Worldlex Wiki En théorie des catégories , une branche des mathématiques , une catégorie fonctorielle est une catégorie dont les objets sont les foncteurs et les morphismes sont les transformations naturelles entre les foncteurs (ici, est un autre objet de la catégorie). Les catégories fonctorielles présentent un intérêt pour deux raisons principales :
- de nombreuses catégories courantes sont des catégories de foncteurs (déguisées), donc toute affirmation prouvée pour les catégories de foncteurs générales est largement applicable ;
- Chaque catégorie s'intègre dans une catégorie fonctrice (via l' intégration de Yoneda ) ; la catégorie fonctrice possède souvent des propriétés plus intéressantes que la catégorie d'origine, permettant certaines opérations qui n'étaient pas disponibles dans le contexte d'origine.
Exemples
- Si est une petite catégorie discrète (c'est-à-dire que ses seuls morphismes sont les morphismes identité), alors un foncteur de vers consiste essentiellement en une famille d'objets de , indexée par ; la catégorie des foncteurs peut être identifiée à la catégorie produit correspondante : ses éléments sont des familles d'objets dans et ses morphismes sont des familles de morphismes dans .
- Une catégorie de flèches (dont les objets sont les morphismes de , et dont les morphismes sont des carrés commutatifs dans ) est simplement , où 2 est la catégorie avec deux objets et leurs morphismes d'identité ainsi qu'une flèche d'un objet à l'autre (mais pas une autre flèche dans l'autre sens).
- Un graphe orienté est composé d'un ensemble de flèches et d'un ensemble de sommets, ainsi que de deux fonctions de l'ensemble des flèches vers l'ensemble des sommets, spécifiant le sommet de départ et le sommet d'arrivée de chaque flèche. La catégorie de tous les graphes orientés n'est autre que la catégorie des foncteurs , où est la catégorie munie de deux objets reliés par deux morphismes parallèles (source et cible), et Set désigne la catégorie des ensembles . Dans cette perspective, de tels graphes orientés sont souvent appelés carquois .
- Tout groupe peut être considéré comme une catégorie à un seul objet dans laquelle tout morphisme est inversible. La catégorie de tous les -ensembles est identique à la catégorie des foncteurs Set . Les transformations naturelles sont des -applications .
- Comme dans l’exemple précédent, la catégorie des représentations K -linéaires du groupe est la même que la catégorie des foncteurs Vect K (où Vect K désigne la catégorie de tous les espaces vectoriels sur le corps K ).
- Tout anneau peut être considéré comme une catégorie préadditive à un seul objet ; la catégorie des modules à gauche sur est la même que la catégorie des foncteurs additifs Add( , ) (où désigne la catégorie des groupes abéliens ), et la catégorie des modules à droite est Add( , ). De ce fait, pour toute catégorie préadditive , la catégorie Add( , ) est parfois appelée la « catégorie des modules à gauche sur » et Add( , ) la « catégorie des modules à droite sur ».
- La catégorie des préfaisceaux sur un espace topologique est une catégorie de foncteurs : on transforme l’espace topologique en une catégorie dont les objets sont les ouverts de et qui admet un unique morphisme de vers si et seulement si est inclus dans . La catégorie des préfaisceaux d’ensembles (groupes abéliens, anneaux) sur est alors identique à la catégorie des foncteurs contravariants de vers (ou ou ). De ce fait, la catégorie Funct( , ) est parfois appelée « catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur », même pour des catégories générales ne provenant pas d’un espace topologique. Pour définir des faisceaux sur une catégorie générale , il faut une structure supplémentaire : une topologie de Grothendieck sur . (Certains auteurs appellent catégories de préfaisceaux les catégories équivalentes à . )
Faits
La plupart des constructions réalisables dans peuvent également l'être dans en les effectuant « composante par composante », séparément pour chaque objet de . Par exemple, si deux objets quelconques et de ont un produit , alors deux foncteurs quelconques et de ont un produit , défini par pour tout objet de . De même, si est une transformation naturelle et que chaque a un noyau dans la catégorie , alors le noyau de dans la catégorie des foncteurs est le foncteur avec pour tout objet de .
En conséquence, nous avons la règle générale selon laquelle la catégorie des foncteurs partage la plupart des propriétés « intéressantes » de :
- si est complet (ou cocomplet), alors l'est aussi ;
- si est une catégorie abélienne , alors l'est aussi ;
Nous avons également :
- si est une petite catégorie quelconque, alors la catégorie des préfaisceaux est un topos .
Ainsi, à partir des exemples précédents, nous pouvons conclure immédiatement que les catégories de graphes orientés, d'ensembles et de préfaisceaux sur un espace topologique sont toutes des topos complets et cocomplets, et que les catégories de représentations de , de modules sur l'anneau , et de préfaisceaux de groupes abéliens sur un espace topologique sont toutes abéliennes, complètes et cocomplètes.
L'immersion de la catégorie dans une catégorie de foncteurs mentionnée précédemment utilise le lemme de Yoneda comme outil principal. Pour tout objet de , soit le foncteur contravariant représentable de vers . Le lemme de Yoneda stipule que l'affectation
est un plongement complet de la catégorie dans la catégorie Funct( , ). Donc, naturellement, elle se trouve à l'intérieur d'un topos.
On peut procéder de la même manière pour toute catégorie préadditive : Yoneda fournit alors un plongement complet de dans la catégorie des foncteurs Add( , ). Ainsi, appartient naturellement à une catégorie abélienne.
L'intuition mentionnée plus haut (selon laquelle les constructions réalisables dans peuvent être « étendues » à ) peut être précisée de plusieurs manières ; la formulation la plus concise utilise le langage des foncteurs adjoints . Tout foncteur induit un foncteur (par composition avec ). Si et forment une paire de foncteurs adjoints, alors et forment également une paire de foncteurs adjoints.
La catégorie des foncteurs possède toutes les propriétés formelles d'un objet exponentiel ; en particulier, les foncteurs de sont en correspondance biunivoque naturelle avec les foncteurs de vers . La catégorie de toutes les petites catégories dont les foncteurs sont des morphismes est donc une catégorie cartésienne fermée .