continuum linéaire

Dans le domaine mathématique de la théorie de l'ordre , un continuum ou continuum linéaire est une généralisation de la droite réelle .

Formellement, un continuum linéaire est un ensemble S linéairement ordonné de plus d'un élément, densément ordonné (c'est-à-dire qu'entre deux éléments distincts quelconques il en existe un autre, et donc une infinité d'autres), et conditionnellement complet (c'est-à-dire qu'il ne présente pas de lacunes, au sens où tout sous-ensemble non vide muni d'une borne supérieure possède une borne supérieure minimale dans l'ensemble). Plus symboliquement :

1. S possède la propriété de borne supérieure minimale , et
2. Pour chaque x ∈ S et chaque y ∈ S tel que x < y , il existe z ∈ S tel que x < z < y

Un ensemble possède la propriété de borne supérieure minimale si tout sous-ensemble non vide de cet ensemble, majoré, possède une borne supérieure minimale dans l'ensemble. Les continus linéaires sont particulièrement importants en topologie, où ils permettent de vérifier si un ensemble ordonné , muni de la topologie d'ordre, est connexe ou non.

Contrairement à la droite réelle standard, un continuum linéaire peut être borné de chaque côté : par exemple, tout intervalle fermé (réel) est un continuum linéaire.

• L'ensemble ordonné des nombres réels , R , muni de son ordre usuel , est un continuum linéaire et en est l'exemple archétypal. La propriété b) est triviale et la propriété a) est simplement une reformulation de l' axiome de complétude .

Exemples en plus des nombres réels :

• Les ensembles qui sont isomorphes à l'ensemble des nombres réels, par exemple un intervalle ouvert réel , et de même pour les intervalles semi-ouverts (notez que ce ne sont pas des intervalles au sens mentionné ci-dessus).
• le système des nombres réels étendu affinement et les ensembles isomorphes par ordre, par exemple l' intervalle unité
• l'ensemble des nombres réels auxquels on a ajouté seulement +∞ ou seulement −∞, et les ensembles isomorphes par ordre, par exemple un intervalle semi-ouvert
• la longue file
• L'ensemble I × I (où × désigne le produit cartésien et I = [0, 1]) dans l' ordre lexicographique est un continuum linéaire. La propriété b) est triviale. Pour vérifier la propriété a), on définit une application, π ₁ : I × I → I par

π ₁ ( x , y ) = x

Cette application est appelée application _de projection . L'application de projection est continue (pour la topologie produit sur I × I ) et surjective . Soit A un sous-ensemble non vide de I × I majoré. Considérons π₁ ( A ). Puisque A est majoré, π₁ ( A ) l'est également. Comme _π₁ ( A ₎ est un sous-ensemble de I , il possède un plus petit majorant (puisque I possède la propriété de plus petit majorant). On peut donc noter b le plus petit majorant de π₁ ( A ). Si b appartient à π₁ ₍ A ) , alors b × _I intersecte A en b × c pour un certain c ∈ I. Remarquez que puisque b × I a le même type d'ordre que I , l'ensemble ( b × I ) ∩ A aura en effet une borne supérieure minimale b × c' , qui est la borne supérieure minimale souhaitée pour A .

Si b n'appartient pas à π ₁ ( A ), alors b × 0 est la plus petite borne supérieure de A , car si d < b , et d × e est une borne supérieure de A , alors d serait une borne supérieure plus petite de π ₁ ( A ) que b , contredisant la propriété unique de b .

• L'ensemble ordonné Q des nombres rationnels n'est pas un continuum linéaire. Bien que la propriété b) soit satisfaite, la propriété a) ne l'est pas. Considérons le sous-ensemble

A = { x ∈ Q | x < √ 2 }

de l'ensemble des nombres rationnels. Bien que cet ensemble soit majoré par tout nombre rationnel supérieur à √2 ( par exemple 3), il n'admet pas de borne supérieure parmi les nombres rationnels. (Plus précisément, pour toute borne supérieure rationnelle r > √2 , r² /2 + 1/ r est une borne supérieure rationnelle plus proche ; voir détails dans la section « Méthodes de calcul des racines carrées », sous-section « Méthode de Héron » . )

• L'ensemble ordonné des entiers non négatifs, muni de son ordre usuel, n'est pas un continuum linéaire. La propriété a) est vérifiée (soit A un sous-ensemble de l'ensemble des entiers non négatifs majoré. Alors A est fini et possède donc un maximum, qui est la borne supérieure de A ). En revanche, la propriété b) n'est pas vérifiée. En effet, 5 et 6 sont des entiers non négatifs, mais aucun entier non négatif n'est strictement compris entre eux.
• L'ensemble ordonné A des nombres réels non nuls

A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

n'est pas un continuum linéaire. La propriété b) est trivialement vérifiée. Cependant, si B est l'ensemble des nombres réels négatifs :

B = (−∞, 0)

B est alors un sous-ensemble de A qui est majoré (par tout élément de A supérieur à 0 ; par exemple 1), mais qui n'a pas de borne supérieure dans A. Remarquez que 0 n'est pas une borne de B puisque 0 n'est pas un élément de A.

• Soit Z ₋ l'ensemble des entiers négatifs et soit A = (0, 5) ∪ (5, +∞).

S = Z ₋ ∪ A .

Alors S ne satisfait ni la propriété a) ni la propriété b). La preuve est similaire aux exemples précédents.

Bien que les milieux continus linéaires soient importants dans l'étude des ensembles ordonnés , ils trouvent également des applications en topologie . En effet, nous allons démontrer qu'un ensemble ordonné muni de la topologie de l'ordre est connexe si et seulement s'il est un milieu continu linéaire. Nous démontrerons une implication et laisserons la seconde en exercice. (Munkres explique la seconde partie de la démonstration dans ).

Théorème

Soit X un ensemble ordonné muni de la topologie d'ordre. Si X est connexe, alors X est un continuum linéaire.

Preuve:

Supposons que x et y soient des éléments de X tels que x < y . S'il n'existe aucun z dans X tel que x < z < y , considérons les ensembles :

A = (−∞, y )

B = ( x , +∞)

Ces ensembles sont disjoints (si a ∈ A , a < y, donc si a ∈ B , a > x et a < y, ce qui est impossible par hypothèse), non vides ( x ∈ A et y ∈ B ) et ouverts (pour la topologie de l'ordre), et leur union est X. Ceci contredit la connexité de X.

Nous allons maintenant démontrer la propriété de la borne supérieure minimale. Si C est un sous-ensemble de X majoré et sans borne supérieure minimale, soit D l'union de tous les rayons ouverts de la forme ( b , +∞) où b est une borne supérieure de C. Alors D est ouvert (puisqu'il est l'union d'ouverts) et fermé (si a n'appartient pas à D , alors a < b pour toute borne supérieure b de C, de sorte qu'on peut choisir q > a tel que q appartienne à C ; si un tel q n'existe pas, a est la borne supérieure minimale de C ). On peut alors choisir un intervalle ouvert contenant a qui n'intersecte pas D ). Puisque D est non vide (il existe plusieurs bornes supérieures de D , car s'il n'y avait qu'une seule borne supérieure s , s serait la borne supérieure minimale. Alors, si b₁ _{et b₂} sont deux bornes supérieures de D _telles que b₁ < b₂ , _b₂ appartient à D ), D et son complémentaire forment ensemble une _séparation sur X. Ceci contredit la connexité de X.

1. Puisque l'ensemble ordonné A = (−∞, 0) U (0,+∞) n'est pas un continuum linéaire, il est déconnecté.
2. En appliquant le théorème qui vient d'être démontré, on déduit que R est connexe. De plus, tout intervalle (ou demi-droite) de R est également connexe.
3. L'ensemble des entiers n'est pas un continuum linéaire et ne peut donc pas être connexe.
4. En fait, si un ensemble ordonné muni de la topologie de l'ordre est un continuum linéaire, il est nécessairement connexe. Puisque tout intervalle de cet ensemble est également un continuum linéaire, il s'ensuit que cet espace est localement connexe, car sa base est constituée exclusivement d'ensembles connexes.
5. Pour un exemple d’ espace topologique qui est un continuum linéaire, voir ligne longue .