Worldlex Wiki En mathématiques , on dit qu'un objet mathématique satisfait une propriété localement si cette propriété est satisfaite sur certaines portions limitées et immédiates de l'objet (par exemple, sur certains voisinages de points suffisamment petits ou arbitrairement petits ).
minimum local (ou maximum local ), qui désigne un point d'une fonction dont la valeur est minimale (resp. maximale) dans un voisinage immédiat de points. Ce concept s'oppose à celui de minimum global (ou maximum global), qui correspond au minimum (resp. au maximum) de la fonction sur l'ensemble de son domaine.Propriétés d'un espace unique
On dit parfois qu'un espace topologique présente une propriété localement si cette propriété est manifestée « près » de chaque point de l'une des manières suivantes :
- Chaque point possède un quartier présentant la propriété ;
- Chaque point possède une base de voisinage composée d'ensembles présentant la propriété.
Il convient de noter que la condition (2) est généralement plus restrictive que la condition (1) et qu'il faut redoubler de prudence pour les distinguer. Par exemple, la définition de « localement compact » peut varier selon le choix de ces conditions.
Exemples
- Espaces topologiques localement compacts
- Espaces topologiques localement connexes et localement connexes par chemin
- Localement Hausdorff , localement régulier, localement normal , etc.
- Métrisable localement
Propriétés d'une paire d'espaces
Étant donné une certaine notion d'équivalence (par exemple, homéomorphisme , difféomorphisme , isométrie ) entre espaces topologiques , deux espaces sont dits localement équivalents si chaque point du premier espace a un voisinage qui est équivalent à un voisinage du second espace.
Par exemple, le cercle et la droite sont des objets très différents. On ne peut pas étirer le cercle pour qu'il ressemble à la droite, ni comprimer la droite pour qu'elle s'ajuste au cercle sans espace ni chevauchement. Cependant, on peut étirer et aplatir un petit segment de cercle pour qu'il ressemble à un petit segment de droite. C'est pourquoi on peut dire que le cercle et la droite sont localement équivalents.
De même, la sphère et le plan sont localement équivalents. Un observateur suffisamment petit, placé à la surface d'une sphère (par exemple, une personne et la Terre), ne la distinguerait pas d'un plan.
Propriétés des groupes infinis
Pour un groupe infini , un « petit voisinage » est un sous-groupe de type fini . Un groupe infini est dit localement P si tout sous-groupe de type fini est P. Par exemple, un groupe est localement fini si tout sous-groupe de type fini est fini, et un groupe est localement résoluble si tout sous-groupe de type fini est résoluble .
Propriétés des groupes finis
Pour les groupes finis , un « petit voisinage » est défini comme un sous-groupe à l'aide d'un nombre premier p , généralement les sous-groupes locaux , les normalisateurs des p- sous-groupes non triviaux . Dans ce cas, une propriété est dite locale si elle peut être détectée à partir des sous-groupes locaux. Les propriétés globales et locales ont constitué une part importante des premiers travaux sur la classification des groupes simples finis , menés dans les années 1960.