Projection (mathématiques)

En mathématiques , une projection est une application idempotente d'un ensemble (ou d'une autre structure mathématique ) dans un sous-ensemble (ou sous-structure). Dans ce cas, idempotent signifie que projeter deux fois revient à projeter une fois. La restriction à un sous-espace d'une projection est également appelée projection , même si la propriété d'idempotence est perdue. Un exemple courant de projection est la projection d'ombres sur un plan (une feuille de papier) : la projection d'un point est son ombre sur la feuille de papier, et la projection (ombre) d'un point sur la feuille de papier est ce point lui-même (idempotence). L'ombre d'une sphère tridimensionnelle est un disque. À l'origine, la notion de projection a été introduite en géométrie euclidienne pour désigner la projection de l' espace euclidien tridimensionnel sur un plan qui y figure, comme dans l'exemple de l'ombre. Les deux principales projections de ce type sont :

• La projection d'un point sur un plan ou projection centrale : Si C est un point, appelé centre de projection , alors la projection d'un point P différent de C sur un plan ne contenant pas C est l'intersection de la droite CP avec le plan. Les points P tels que la droite CP soit parallèle au plan n'ont pas d'image par la projection, mais on dit souvent qu'ils se projettent sur un point à l'infini du plan (voir Géométrie projective pour une formalisation de cette terminologie). La projection du point C elle-même n'est pas définie.
• Projection parallèle à une direction D sur un plan ou projection parallèle : L'image d'un point P est l'intersection du plan avec la droite parallèle à D passant par P. Voir Espace affine § Projection pour une définition précise, généralisée à toute dimension.

Le concept de projection en mathématiques est très ancien et trouve probablement ses racines dans le phénomène des ombres projetées par des objets du monde réel sur le sol. Cette idée rudimentaire a été affinée et abstraite, d'abord dans un contexte géométrique , puis dans d'autres branches des mathématiques. Au fil du temps, différentes versions du concept se sont développées, mais aujourd'hui, dans un cadre suffisamment abstrait, nous pouvons unifier ces variations.

En cartographie , une projection cartographique est une représentation d'une partie de la surface de la Terre sur un plan, ce qui, dans certains cas, mais pas toujours, est la restriction d'une projection au sens ci-dessus. Les projections 3D sont également à la base de la théorie de la perspective .

La nécessité d'unifier les deux types de projections et de définir l'image par une projection centrale de tout point différent du centre de projection sont à l'origine de la géométrie projective .

Généralement, une application où le domaine et le codomaine sont le même ensemble (ou structure mathématique ) est une projection si l'application est idempotente , ce qui signifie qu'une projection est égale à sa composition avec elle-même. Une projection peut également faire référence à une application qui a un inverse à droite . Les deux notions sont fortement liées, comme suit. Soit p une application idempotente d'un ensemble A dans lui-même (donc p ∘ p = p ) et B = p ( A ) l'image de p . Si l'on note π l'application p vue comme une application de A sur B et par i l' injection de B dans A (de sorte que p = i ∘ π ), alors on a π ∘ i = Id _B (de sorte que π a un inverse à droite). Inversement, si π a un inverse à droite i , alors π ∘ i = Id _B implique que i ∘ π ∘ i ∘ π = i ∘ Id _B ∘ π = i ∘ π ; c'est-à-dire que p = i ∘ π est idempotent.

La notion originale de projection a été étendue ou généralisée à diverses situations mathématiques, fréquemment, mais pas toujours, liées à la géométrie, par exemple :

• En théorie des ensembles :
  • Une opération typifiée par la j - ^ième projection cartographique , notée proj _j , qui prend un élément x = ( x ₁ , ..., x _j , ..., x _n ) du produit cartésien X ₁ × ⋯ × X _j × ⋯ × X _n à la valeur proj _j ( x ) = x _j . Cette projection cartographique est toujours surjective et, lorsque chaque espace X _k possède une topologie , elle est également continue et ouverte .
  • Une application qui amène un élément à sa classe d'équivalence sous une relation d'équivalence donnée est connue sous le nom de projection canonique .
  • La carte d'évaluation envoie une fonction f à la valeur f ( x ) pour un x fixé . L'espace des fonctions Y ^X peut être identifié au produit cartésien , et la carte d'évaluation est une carte de projection du produit cartésien.
• Pour les bases de données relationnelles et les langages de requête , la projection est une opération unaire écrite comme où est un ensemble de noms d'attributs. Le résultat d'une telle projection est défini comme l' ensemble obtenu lorsque tous les tuples dans R sont restreints à l'ensemble . R est une relation de base de données .
• En géométrie sphérique , la projection d'une sphère sur un plan a été utilisée par Ptolémée (~150) dans son Planisphaerium . La ​​méthode est appelée projection stéréographique et utilise un plan tangent à une sphère et un pôle C diamétralement opposé au point de tangence. Tout point P sur la sphère en dehors de C détermine une ligne CP intersectant le plan au point projeté pour P. La correspondance fait de la sphère une compactification à un point pour le plan lorsqu'un point à l'infini est inclus pour correspondre à C , qui n'a autrement aucune projection sur le plan. Un exemple courant est le plan complexe où la compactification correspond à la sphère de Riemann . Alternativement, un hémisphère est fréquemment projeté sur un plan en utilisant la projection gnomonique .
• En algèbre linéaire , transformation linéaire qui reste inchangée si elle est appliquée deux fois : p ( u ) = p ( p ( u )) . En d'autres termes, un opérateur idempotent . Par exemple, l'application qui prend un point ( x , y , z ) en trois dimensions vers le point ( x , y , 0) est une projection. Ce type de projection se généralise naturellement à tout nombre de dimensions n pour le domaine et k ≤ n pour le codomaine de l'application. Voir Projection orthogonale , Projection (algèbre linéaire) . Dans le cas des projections orthogonales, l'espace admet une décomposition comme produit, et l'opérateur de projection est également une projection dans ce sens.
• En topologie différentielle , tout faisceau de fibres comprend une carte de projection dans sa définition. Localement au moins, cette carte ressemble à une carte de projection au sens de la topologie du produit et est donc ouverte et surjective.
• En topologie , une rétraction est une application continue r : X → X qui se limite à l' application identité sur son image. Cela satisfait une condition d'idempotence similaire r ² = r et peut être considéré comme une généralisation de l'application de projection. L'image d'une rétraction est appelée rétraction de l'espace d'origine. Une rétraction homotope à l'identité est connue sous le nom de rétraction de déformation . Ce terme est également utilisé en théorie des catégories pour désigner tout épimorphisme fractionné.
• La projection scalaire (ou résolue) d'un vecteur sur un autre.
• En théorie des catégories , la notion ci-dessus de produit cartésien d'ensembles peut être généralisée à des catégories arbitraires . Le produit de certains objets possède un morphisme de projection canonique à chaque facteur. Les cas particuliers incluent la projection à partir du produit cartésien d' ensembles , la topologie du produit d' espaces topologiques (qui est toujours surjective et ouverte ), ou à partir du produit direct de groupes , etc. Bien que ces morphismes soient souvent des épimorphismes et même surjectifs, ils ne doivent pas nécessairement l'être.

Lectures complémentaires