Espace normal localement

En mathématiques , et particulièrement en topologie , un espace topologique X est localement normal s'il ressemble intuitivement localement à un espace normal . Plus précisément, un espace localement normal satisfait la propriété selon laquelle chaque point de l'espace appartient à un voisinage de l'espace qui est normal sous la topologie du sous-espace .

Un espace topologique X est dit localement normal si et seulement si chaque point, x , de X a un voisinage qui est normal sous la topologie du sous-espace .

Notez que tous les voisinages de x ne doivent pas nécessairement être normaux, mais au moins un voisinage de x doit être normal (selon la topologie du sous-espace).

Notez cependant que si un espace était appelé localement normal si et seulement si chaque point de l'espace appartenait à un sous-ensemble de l'espace qui était normal sous la topologie du sous-espace, alors tout espace topologique serait localement normal. En effet, le singleton { x } est vide de normalité et contient x . Par conséquent, la définition est plus restrictive.

• Tout espace T1 localement normal est localement régulier et localement Hausdorff .
• Un espace de Hausdorff localement compact est toujours localement normal.
• Un espace normal est toujours localement normal.
• Un espace T1 n’a pas besoin d’être localement normal comme le montre l’ensemble de tous les nombres réels dotés de la topologie cofinie .