Postulat parallèle

En géométrie , le postulat des parallèles est le cinquième postulat des Éléments d'Euclide et un axiome fondamental de la géométrie euclidienne . Il stipule qu'en géométrie bidimensionnelle :

Si une droite coupe deux autres droites en formant deux angles intérieurs du même côté qui sont inférieurs à deux angles droits , alors les deux droites, si elles sont prolongées indéfiniment, se rejoignent du côté où la somme des angles est inférieure à deux angles droits.

Cela peut également être formulé comme suit :

Si une droite coupe deux autres droites, la somme des deux angles intérieurs du même côté est inférieure à deux angles droits si et seulement si les deux droites, prolongées indéfiniment, se rejoignent de ce côté.

La différence entre les deux formulations réside dans la réciproque de la première formulation :

Si une droite coupe deux autres droites qui se coupent d'un côté de la première droite, la somme des deux angles intérieurs de ce côté est inférieure à deux angles droits.

Cette dernière affirmation est démontrée dans les Éléments d'Euclide à partir du fait que deux droites distinctes ont au plus un point d'intersection. Réciproquement, cette affirmation implique que deux droites distinctes ne peuvent avoir deux points d'intersection (tracez une droite passant par les deux points d'intersection et appliquez l'affirmation aux deux côtés de cette droite).

Cette formulation originale du postulat ne parle pas explicitement des droites parallèles ; cependant, sa réciproque et la seconde formulation impliquent l’existence de droites parallèles, puisque si la somme des angles intérieurs est égale à deux angles droits, alors les deux droites ne se coupent pas. Euclide a donné la définition des droites parallèles dans le Livre I, Définition 23 juste avant les cinq postulats.

La géométrie euclidienne est une géométrie qui satisfait tous les axiomes d'Euclide, y compris le postulat des parallèles et sa réciproque. Les géométries non euclidiennes sont celles qui ne satisfont pas le second postulat. Une géométrie hyperbolique est une géométrie qui ne satisfait pas le postulat initial. Une géométrie elliptique est une géométrie qui ne satisfait pas la réciproque du postulat. En particulier, en géométrie sphérique , deux droites se coupent en exactement deux points.

Le postulat a longtemps été considéré comme évident, voire inévitable, mais sa démonstration restait difficile. On a finalement découvert qu'en inversant le postulat, on obtenait des géométries valides, quoique différentes. Une géométrie où le postulat des parallèles, ou sa réciproque, n'est pas vérifié est appelée géométrie non euclidienne . Une géométrie indépendante du cinquième postulat d'Euclide et qui suppose que deux droites distinctes ont au plus un point d'intersection (c'est-à-dire qui ne suppose que l'équivalent moderne des quatre premiers postulats) est appelée géométrie absolue (ou parfois « géométrie neutre »).

Dans un plan, étant donné une droite et un point qui n'est pas sur celle-ci, au plus une droite parallèle à la droite donnée peut être tracée à travers ce point.

Cet axiome, pris isolément, n'est pas logiquement équivalent au postulat des parallèles euclidiens, puisqu'il existe des géométries où l'un est vrai et l'autre faux. Cependant, en présence des autres axiomes qui définissent la géométrie euclidienne, l'un peut servir à démontrer l'autre ; ils sont donc équivalents dans le contexte de la géométrie absolue .

De nombreuses autres formulations équivalentes au postulat des parallèles ont été proposées, certaines semblant de prime abord sans rapport avec le parallélisme, et d'autres paraissant si évidentes qu'elles ont été inconsciemment admises par ceux qui prétendaient avoir démontré le postulat des parallèles à partir des autres postulats d'Euclide. Parmi ces formulations équivalentes, on peut citer :

1. Il existe une et une seule droite parallèle à une autre passant par un point extérieur. ( Axiome de Playfair )
2. La somme des angles de tout triangle est de 180° ( postulat du triangle ).
3. Il existe un triangle dont la somme des angles est égale à 180°.
4. La somme des angles est la même pour tous les triangles.
5. Il existe une paire de triangles semblables , mais non congruents .
6. Tout triangle peut être circonscrit .
7. Si trois angles d'un quadrilatère sont droits , alors le quatrième angle est également droit.
8. Il existe un quadrilatère dans lequel tous les angles sont droits, c'est-à-dire un rectangle .
9. Il existe deux lignes droites qui sont à distance constante l'une de l'autre.
10. Deux droites parallèles à une même droite sont également parallèles entre elles.
11. Dans un triangle rectangle , le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ( théorème de Pythagore ).
12. La loi des cosinus , une généralisation du théorème de Pythagore.
13. L' aire d'un triangle n'a pas de limite supérieure . ( Axiome de Wallis )
14. Les angles au sommet du quadrilatère de Saccheri sont de 90°.
15. Si une droite coupe l'une des deux droites parallèles, toutes deux coplanaires avec la droite d'origine, alors elle coupe également l'autre. ( Axiome de Proclus )

Cependant, les alternatives utilisant le mot « parallèle » perdent de leur simplicité lorsqu'il faut préciser laquelle des quatre définitions courantes de « parallèle » est visée : séparation constante, absence d'intersection, angles identiques lorsqu'une troisième droite les traverse , ou angles identiques lorsqu'une troisième droite les traverse . En effet, l'équivalence de ces quatre définitions constitue une présupposition implicite, équivalente au cinquième postulat d'Euclide. Dans la liste ci-dessus, le terme « parallèle » désigne toujours des droites non sécantes. Par exemple, si l'on interprète « séparation constante » ou « angles identiques lorsqu'une troisième droite les traverse » dans l'axiome de Playfair, alors cet axiome n'est plus équivalent au cinquième postulat d'Euclide et se démontre à partir des quatre premiers (l'axiome affirme : « Il existe au plus une droite… », ce qui est cohérent avec l'inexistence de telles droites). Cependant, si l'on considère comme parallèles des droites qui ne se coupent pas, ou qui sont coupées par une droite formant les mêmes angles, l'axiome de Playfair est contextuellement équivalent au cinquième postulat d'Euclide et est donc logiquement indépendant des quatre premiers postulats. Notons que les deux dernières définitions ne sont pas équivalentes, car en géométrie hyperbolique, la seconde définition n'est valable que pour les droites ultraparallèles .

Dès le départ, le postulat fut contesté, car il était démontrable et, par conséquent, non postulat. Pendant plus de deux mille ans, de nombreuses tentatives furent faites pour démontrer (dériver) le postulat parallèle à partir des quatre premiers postulats d'Euclide. La principale raison pour laquelle une telle démonstration était si recherchée était que, contrairement aux quatre premiers postulats, le postulat parallèle n'est pas évident. Si l'ordre dans lequel les postulats sont énumérés dans les Éléments est significatif, cela indique qu'Euclide n'a inclus ce postulat que lorsqu'il s'est rendu compte qu'il ne pouvait ni le démontrer ni poursuivre son raisonnement sans lui. De nombreuses tentatives furent faites pour démontrer le cinquième postulat à partir des quatre autres, et nombre d'entre elles furent longtemps acceptées comme démonstrations, jusqu'à ce que l'erreur soit découverte. Invariablement, l'erreur consistait à supposer une propriété « évidente » qui s'avérait équivalente au cinquième postulat (l' axiome de Playfair ). Bien que connue depuis l'époque de Proclus, cette notion fut appelée axiome de Playfair après la publication, en 1795, d'un célèbre commentaire de John Playfair sur Euclide, dans lequel il proposait de remplacer le cinquième postulat d'Euclide par son propre axiome. Aujourd'hui, plus de deux mille deux cents ans plus tard, le cinquième postulat d'Euclide demeure un postulat.

Proclus (410-485) a écrit un commentaire sur les Éléments où il commente les tentatives de démonstration visant à déduire le cinquième postulat des quatre autres ; il note notamment que Ptolémée avait produit une « démonstration » erronée. Proclus propose ensuite sa propre démonstration, elle aussi erronée. Il énonce cependant un postulat équivalent au cinquième postulat.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), mathématicien arabe , a tenté de démontrer le postulat des parallèles par l'absurde [ introduisant ainsi les concepts de mouvement et de transformation en géométrie . Il a formulé le quadrilatère de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld nomme le « quadrilatère d'Ibn al-Haytham-Lambert » , et sa tentative de démonstration présente des éléments similaires à ceux des quadrilatères de Lambert et de l'axiome de Playfair .

Le mathématicien, astronome, philosophe et poète persan Omar Khayyam (1050-1123) tenta de démontrer le cinquième postulat à partir d'un autre postulat explicitement énoncé (fondé sur le quatrième des cinq principes attribués au Philosophe ( Aristote ) : « Deux droites convergentes se coupent et il est impossible que deux droites convergentes divergent dans la direction de leur convergence. » Il en déduisit certains résultats antérieurs relatifs à la géométrie elliptique et à la géométrie hyperbolique , bien que son postulat exclue cette dernière possibilité. Le quadrilatère de Saccheri fut également étudié pour la première fois par Omar Khayyam à la fin du XIe siècle, dans le Livre I des Explications des difficultés des postulats d'Euclide . Contrairement à de nombreux commentateurs d'Euclide avant et après lui (dont Giovanni Girolamo Saccheri ), Khayyam ne cherchait pas à démontrer le postulat des parallèles en tant que tel, mais à le déduire de son équivalent. Il reconnut que trois possibilités découlaient de l'omission du cinquième postulat d'Euclide : si deux perpendiculaires à une droite coupent une autre droite, un choix judicieux de cette dernière permet d'égaliser les angles internes formés par ces deux perpendiculaires (elle est alors parallèle à la première droite). Si ces angles internes égaux sont droits, on retrouve le cinquième postulat d'Euclide ; sinon, ils sont soit aigus, soit obtus. Il démontra que les cas aigus et obtus menaient à des contradictions avec son postulat, mais on sait aujourd'hui que ce dernier est équivalent au cinquième postulat.

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), dans son ouvrage *Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya * ( Discussion qui dissipe le doute sur les droites parallèles ) (1250), a rédigé des critiques détaillées du postulat des parallèles et de la tentative de démonstration de Khayyam un siècle auparavant. Nasir al-Din a tenté de démontrer le postulat des parallèles par l'absurde. Il a également examiné les cas de ce que l'on appelle aujourd'hui la géométrie elliptique et hyperbolique, tout en les réfutant.

Le fils de Nasir al-Din, Sadr al-Din, publia en 1298 un ouvrage sur le sujet, s'appuyant sur les réflexions ultérieures de son père. Ce livre présentait l'un des premiers arguments en faveur d'une hypothèse non euclidienne équivalente au postulat des parallèles. « Il y révisa en profondeur le système euclidien d'axiomes et de postulats, ainsi que les démonstrations de nombreuses propositions des Éléments . » Son ouvrage fut publié à Rome en 1594 et étudié par les géomètres européens. Il marqua le point de départ des travaux de Saccheri sur le sujet , qui s'ouvraient sur une critique de l'œuvre de Sadr al-Din et de celle de Wallis.

Giordano Vitale (1633-1711), dans son ouvrage Euclide restituto (1680, 1686), utilisa le quadrilatère de Khayyam-Saccheri pour démontrer que si trois points sont équidistants sur la base AB et le sommet CD, alors AB et CD sont partout équidistants. Girolamo Saccheri (1667-1733) poursuivit ce raisonnement de manière plus approfondie, aboutissant à l'absurdité du cas obtus (en partant, comme Euclide, de l'hypothèse implicite que les droites peuvent être prolongées indéfiniment et ont une longueur infinie), mais sans parvenir à réfuter le cas aigu (bien qu'il se soit persuadé, à tort, d'y être parvenu).

En 1766, Johann Lambert écrivit, sans la publier, la Théorie des Parallellinien, dans laquelle il tentait, comme Saccheri, de démontrer le cinquième postulat. Il travaillait avec une figure que l'on appelle aujourd'hui un quadrilatère de Lambert , un quadrilatère possédant trois angles droits (que l'on peut considérer comme la moitié d'un quadrilatère de Saccheri). Il écarta rapidement la possibilité que le quatrième angle soit obtus, comme l'avaient fait Saccheri et Khayyám, puis entreprit de démontrer de nombreux théorèmes sous l'hypothèse d'un angle aigu. Contrairement à Saccheri, il ne pensa jamais aboutir à une contradiction avec cette hypothèse. Il avait démontré le résultat non euclidien selon lequel la somme des angles d'un triangle augmente lorsque l'aire du triangle diminue, ce qui l'amena à envisager la possibilité d'un modèle du cas aigu sur une sphère de rayon imaginaire. Il n'approfondit pas cette idée.

Là où Khayyam et Saccheri avaient tenté de démontrer le cinquième théorème d'Euclide en réfutant les seules alternatives possibles, le XIXe siècle vit enfin les mathématiciens explorer ces alternatives et découvrir les géométries logiquement cohérentes qui en résultent. En 1829, Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski publia un exposé de la géométrie aiguë dans une obscure revue russe (réédité plus tard en 1840 en allemand). En 1831, János Bolyai inclua, dans un ouvrage de son père, une annexe décrivant la géométrie aiguë, qu'il avait sans doute développée indépendamment de Lobatchevski. Carl Friedrich Gauss avait également étudié le problème, mais il ne publia aucun de ses résultats. Ayant pris connaissance des résultats de Bolyai dans une lettre du père de ce dernier, Farkas Bolyai , Gauss déclara :

Si je commençais par dire que je suis incapable de louer cet ouvrage, vous seriez certainement surpris un instant. Mais je ne peux dire autrement. Le louer reviendrait à me louer moi-même. En effet, tout le contenu de l’ouvrage, le chemin suivi par votre fils, les résultats auxquels il parvient, coïncident presque entièrement avec mes méditations, qui ont occupé mon esprit en partie ces trente ou trente-cinq dernières années.

Les géométries ainsi obtenues furent ensuite développées par Lobachevsky , Riemann et Poincaré en géométrie hyperbolique (cas aigu) et en géométrie elliptique (cas obtus). L' indépendance du postulat des parallèles par rapport aux autres axiomes d'Euclide fut finalement démontrée par Eugenio Beltrami en 1868.

Euclide n'a pas postulé la réciproque de son cinquième postulat, ce qui permet de distinguer la géométrie euclidienne de la géométrie elliptique . Les Éléments contiennent la démonstration d'un énoncé équivalent (Livre I, Proposition 27) : si une droite coupant deux droites forme des angles alternes-internes égaux, alors ces droites sont parallèles. Comme l'a souligné De Morgan , cet énoncé est logiquement équivalent à (Livre I, Proposition 16). Ces résultats ne dépendent pas du cinquième postulat, mais ils requièrent le deuxième postulat , qui est violé en géométrie elliptique.

Les tentatives de démonstration logique du postulat des parallèles, plutôt que de la quatrième notion commune d'Euclide (selon laquelle les figures qui coïncident sont égales), ont été critiquées par Arthur Schopenhauer dans Le Monde comme volonté et comme idée . Cependant, l'argument de Schopenhauer était que le postulat est évident par la perception, et non qu'il ne découle pas logiquement des autres axiomes.

Le postulat des parallèles est équivalent à la conjonction du Lotschnittaxiome et de l' axiome d'Aristote . Le premier stipule que les perpendiculaires aux côtés d'un angle droit se coupent, tandis que le second stipule qu'il n'existe pas de limite supérieure pour les longueurs des distances entre les côtés opposés d'un angle. Comme démontré dans le postulat des parallèles est équivalent à la conjonction des formulations géométriques d'incidence suivantes du Lotschnittaxiome et de l' axiome d'Aristote :

Étant donné trois droites parallèles, il existe une droite qui les coupe toutes les trois.

Étant donné une ligne a et deux lignes distinctes qui se croisent m et n , chacune différente de a , il existe une ligne g qui croise a et m , mais pas n .

La division du postulat parallèle en la conjonction de ces axiomes d'incidence-géométrique n'est possible qu'en présence de la géométrie absolue .