calcul d'échelle de temps

En mathématiques , le calcul des échelles de temps unifie la théorie des équations aux différences finies et celle des équations différentielles , unifiant ainsi le calcul intégral et différentiel avec le calcul des différences finies et offrant un formalisme pour l'étude des systèmes hybrides . Il trouve des applications dans tout domaine nécessitant la modélisation simultanée de données discrètes et continues . Il propose une nouvelle définition de la dérivée : la dérivée d'une fonction définie sur les nombres réels est équivalente à la dérivée standard, tandis que celle d'une fonction définie sur les entiers est équivalente à l' opérateur de différence progressive .

De nombreux résultats concernant les équations différentielles se transposent aisément aux résultats correspondants pour les équations aux différences finies, tandis que d'autres semblent totalement différents de leurs homologues continus . L'étude des équations dynamiques sur les échelles de temps révèle ces divergences et permet d'éviter de démontrer deux fois les mêmes résultats : une fois pour les équations différentielles et une autre fois pour les équations aux différences finies. L'idée générale est de démontrer un résultat pour une équation dynamique dont le domaine de la fonction inconnue est une échelle de temps (ou ensemble de temps), qui peut être un sous-ensemble fermé quelconque des nombres réels. Ainsi, les résultats s'appliquent non seulement à l' ensemble des nombres réels ou à l'ensemble des entiers , mais aussi à des échelles de temps plus générales, comme un ensemble de Cantor .

Les trois exemples les plus courants de calcul sur des échelles de temps sont le calcul différentiel , le calcul aux différences finies et le calcul quantique . Les équations dynamiques sur une échelle de temps offrent des applications potentielles, notamment en dynamique des populations . Elles permettent par exemple de modéliser des populations d'insectes qui évoluent continuellement au cours des saisons, disparaissent en hiver pendant l'incubation ou la dormance de leurs œufs, puis éclosent à la saison suivante, donnant naissance à une population distincte.

Une échelle de temps (ou chaîne de mesures ) est un sous-ensemble fermé de la droite réelle . La notation courante pour une échelle de temps générale est .

Les deux exemples les plus courants d’échelles de temps sont les nombres réels et l’ échelle de temps discrète .

Un point unique sur une échelle de temps est défini comme :

Opérations sur des échelles de temps

Les opérateurs de saut avant et de saut arrière représentent respectivement le point le plus proche dans l'échelle de temps à droite et à gauche d'un point donné . Formellement :

t\\}" $t\backslash \sigma \left(t\right)=inf\{s\in T:s>t\}$t\ (opérateur de déplacement avant/de saut)

(opérateur de décalage arrière/saut)

La granularité correspond à la distance entre un point et le point le plus proche à droite et est donnée par :

Pour une densité à droite , et . Pour une densité à gauche ,

Classification des points

Pour tout , est :

• gauche dense si
• droite dense si
• laissé dispersé si
• droite dispersée si t" $t\sigma \left(t\right)>t$t
• dense si les deux densités, à gauche et à droite, sont denses
• isolé si dispersé à gauche et dispersé à droite

Comme l'illustre la figure de droite :

• Le point est dense
• Les points sont denses à gauche et dispersés à droite.
• Le point est isolé
• Le point est dispersé à gauche et dense à droite.

Prenons une fonction :

(où R pourrait être n'importe quel espace de Banach , mais est fixé à la droite réelle par souci de simplicité).

Définition : La dérivée delta (ou dérivée de Hilger) existe si et seulement si :

Pour tout , il existe un voisinage tel que : 0" $0\epsilon >0$0

pour tous dedans .

Soit , , ; est la dérivée utilisée dans le calcul différentiel standard . Si (les entiers ), , , est l' opérateur de différence finie utilisé dans les équations aux différences finies .

L' intégrale delta est définie comme la primitive par rapport à la dérivée delta. Si possède une dérivée continue, on pose

On peut définir une transformée de Laplace pour les fonctions sur des échelles de temps, en utilisant la même table de transformées pour toute échelle de temps arbitraire. Cette transformée permet de résoudre des équations dynamiques sur des échelles de temps. Si l'échelle de temps est l'ensemble des entiers non négatifs, la transformée est égale à une transformée en Z modifiée .

Les équations aux dérivées partielles et les équations aux différences partielles sont unifiées en équations dynamiques partielles sur des échelles de temps.

L'intégration multiple sur les échelles de temps est traitée dans Bohner (2005).

Les équations différentielles stochastiques et les équations aux différences stochastiques peuvent être généralisées en équations dynamiques stochastiques sur des échelles de temps.

À chaque échelle de temps est associée une mesure naturelle définie par

où désigne la mesure de Lebesgue et est l' opérateur de décalage arrière défini sur . L'intégrale delta s'avère être l' intégrale de Lebesgue-Stieltjes usuelle par rapport à cette mesure

et la dérivée delta s’avère être la dérivée de Radon–Nikodym par rapport à cette mesure

Le delta de Dirac et le delta de Kronecker sont unifiés sur les échelles de temps sous la forme du delta de Hilger :

Le calcul fractionnaire sur les échelles de temps est traité dans Bastos, Mozyrska et Torres.