Géométrie sphérique

La géométrie sphérique ou sphérique (du grec ancien σφαιρικά ) est la géométrie de la surface bidimensionnelle d' une sphère ou de la surface n -dimensionnelle des sphères de dimension supérieure .

Longtemps étudiées pour leurs applications pratiques à l'astronomie , à la navigation et à la géodésie , la géométrie sphérique et les outils métriques de la trigonométrie sphérique sont à bien des égards analogues à la géométrie plane euclidienne et à la trigonométrie , mais présentent également quelques différences importantes.

La sphère peut être étudiée soit de manière extrinsèque comme une surface intégrée dans l'espace euclidien tridimensionnel (partie de l'étude de la géométrie solide ), soit de manière intrinsèque en utilisant des méthodes qui n'impliquent que la surface elle-même sans référence à aucun espace environnant.

En géométrie plane (euclidienne) , les concepts de base sont les points et les lignes (droites) . En géométrie sphérique, les concepts de base sont le point et le grand cercle . Cependant, deux grands cercles sur un plan se coupent en deux points antipodaux, contrairement aux lignes coplanaires en géométrie elliptique .

Dans l'approche extrinsèque tridimensionnelle, un grand cercle est l'intersection de la sphère avec un plan passant par le centre. Dans l'approche intrinsèque, un grand cercle est une géodésique ; un chemin le plus court entre deux de ses points, à condition qu'ils soient suffisamment proches. Ou, dans l'approche axiomatique (également intrinsèque) analogue aux axiomes euclidiens de la géométrie plane, « grand cercle » est simplement un terme indéfini, accompagné de postulats stipulant les relations de base entre les grands cercles et les « points » également indéfinis. C'est la même chose que la méthode euclidienne de traiter le point et la ligne comme des notions primitives indéfinies et d'axiomatiser leurs relations.

Les grands cercles jouent à bien des égards le même rôle logique en géométrie sphérique que les lignes en géométrie euclidienne, par exemple comme les côtés des triangles (sphériques). Il s'agit de plus qu'une analogie ; la géométrie sphérique et plane et d'autres peuvent toutes être unifiées sous le parapluie de la géométrie construite à partir de la mesure des distances , où les « lignes » sont définies comme signifiant les chemins les plus courts (géodésiques). De nombreuses affirmations sur la géométrie des points et de telles « lignes » sont également vraies dans toutes ces géométries à condition que les lignes soient définies de cette façon, et la théorie peut être facilement étendue à des dimensions supérieures. Néanmoins, parce que ses applications et sa pédagogie sont liées à la géométrie solide, et parce que la généralisation perd certaines propriétés importantes des lignes dans le plan, la géométrie sphérique n'utilise généralement pas du tout le terme « ligne » pour désigner quoi que ce soit sur la sphère elle-même. Si elle est développée en tant que partie de la géométrie solide, on utilise des points, des lignes droites et des plans (au sens euclidien) dans l'espace environnant.

En géométrie sphérique, les angles sont définis entre les grands cercles, ce qui donne lieu à une trigonométrie sphérique qui diffère de la trigonométrie ordinaire à de nombreux égards ; par exemple, la somme des angles intérieurs d'un triangle sphérique dépasse 180 degrés.

Parce qu'une sphère et un plan diffèrent géométriquement, la géométrie sphérique (intrinsèque) présente certaines caractéristiques d'une géométrie non-euclidienne et est parfois décrite comme telle. Cependant, la géométrie sphérique n'était pas considérée comme une géométrie non-euclidienne à part entière suffisante pour résoudre l'ancien problème de savoir si le postulat des parallèles est une conséquence logique du reste des axiomes d'Euclide de la géométrie plane, car elle nécessite la modification d'un autre axiome. La résolution a été trouvée à la place dans la géométrie elliptique , à laquelle la géométrie sphérique est étroitement liée, et dans la géométrie hyperbolique ; chacune de ces nouvelles géométries apporte une modification différente au postulat des parallèles.

Les principes de chacune de ces géométries peuvent être étendus à n’importe quel nombre de dimensions.

Une géométrie importante, apparentée à celle de la sphère, est celle du plan projectif réel ; il s'obtient en identifiant des points antipodaux (paires de points opposés) sur la sphère. Localement, le plan projectif possède toutes les propriétés de la géométrie sphérique, mais il possède des propriétés globales différentes. En particulier, il est non orientable , ou unilatéral, et contrairement à la sphère il ne peut être dessiné comme une surface dans l'espace à 3 dimensions sans s'intersecter lui-même.

Les concepts de géométrie sphérique peuvent également être appliqués à la sphère oblongue , bien que des modifications mineures doivent être apportées à certaines formules.

Le premier ouvrage mathématique de l'Antiquité parvenu jusqu'à nous est Sur la sphère tournante (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphaïras ) d' Autolycus de Pitane , qui vécut à la fin du IVe siècle av. J.-C.

La trigonométrie sphérique a été étudiée par les premiers mathématiciens grecs tels que Théodose de Bithynie , un astronome et mathématicien grec qui a écrit Sphériques , un livre sur la géométrie de la sphère, et Ménélas d'Alexandrie , qui a écrit un livre sur la trigonométrie sphérique appelé Sphaerica et a développé le théorème de Ménélas .

Le Livre des arcs de sphère inconnus écrit par le mathématicien musulman Al-Jayyani est considéré comme le premier traité de trigonométrie sphérique. Le livre contient des formules pour les triangles rectangles, la loi générale des sinus et la solution d'un triangle sphérique au moyen du triangle polaire.

Le livre Des triangles de Regiomontanus , écrit vers 1463, est le premier ouvrage purement trigonométrique en Europe. Cependant, Gerolamo Cardano a noté un siècle plus tard qu'une grande partie de son matériel sur la trigonométrie sphérique était tiré de l'ouvrage du XIIe siècle de l' érudit andalou Jabir ibn Aflah .

Leonhard Euler a publié une série de mémoires importants sur la géométrie sphérique :

• L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, p. 233-257 ; Opéra Omnia, Série 1, vol. XXVII, p. 277-308.
• L. Euler, Éléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, p. 258-293 ; Opéra Omnia, Série 1, vol. XXVII, p. 309-339.
• L. Euler, De curva rectificabili in surface sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, pp. Opera Omnia, série 1, volume 28, pp.
• L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 2, 1781, p. 31-54 ; Opéra Omnia, série 1, vol. XXVI, p. 204-223.
• L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 4, 1783, p. 91-96 ; Opéra Omnia, Série 1, vol. XXVI, p. 237-242.
• L. Euler, Geographica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, p. 96-114 ; Opéra Omnia, Série 1, vol. XXVI, p. 344-358.
• L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 3, 1782, p. 72-86 ; Opéra Omnia, Série 1, vol. XXVI, p. 224-236.
• L. Euler, Variae spéculations super zone triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 10, 1797, p. 47-62 ; Opéra Omnia, Série 1, vol. XXIX, p. 253-266.

La géométrie sphérique a les propriétés suivantes :

• Deux grands cercles quelconques se coupent en deux points diamétralement opposés, appelés points antipodaux .
• Deux points qui ne sont pas des points antipodaux déterminent un grand cercle unique.
• Il existe une unité naturelle de mesure d'angle (basée sur une révolution), une unité naturelle de longueur (basée sur la circonférence d'un grand cercle) et une unité naturelle d'aire (basée sur l'aire de la sphère).
• Chaque grand cercle est associé à une paire de points antipodaux, appelés ses pôles , qui sont les intersections communes de l'ensemble des grands cercles qui lui sont perpendiculaires. Cela montre qu'un grand cercle est, par rapport à la mesure de distance à la surface de la sphère , un cercle : le lieu des points tous situés à une distance spécifique d'un centre.
• Chaque point est associé à un grand cercle unique, appelé cercle polaire du point, qui est le grand cercle sur le plan passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au diamètre de la sphère passant par le point donné.

Comme il existe deux arcs déterminés par une paire de points qui ne sont pas antipodaux sur le grand cercle qu'ils déterminent, trois points non colinéaires ne déterminent pas un triangle unique. Cependant, si l'on considère uniquement les triangles dont les côtés sont des arcs mineurs de grands cercles, on a les propriétés suivantes :

• La somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° et inférieure à 540°.
• L'aire d'un triangle est proportionnelle à l'excédent de la somme de ses angles sur 180°.
• Deux triangles ayant la même somme d'angles ont une aire égale.
• Il existe une limite supérieure pour l’aire des triangles.
• La composition (produit) de deux réflexions sur un grand cercle peut être considérée comme une rotation autour de l'un ou l'autre des points d'intersection de leurs axes.
• Deux triangles sont congruents si et seulement s'ils correspondent par un produit fini de telles réflexions.
• Deux triangles dont les angles correspondants sont égaux sont congruents (c'est-à-dire que tous les triangles semblables sont congruents).

Si l'on entend par « ligne » le grand cercle, la géométrie sphérique n'obéit qu'à deux des cinq postulats d'Euclide : le deuxième postulat (« produire [étendre] une ligne droite finie de manière continue en ligne droite ») et le quatrième postulat (« que tous les angles droits sont égaux entre eux »). Cependant, elle viole les trois autres. Contrairement au premier postulat (« qu'entre deux points quelconques, il existe un unique segment de ligne les reliant »), il n'existe pas de chemin le plus court unique entre deux points quelconques ( les points antipodaux tels que les pôles nord et sud sur un globe sphérique sont des contre-exemples) ; contrairement au troisième postulat, une sphère ne contient pas de cercles de rayon arbitrairement grand ; et contrairement au cinquième postulat (parallèle) , il n'existe aucun point par lequel une ligne puisse être tracée qui ne coupe jamais une ligne donnée.

Une affirmation équivalente au postulat des parallèles est qu'il existe un triangle dont la somme des angles est égale à 180°. Comme la géométrie sphérique viole le postulat des parallèles, il n'existe pas de triangle de ce type sur la surface d'une sphère. La somme des angles d'un triangle sur une sphère est de 180°(1 + 4 f ) , où f est la fraction de la surface de la sphère qui est entourée par le triangle. Pour toute valeur positive de f , cela dépasse 180°.