à .

Pour , la fonction peut être évaluée plus efficacement en utilisant . $\{\backslash frac\; \{a+1\}\{a+b+2x>\frac{a+1}{a+b+2}${\frac {a+1}{a+b+2}}}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94900d1e8fc397b8951de84c0dbc6e5bd5433d5">

La fonction bêta peut être étendue à une fonction avec plus de deux arguments :

Cette fonction bêta multivariée est utilisée dans la définition de la distribution de Dirichlet . Sa relation avec la fonction bêta est analogue à la relation entre les coefficients multinomiaux et les coefficients binomiaux. Par exemple, elle satisfait une version similaire de l'identité de Pascal :

La fonction bêta est utile pour calculer et représenter l' amplitude de diffusion des trajectoires de Regge . De plus, c'est la première amplitude de diffusion connue en théorie des cordes , conjecturée pour la première fois par Gabriele Veneziano . Elle intervient également dans la théorie du processus d'attachement préférentiel , un type de processus d'urne stochastique . La fonction bêta est également importante en statistique, par exemple pour la distribution bêta et la distribution bêta des nombres premiers . Comme évoqué brièvement précédemment, la fonction bêta est étroitement liée à la fonction gamma et joue un rôle important en calcul .

Même si elles ne sont pas disponibles directement, les valeurs complètes et incomplètes de la fonction bêta peuvent être calculées à l'aide de fonctions généralement incluses dans les tableurs ou les systèmes d'algèbre informatique .

Dans Microsoft Excel , par exemple, la fonction bêta complète peut être calculée avec la GammaLnfonction (ou special.gammalndans le package SciPy de Python ) :

Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))

Ce résultat découle des propriétés énumérées ci-dessus.

La fonction bêta incomplète ne peut pas être calculée directement à l'aide de telles relations et d'autres méthodes doivent être utilisées. Dans GNU Octave, elle est calculée à l'aide d'un développement en fraction continue .

La fonction bêta incomplète a une implémentation existante dans les langages courants. Par exemple, betainc(fonction bêta incomplète) dans MATLAB et GNU Octave , pbeta(probabilité de distribution bêta) dans R et betaincdans SymPy . Dans SciPy , special.betainccalcule la fonction bêta incomplète régularisée — qui est, en fait, la distribution bêta cumulative. Pour obtenir la fonction bêta incomplète réelle, on peut multiplier le résultat de special.betaincpar le résultat renvoyé par la betafonction correspondante. Dans Mathematica , Beta[x, a, b]et BetaRegularized[x, a, b]donnent et , respectivement.