Polynômes de Jacobi

En mathématiques , les polynômes de Jacobi (parfois appelés polynômes hypergéométriques ) sont une classe de polynômes orthogonaux classiques . Ils sont orthogonaux par rapport au poids sur l'intervalle . Les polynômes de Gegenbauer , et donc aussi les polynômes de Legendre , de Zernike et de Tchebychev , sont des cas particuliers des polynômes de Jacobi. ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>x</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [-1,1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les polynômes de Jacobi ont été introduits par Carl Gustav Jacob Jacobi .

Définitions

Via la fonction hypergéométrique

Les polynômes de Jacobi sont définis via la fonction hypergéométrique comme suit :

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{ frac {1}{2}}(1-z) ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mspace></mspace> <msub> <mrow> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <msub> <mi>F</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>;</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>;</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\gauche(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{ frac {1}{2}}(1-z)\droite),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est le symbole de Pochhammer (pour la factorielle décroissante). Dans ce cas, la série pour la fonction hypergéométrique est finie, on obtient donc l'expression équivalente suivante : ${\displaystyle (\alpha +1)_{n <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <msub> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (\alpha +1)_{n}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}} ight)^{m}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>!</mo> <mspace></mspace> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\gauche({\frac {z-1}{2}}\droite)^{m}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

La formule de Rodrigues

Une définition équivalente est donnée par la formule de Rodrigues :

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2} ight)^{n} ight\}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>j</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>j</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\gauche\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\gauche(1-z^{2}\droite)^{n}\droite\}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Si , alors elle se réduit aux polynômes de Legendre : ${\displaystyle \alpha =\beta =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> <mo>=</mo> <mi>β</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle alpha = beta = 0}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;. <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mi>n</mi> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>j</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}\;.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Expression alternative pour un argument réel

En réalité, le polynôme de Jacobi peut également s'écrire comme ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose n-s}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}} ight)^{s}\left({\frac {x+1}{2}} ight)^{n-s <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mrow> <mi>m</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>m</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choisir ns}{n+\beta \choisir s}\gauche({\frac {x-1}{2}}\droite)^{s}\gauche({\frac {x+1}{2}}\droite)^{ns}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et pour l'entier ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mi>j</mi> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> <mo>≥</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mi>n</mi> <mo><</mo> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> <mo></mo> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où est la fonction gamma . ${\displaystyle \Gamma (z) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>Γ</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \Gamma (z)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Dans le cas particulier où les quatre quantités , , , sont des entiers non négatifs, le polynôme de Jacobi peut s'écrire comme ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n+\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n+\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n+\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n+\beta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n+\alpha +\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n+\alpha +\beta }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}} ight)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}} ight)^{s}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>s</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </munderover> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>s</mi> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>x</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mi>s</mi> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!}}\left({\frac {x-1}{2}} ight)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}} ight)^{s}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

( )

La somme s'étend sur toutes les valeurs entières de pour lesquelles les arguments des factorielles sont non négatifs. ${\displaystyle s <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>s</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle s}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Cas particuliers

{\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1, <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}}, <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

{\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}} ight)^{2}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>+</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>4</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}} ight)^{2}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Propriétés de base

Orthogonalité

Les polynômes de Jacobi satisfont la condition d'orthogonalité

-1. \int_{- 1}^{1} (1 - x)^{α} (1 + x)^{β} P_{m}^{(α, β)} (x) P_{n}^{(α, β)} (x) d x = \frac{2^{α + β + 1}}{2 n + α + β + 1} \frac{Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)}{Γ (n + α + β + 1) n!} δ_{n m}, α, β > - 1.

-1.}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72acbadccd02fe008e287759511cdfffe704ccb3">

Tels que définis, ils n'ont pas de norme unitaire par rapport au poids. Cela peut être corrigé en divisant par la racine carrée du côté droit de l'équation ci-dessus, lorsque . ${\displaystyle n=m <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mi>m</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=m}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Bien qu'elle ne donne pas de base orthonormale, une normalisation alternative est parfois préférée en raison de sa simplicité :

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Relation de symétrie

Les polynômes ont la relation de symétrie

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z); <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mo>,</mo> <mi>α</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>;</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

ainsi l'autre valeur terminale est

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}. <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> </mrow> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> <mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mrow> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Produits dérivés

La dérivée ième de l'expression explicite conduit à ${\displaystyle k <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z). <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mfrac> <msup> <mi>d</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mrow> <mi>d</mi> <msup> <mi>z</mi> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>Γ</mi> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>k</mi> </mrow> </msup> <mi>Γ</mi> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>k</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Équation différentielle

Le polynôme de Jacobi est une solution de l' équation différentielle homogène linéaire du second ordre ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \left(1-x^{2} ight)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0. <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>y</mi> <mo>″</mo> </msup> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>y</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>y</mi> <mo>=</mo> <mn>0.</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \left(1-x^{2} ight)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Relations de récurrence

La relation de récurrence pour les polynômes de Jacobi de , fixé est : ${\displaystyle \alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \beta }</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mspace></mspace> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> </mrow> </mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>α</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>−</mo> <msup> <mi>β</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

pour . Écrire pour plus de concision , et , cela devient en termes de ${\displaystyle n=2,3,\ldots <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n=2,3,\ldots }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a:=n+\alpha <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>:=</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a:=n+\alpha }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle b:=n+\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>b</mi> <mo>:=</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle b:=n+\beta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>c</mi> <mo>:=</mo> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mo>=</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta }</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle a,b,c <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>a</mi> <mo>,</mo> <mi>b</mi> <mo>,</mo> <mi>c</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle a,b,c}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z). <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>{</mo> </mrow> </mrow> <mi>c</mi> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mi>b</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>c</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>a</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>b</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mi>c</mi> <mspace></mspace> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>2</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les polynômes de Jacobi pouvant être décrits en termes de fonction hypergéométrique, les récurrences de la fonction hypergéométrique donnent des récurrences équivalentes des polynômes de Jacobi. En particulier, les relations contiguës de Gauss correspondent aux identités

{\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )} ight)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta ight)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)} ight)\,.\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mi>d</mi> <mrow> <mi>d</mi> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>z</mi> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd></mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>z</mi> </mrow> <mrow> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>z</mi> </mrow> </mfrac> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>β</mi> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>−</mo> <mo>(</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> <mo>)</mo> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mspace></mspace> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )} ight)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta ight)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)} ight)\,.\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Fonction génératrice

La fonction génératrice des polynômes de Jacobi est donnée par

{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta }, <semantics> <mrow> <mstyle> <munderover> <mo>∑</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>∞</mi> </mrow> </munderover> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <msup> <mn>2</mn> <mrow> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msup> <mi>R</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>+</mo> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

{\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2} ight)^{\frac {1}{2}}~, <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>=</mo> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <mn>2</mn> <mi>z</mi> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>t</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <mtext> </mtext> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2} ight)^{\frac {1}{2}}~,}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et la branche de la racine carrée est choisie de telle sorte que . ${\displaystyle R(z,0)=1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>R</mi> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>,</mo> <mn>0</mn> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle R(z,0)=1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Asymptotique des polynômes de Jacobi

Pour à l'intérieur de , l'asymptotique de pour grand est donnée par la formule de Darboux ${\displaystyle x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [-1,1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos heta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k( heta )\cos(N heta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}} ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mi>k</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mo>(</mo> <mi>N</mi> <mi>θ</mi> <mo>+</mo> <mi>γ</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>3</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos heta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k( heta )\cos(N heta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}} ight),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où

{\displaystyle {\begin{aligned}k( heta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{ frac { heta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{ frac { heta }{2}},\\N&=n+{ frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{ frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{ frac {1}{2}} ight),\\0< heta &<\pi \end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>k</mi> <mo>(</mo> <mi>θ</mi> <mo>)</mo> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mi>π</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>α</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>θ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <msup> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>β</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </mrow> </msup> <mo>⁡</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>θ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>N</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mi>β</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mi>γ</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <mo>−</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>π</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>α</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> <mo><</mo> <mi>θ</mi> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo><</mo> <mi>π</mi> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}k( heta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{ frac { heta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{ frac { heta }{2}},\\N&=n+{ frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{ frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{ frac {1}{2}} ight),\\0< heta &<\pi \end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et le terme " " est uniforme sur l'intervalle pour tout . ${\displaystyle O <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>O</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle O}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mi>ε</mi> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <mi>ε</mi> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ $0 ε > 0$ 0}" data-src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12">

L'asymptotique des polynômes de Jacobi proches des points est donnée par la formule de Mehler-Heine ${\displaystyle \pm 1 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>±</mo> <mn>1</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \pm 1}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n o \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({ frac {z}{n}} ight) ight)&=\left({ frac {z}{2}} ight)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n o \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{ frac {z}{n}} ight) ight)&=\left({ frac {z}{2}} ight)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <munder> <mo>lim</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>→</mo> <mi>∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mi>α</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>α</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <munder> <mo>lim</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>→</mo> <mi>∞</mi> </mrow> </munder> <msup> <mi>n</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>α</mi> <mo>,</mo> <mi>β</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>π</mi> <mo>−</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>z</mi> <mi>n</mi> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mi></mi> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>−</mo> <mi>β</mi> </mrow> </msup> <msub> <mi>J</mi> <mrow> <mi>β</mi> </mrow> </msub> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>)</mo> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n o \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({ frac {z}{n}} ight) ight)&=\left({ frac {z}{2}} ight)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n o \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{ frac {z}{n}} ight) ight)&=\left({ frac {z}{2}} ight)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

où les limites sont uniformes pour dans un domaine délimité . ${\displaystyle z <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>z</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle z}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'asymptotique à l'extérieur est moins explicite. ${\displaystyle [-1,1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Applications

Matrice D de Wigner

L'expression ( 1 ) permet l'expression de la matrice d de Wigner (pour ) en termes de polynômes de Jacobi : ${\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi ) <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>,</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>0</mn> <mo>≤</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>≤</mo> <mn>4</mn> <mi>π</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }</annotation> </semantics> </math><img src=$

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}} ight]^{\frac {1}{2}}\left(\sin { frac {\phi }{2}} ight)^{|m-m'|}\left(\cos { frac {\phi }{2}} ight)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ), <semantics> <mrow> <mstyle> <msubsup> <mi>d</mi> <mrow> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mi>j</mi> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <msup> <mo>)</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mo>−</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>[</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mi>M</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> <mo>(</mo> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mi>N</mi> <mo>)</mo> <mo>!</mo> </mrow> </mfrac> </mrow> <mo>]</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>sin</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>ϕ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mstyle> <mfrac> <mi>ϕ</mi> <mn>2</mn> </mfrac> </mstyle> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> </mrow> </msup> <msubsup> <mi>P</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mo>−</mo> <mi>m</mi> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mo>(</mo> <mi>cos</mi> <mo>⁡</mo> <mi>ϕ</mi> <mo>)</mo> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}} ight]^{\frac {1}{2}}\left(\sin { frac {\phi }{2}} ight)^{|m-m'|}\left(\cos { frac {\phi }{2}} ight)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}</annotation> </semantics> </math><img src=$

où . ${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>M</mi> <mo>=</mo> <mo>max</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>N</mi> <mo>=</mo> <mo>min</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mi>m</mi> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <msup> <mi>m</mi> <mo>′</mo> </msup> <mrow> <mo>|</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}</annotation> </semantics> </math><img src=$