Logique

La logique étudie les formes valides d'inférence comme le modus ponens .

La logique est l'étude du raisonnement correct . Elle comprend la logique formelle et la logique informelle . La logique formelle étudie les inférences déductives valides , ou vérités logiques . Elle examine comment les conclusions découlent des prémisses en se basant uniquement sur la structure des arguments, indépendamment de leur sujet et de leur contenu. La logique informelle est associée aux sophismes informels , à la pensée critique et à la théorie de l'argumentation . Elle examine les arguments exprimés en langage naturel, tandis que la logique formelle utilise un langage formel . Employé comme nom dénombrable , le terme « logique » désigne un système logique formel spécifique qui articule un système de preuve . La logique joue un rôle central dans de nombreux domaines, tels que la philosophie , les mathématiques , l'informatique et la linguistique .

La logique étudie les arguments , qui consistent en un ensemble de prémisses menant à une conclusion . Par exemple, l'argument partant des prémisses « c'est dimanche » et « si c'est dimanche, alors je n'ai pas à travailler » aboutit à la conclusion « je n'ai pas à travailler ». Les prémisses et les conclusions expriment des propositions ou des affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Une caractéristique importante des propositions est leur structure interne. Par exemple, les propositions complexes sont composées de propositions plus simples reliées par un vocabulaire logique . $(et) ou (Si\dots alors). Les propositions simples comportent également des éléments, comme « dimanche » ou « travail » dans l'exemple. La vérité d'une proposition dépend généralement du sens de chacun de ses éléments. Cependant, ce n'est pas le cas des propositions logiquement vraies. Elles sont vraies uniquement grâce à leur structure logique, indépendamment du sens précis de leurs éléments individuels.$

Les arguments peuvent être corrects ou incorrects. Un argument est correct si ses prémisses soutiennent sa conclusion. Les arguments déductifs possèdent le soutien le plus solide : si leurs prémisses sont vraies, alors leur conclusion l’est également. Ce n’est pas le cas des arguments ampliatifs , qui aboutissent à des informations véritablement nouvelles, absentes des prémisses. De nombreux arguments, tant dans le langage courant que dans les sciences, sont des arguments ampliatifs. On les divise en arguments inductifs et abductifs . Les arguments inductifs sont des généralisations statistiques, comme le fait de déduire que tous les corbeaux sont noirs à partir de nombreuses observations individuelles de corbeaux noirs. Les arguments abductifs sont des inférences visant à trouver la meilleure explication, par exemple, lorsqu’un médecin conclut qu’un patient souffre d’une certaine maladie qui explique les symptômes dont il présente. Les arguments qui ne respectent pas les normes d’un raisonnement correct contiennent souvent des sophismes . Les systèmes logiques sont des cadres théoriques permettant d’évaluer la validité des arguments.

La logique est étudiée depuis l'Antiquité . Parmi les premières approches figurent la logique aristotélicienne , la logique stoïcienne , la Nyaya et le mohisme . La logique aristotélicienne se concentre sur le raisonnement sous forme de syllogismes . Elle fut considérée comme le principal système logique du monde occidental jusqu'à son remplacement par la logique formelle moderne, dont les racines remontent aux travaux de mathématiciens de la fin du XIXe siècle, tels que Gottlob Frege . Aujourd'hui, le système le plus couramment utilisé est la logique classique . Elle se compose de la logique propositionnelle et de la logique du premier ordre . La logique propositionnelle ne considère que les relations logiques entre propositions complètes. La logique du premier ordre prend également en compte les éléments internes des propositions, comme les prédicats et les quantificateurs . Les logiques étendues reprennent les intuitions fondamentales de la logique classique et les appliquent à d'autres domaines, tels que la métaphysique , l'éthique et l'épistémologie , en tant que cadres de raisonnement sur ce qui est possible ou nécessaire , ce qui est ou devrait être , et ce qui est cru ou connu . Les logiques déviantes, en revanche, rejettent certaines intuitions classiques et proposent des explications alternatives des lois fondamentales de la logique.

raison , discours ou langage . La logique est traditionnellement définie comme l'étude des lois de la pensée ou du raisonnement correct , et est généralement comprise en termes d' inférences ou d'arguments . Raisonner, c'est tirer des conclusions. Les arguments sont l'expression extérieure des inférences. Un argument est un ensemble de prémisses et une conclusion. La logique s'intéresse à la validité des arguments, c'est-à-dire à la validité de leurs prémisses par rapport à la conclusion. Ces caractérisations générales s'appliquent à la logique au sens le plus large, c'est-à-dire à la logique formelle et à la logique informelle, puisqu'elles visent toutes deux à évaluer la validité des arguments. La logique formelle est le domaine traditionnellement dominant, et certains logiciens restreignent la logique à la logique formelle.

Logique formelle

logique mathématique . Elle emploie une approche formelle pour étudier le raisonnement : elle remplace les expressions concrètes par des symboles abstraits afin d’examiner la forme logique des arguments indépendamment de leur contenu concret. En ce sens, elle est neutre sur le plan thématique puisqu’elle ne s’intéresse qu’à la structure abstraite des arguments et non à leur contenu concret.

La logique formelle s'intéresse aux arguments déductivement valides , pour lesquels la vérité des prémisses assure la vérité de la conclusion. Autrement dit, il est impossible que les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. Pour les arguments valides, la structure logique qui mène des prémisses à la conclusion suit un schéma appelé règle d'inférence . Par exemple, le modus ponens est une règle d'inférence selon laquelle tous les arguments de la forme « (1) p , (2) si p alors q , (3) donc q » sont valides, indépendamment de la signification des termes p et q . En ce sens, la logique formelle peut être définie comme la science des inférences valides. Une autre définition conçoit la logique comme l'étude des vérités logiques . Une proposition est logiquement vraie si sa vérité dépend uniquement du vocabulaire logique employé. Cela signifie que cette affirmation est vraie dans tous les mondes possibles et quelles que soient les interprétations de ses termes non logiques, comme l'affirmation « soit il pleut, soit il ne pleut pas ». Ces deux définitions de la logique formelle ne sont pas identiques, mais elles sont étroitement liées. Par exemple, si l'inférence de p à q est déductivement valide, alors l'affirmation « si p alors q » est une vérité logique.

La logique formelle utilise des langages formels pour exprimer, analyser et clarifier les arguments. Ces langages possèdent généralement un vocabulaire très limité et des règles syntaxiques précises . Ces règles spécifient comment leurs symboles peuvent être combinés pour construire des phrases, appelées formules bien formées . Cette simplicité et cette exactitude permettent à la logique formelle de formuler des règles d'inférence précises. Celles-ci déterminent la validité d'un argument donné. Du fait de son recours au langage formel, les arguments en langage naturel ne peuvent être étudiés directement. Ils doivent être traduits en langage formel avant que leur validité puisse être évaluée.

Le terme « logique » peut également être employé dans un sens légèrement différent, comme nom dénombrable. Dans ce sens, une logique est un système formel logique. Les différentes logiques se distinguent par les règles d'inférence qu'elles considèrent comme valides et par les langages formels utilisés pour les exprimer. Depuis la fin du XIXe siècle, de nombreux nouveaux systèmes formels ont été proposés. Il existe des désaccords quant à la définition même d'une logique au sein d'un système formel. Par exemple, il a été suggéré que seuls les systèmes logiquement complets , comme la logique du premier ordre , peuvent être qualifiés de logiques. Pour ces raisons, certains théoriciens nient que les logiques d'ordre supérieur soient des logiques au sens strict.

Logique informelle

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Concepts de base

Prémisses, conclusions et vérité

Prémisses et conclusions

vraies . Cela signifie qu'elles ont une valeur de vérité : elles sont soit vraies, soit fausses. La philosophie contemporaine les considère généralement comme des propositions ou des énoncés . Les propositions sont les dénotations des énoncés et sont généralement considérées comme des objets abstraits . Par exemple, la phrase anglaise « the tree is green » est différente de la phrase allemande « der Baum ist grün », mais toutes deux expriment la même proposition.

Les théories propositionnelles des prémisses et des conclusions sont souvent critiquées car elles reposent sur des objets abstraits. Par exemple, les naturalistes philosophiques rejettent généralement l'existence d'objets abstraits. D'autres arguments portent sur les difficultés liées à la spécification des critères d'identité des propositions. Ces objections sont contournées en considérant les prémisses et les conclusions non comme des propositions, mais comme des phrases, c'est-à-dire comme des objets linguistiques concrets, à l'instar des symboles figurant sur une page de livre. Cependant, cette approche soulève de nouveaux problèmes : les phrases sont souvent contextuelles et ambiguës, ce qui signifie que la validité d'un argument dépend non seulement de ses composantes, mais aussi de son contexte et de son interprétation. Une autre approche consiste à appréhender les prémisses et les conclusions en termes psychologiques, comme des pensées ou des jugements. Cette position est connue sous le nom de psychologisme . Elle a fait l'objet de nombreux débats au tournant du XXe siècle, mais elle est aujourd'hui largement contestée.

structure interne

Les prémisses et les conclusions possèdent une structure interne. En tant que propositions ou phrases, elles peuvent être simples ou complexes. Une proposition complexe a d'autres propositions comme constituants, reliées entre elles par des connecteurs propositionnels tels que « et » ou « si… alors ». Les propositions simples, quant à elles, ne comportent pas de parties propositionnelles. Cependant, elles peuvent également être conçues comme ayant une structure interne : elles sont composées de sous-propositions, comme des termes singuliers et des prédicats . Par exemple, la proposition simple « Mars est rouge » peut être formée en appliquant le prédicat « rouge » au terme singulier « Mars ». En revanche, la proposition complexe « Mars est rouge et Vénus est blanche » est composée de deux propositions simples reliées par le connecteur propositionnel « et ».

La vérité d'une proposition dépend, au moins en partie, de ses constituants. Pour les propositions complexes formées à l'aide de connecteurs propositionnels vérifonctionnels , leur vérité dépend uniquement des valeurs de vérité de leurs parties. Mais cette relation est plus complexe dans le cas des propositions simples et de leurs sous-propositions. Ces sous-propositions ont une signification propre, comme celle de désigner des objets ou des classes d'objets. La vérité de la proposition simple qu'elles forment dépend de leur rapport à la réalité, c'est-à-dire de la nature des objets auxquels elles se réfèrent. Ce sujet est étudié par les théories de la référence .

Vérité logique

logiques modales , cela signifie que la proposition est vraie dans tous les mondes possibles. Certains théoriciens définissent la logique comme l’étude des vérités logiques.

tables de vérité

Les tables de vérité permettent de montrer le fonctionnement des connecteurs logiques ou la dépendance des valeurs de vérité des propositions complexes à leurs composantes. Elles comportent une colonne pour chaque variable d'entrée. Chaque ligne correspond à une combinaison possible des valeurs de vérité que peuvent prendre ces variables ; dans les tables de vérité présentées dans la littérature anglaise, les symboles « V » et « F » ou « 1 » et « 0 » sont couramment utilisés comme abréviations des valeurs de vérité « vrai » et « faux ». Les premières colonnes présentent toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour les variables d'entrée. Les valeurs des autres colonnes présentent les valeurs de vérité des expressions correspondantes, déterminées par les valeurs d'entrée. Par exemple, l'expression utilise le connecteur logique $(et). On pourrait l'utiliser pour exprimer une phrase comme « hier c'était dimanche et il faisait beau ». C'est vrai seulement si ses deux variables d'entrée, (« hier c'était dimanche ») et (« le temps était beau ») sont vrais. Dans tous les autres cas, l’expression dans son ensemble est fausse. Voici d’autres connecteurs logiques importants : (pas), (ou), (si...alors), et (Coup de Sheffer). Étant donné la proposition conditionnelle on peut alors former des tables de vérité de sa réciproque, son inverse) , et sa contraposée ( ) , et sa contraposée vérité peuvent également être définies pour des expressions plus complexes qui utilisent plusieurs connecteurs propositionnels. Table de vérité de diverses expressions p q p \land q p \lor q p \to q \negp \to \negq TTTTTTTFFTFTFTFTTFFFFFTT$

Arguments et inférences

valide est un argument à la fois correct et dont les prémisses sont toutes vraies. On distingue parfois les arguments simples et les arguments complexes. Un argument complexe est constitué d'une chaîne d'arguments simples. Cela signifie que la conclusion d'un argument sert de prémisse aux arguments suivants. Pour qu'un argument complexe soit valide, chaque maillon de la chaîne doit l'être.

Les arguments et les inférences sont soit corrects, soit incorrects. S'ils sont corrects, leurs prémisses soutiennent leur conclusion. Dans le cas contraire, ce soutien fait défaut. Il peut prendre différentes formes selon le type de raisonnement . La forme de soutien la plus forte correspond au raisonnement déductif . Cependant, même des arguments non déductifs peuvent être valables car leurs prémisses apportent un soutien non déductif à leurs conclusions. On parle alors de raisonnement amplitif ou inductif . Les arguments déductifs relèvent de la logique formelle, contrairement aux arguments amplitifs qui relèvent de la logique informelle.

Déductif

Un argument déductivement valide est un argument dont les prémisses garantissent la vérité de sa conclusion. Par exemple, l'argument « (1) toutes les grenouilles sont des amphibiens ; (2) aucun chat n'est un amphibien ; (3) donc aucun chat n'est une grenouille » est déductivement valide. Pour la validité déductive, il importe peu que les prémisses ou la conclusion soient effectivement vraies. Ainsi, l'argument « (1) toutes les grenouilles sont des mammifères ; (2) aucun chat n'est un mammifère ; (3) donc aucun chat n'est une grenouille » est également valide car la conclusion découle nécessairement des prémisses.

Selon une conception influente d' Alfred Tarski , les arguments déductifs possèdent trois caractéristiques essentielles : (1) ils sont formels, c'est-à-dire qu'ils ne dépendent que de la forme des prémisses et de la conclusion ; (2) ils sont a priori, c'est-à-dire qu'aucune expérience sensible n'est nécessaire pour déterminer s'ils sont valides ; (3) ils sont modaux, c'est-à-dire qu'ils sont vrais par nécessité logique pour les propositions données, indépendamment de toute autre circonstance.

Du fait de sa première caractéristique, l'accent mis sur la formalité, l'inférence déductive est généralement assimilée aux règles d'inférence. Les règles d'inférence précisent la forme des prémisses et de la conclusion : comment elles doivent être structurées pour que l'inférence soit valide. Les arguments qui ne suivent aucune règle d'inférence sont déductivement invalides. Le $) et qu'après la pluie, les rues sont mouillées (), on peut utiliser).$

La troisième caractéristique peut s'exprimer en affirmant que les inférences déductives valides préservent la vérité : il est impossible que les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. De ce fait, on affirme souvent que les inférences déductives sont non informatives, car la conclusion ne peut apporter d'information nouvelle qui ne soit pas déjà présente dans les prémisses. Cependant, ce point de vue n'est pas toujours accepté, car il signifierait, par exemple, que la majeure partie des mathématiques est non informative. Une autre caractérisation distingue l'information de surface et l'information de profondeur. L'information de surface d'une phrase est l'information qu'elle présente explicitement. L'information de profondeur est la totalité de l'information contenue dans la phrase, à la fois explicitement et implicitement. Selon cette perspective, les inférences déductives sont non informatives au niveau de la profondeur. Mais elles peuvent être très informatives au niveau de surface en rendant explicites les informations implicites. C'est le cas, par exemple, dans les démonstrations mathématiques.

Amplificateur

Les arguments amplificatifs sont des arguments dont les conclusions contiennent des informations supplémentaires absentes de leurs prémisses. À cet égard, ils sont plus intéressants car ils apportent des informations plus approfondies et permettent d'apprendre quelque chose de véritablement nouveau. Cependant, cette caractéristique a un prix : les prémisses soutiennent la conclusion en ce sens qu'elles augmentent la probabilité de sa vérité, mais ne la garantissent pas. Cela signifie que la conclusion d'un argument amplificatif peut être fausse même si toutes ses prémisses sont vraies. Cette caractéristique est étroitement liée à la non-monotonicité et à la réfutabilité : il peut être nécessaire de revenir sur une conclusion antérieure suite à l'obtention de nouvelles informations ou à la lumière de nouvelles inférences. Le raisonnement amplificatif joue un rôle central dans de nombreux arguments du discours courant et des sciences. Les arguments amplificatifs ne sont pas systématiquement faux. Ils suivent simplement différents critères de validité. Le degré de soutien qu'ils apportent à leur conclusion est généralement variable. Ainsi, les arguments amplificatifs forts rendent leur conclusion très probable, tandis que les arguments faibles sont moins certains. En conséquence, la frontière entre arguments corrects et incorrects est parfois floue, notamment lorsque les prémisses offrent un soutien faible mais non négligeable. Cela contraste avec les arguments déductifs, qui sont soit valides, soit invalides, sans nuance intermédiaire.

La terminologie employée pour catégoriser les arguments ampliatifs est incohérente. Certains auteurs, comme James Hawthorne, utilisent le terme « induction » pour désigner toutes les formes d'arguments non déductifs. Mais, au sens strict, l'induction n'est qu'un type d'argument ampliatif parmi d'autres, au même titre que les arguments abductifs . Certains philosophes, comme Leo Groarke , admettent également les arguments conductives comme un autre type d'argument. Dans ce sens restreint, l'induction est souvent définie comme une forme de généralisation statistique. Dans ce cas, les prémisses d'un argument inductif sont de nombreuses observations individuelles qui présentent toutes une certaine régularité. La conclusion est alors une loi générale selon laquelle cette régularité se vérifie toujours. Ainsi, on peut inférer que « tous les éléphants sont gris » à partir d'observations antérieures de la couleur des éléphants. Une forme étroitement apparentée d'inférence inductive aboutit non pas à une loi générale, mais à un cas particulier, comme lorsqu'on infère qu'un éléphant qu'on n'a pas encore vu est également gris. Certains théoriciens, comme Igor Douven, stipulent que les inférences inductives reposent uniquement sur des considérations statistiques. De cette manière, elles peuvent être distinguées de l'inférence abductive.

L'inférence abductive peut prendre en compte ou non les observations statistiques. Dans les deux cas, les prémisses étayent la conclusion, car celle-ci constitue la meilleure explication de la véracité des prémisses. En ce sens, l'abduction est également appelée inférence à la meilleure explication . Par exemple, étant donné la prémisse qu'une assiette de chapelure se trouve dans la cuisine tôt le matin, on peut en déduire que le colocataire a pris une collation à minuit et était trop fatigué pour débarrasser la table. Cette conclusion est justifiée car elle constitue la meilleure explication de l'état actuel de la cuisine. Pour l'abduction, il ne suffit pas que la conclusion explique les prémisses. Par exemple, la conclusion selon laquelle un cambrioleur s'est introduit par effraction dans la maison la nuit dernière, a eu faim pendant son cambriolage et a pris une collation à minuit expliquerait également l'état de la cuisine. Mais cette conclusion n'est pas justifiée car elle ne constitue pas l'explication la plus probable ni la meilleure.

Sophismes

Tous les arguments ne répondent pas aux critères d'un raisonnement correct. Lorsqu'ils ne le font pas, on les qualifie généralement de sophismes . Leur caractéristique principale n'est pas la fausseté de leur conclusion, mais la présence d'une faille dans le raisonnement qui y conduit. Ainsi, l'argument « il fait beau aujourd'hui ; donc les araignées ont huit pattes » est fallacieux, même si sa conclusion est vraie. Certains théoriciens, comme John Stuart Mill , proposent une définition plus restrictive des sophismes, exigeant de surcroît qu'ils paraissent corrects. De cette manière, on peut distinguer les véritables sophismes des simples erreurs de raisonnement dues à l'inattention. Cela explique pourquoi les gens ont tendance à commettre des sophismes : ils possèdent un aspect séduisant qui les incite à les commettre et à les accepter. Toutefois, cette référence aux apparences est controversée, car elle relève du domaine de la psychologie et non de la logique, et parce que les apparences peuvent varier d'une personne à l'autre.

Les sophismes sont généralement classés en sophismes formels et informels. Dans le cas des sophismes formels, l'erreur provient de la forme même de l'argument. Par exemple, nier l'antécédent est un sophisme formel, comme dans : « Si Othello est célibataire, alors c'est un homme ; Othello n'est pas célibataire ; donc Othello n'est pas un homme. » Cependant, la plupart des sophismes relèvent de la catégorie des sophismes informels, dont une grande variété est analysée dans la littérature académique. Leur erreur provient généralement du contenu ou du contexte de l'argument. Les sophismes informels sont parfois classés en sophismes d'ambiguïté, sophismes de présomption ou sophismes de pertinence. Dans le cas des sophismes d'ambiguïté, l'ambiguïté et le flou du langage naturel sont à l'origine de leur défaut, comme dans : « Les plumes sont claires ; ce qui est clair ne peut être sombre ; donc les plumes ne peuvent pas être sombres. » Les sophismes de présomption reposent sur une prémisse erronée ou injustifiée, mais peuvent être valides par ailleurs. Dans le cas des sophismes de pertinence, les prémisses ne soutiennent pas la conclusion car elles ne sont pas pertinentes.

Règles définitives et stratégiques

L'objectif principal de la plupart des logiciens est d'étudier les critères permettant de déterminer la validité d'un argument. Une erreur de raisonnement est commise si ces critères sont violés. En logique formelle, ces critères sont appelés règles d'inférence . Ce sont des règles de définition, qui déterminent si une inférence est correcte ou quelles inférences sont autorisées. Les règles de définition s'opposent aux règles stratégiques. Les règles stratégiques spécifient les mouvements d'inférence nécessaires pour parvenir à une conclusion donnée à partir d'un ensemble de prémisses. Cette distinction s'applique non seulement à la logique, mais aussi aux jeux. Aux échecs , par exemple, les règles de définition stipulent que les fous ne peuvent se déplacer qu'en diagonale. Les règles stratégiques, quant à elles, décrivent comment les mouvements autorisés peuvent être utilisés pour gagner une partie, par exemple en contrôlant le centre et en défendant son roi . Il a été avancé que les logiciens devraient accorder plus d'importance aux règles stratégiques, car elles sont essentielles à un raisonnement efficace

systèmes formels

axiomes et d'un système de preuve permettant de tirer des conclusions de ces axiomes. En logique, les axiomes sont des énoncés acceptés sans démonstration. Ils servent à justifier d'autres énoncés. Certains théoriciens incluent également une sémantique qui spécifie comment les expressions du langage formel se rapportent aux objets réels. À partir de la fin du XIXe siècle, de nombreux nouveaux systèmes formels ont été proposés.

Un langage formel se compose d'un alphabet et de règles syntaxiques. L'alphabet est l'ensemble des symboles de base utilisés dans les expressions . Les règles syntaxiques déterminent comment ces symboles peuvent être agencés pour former des formules correctes. Par exemple, les règles syntaxiques de la logique propositionnelle déterminent que est une formule bien formée mais n'est pas puisque la conjonction logique $exige des conditions des deux côtés.$

Un système de preuve est un ensemble de règles permettant de construire des preuves formelles. C'est un outil permettant de tirer des conclusions à partir d'un ensemble d'axiomes. Les règles d'un système de preuve sont définies en termes de forme syntaxique de formules, indépendamment de leur contenu spécifique. Par exemple, la règle classique d' introduction des conjonctions stipule que $découle des locaux et Ces règles peuvent être appliquées séquentiellement, fournissant une procédure mécanique pour générer des conclusions à partir de prémisses. Il existe différents types de systèmes de preuve, notamment la déduction naturelle et les calculs séquentiels .$

Une sémantique est un système permettant d'associer les expressions d'un langage formel à leurs dénotations. Dans de nombreux systèmes logiques, les dénotations sont des valeurs de vérité. Par exemple, la sémantique de la logique propositionnelle classique associe la formule suivante : $la dénotation « vrai » chaque fois que et sont vraies. Du point de vue sémantique, une prémisse implique une conclusion si la conclusion est vraie chaque fois que la prémisse est vraie.$

Un système logique est correct lorsque son système de preuve ne peut déduire une conclusion d'un ensemble de prémisses que si celle-ci en découle sémantiquement. Autrement dit, son système de preuve ne peut aboutir à des conclusions fausses, au sens de la sémantique. Un système est complet lorsque son système de preuve peut déduire toute conclusion qui découle sémantiquement de ses prémisses. Autrement dit, son système de preuve peut aboutir à toute conclusion vraie, au sens de la sémantique. Ainsi, la correction et la complétude décrivent conjointement un système dont les notions de validité et d'implication concordent parfaitement.

Systèmes de logique

Les systèmes logiques sont des cadres théoriques permettant d'évaluer la validité des raisonnements et des arguments. Pendant plus de deux mille ans, la logique aristotélicienne a été considérée comme le canon de la logique dans le monde occidental , mais les développements modernes dans ce domaine ont conduit à une vaste prolifération de systèmes logiques . Une catégorisation importante divise les systèmes logiques formels modernes en logique classique , logiques étendues et logiques déviantes .

aristotélicien

La logique aristotélicienne englobe une grande variété de sujets, notamment des thèses métaphysiques sur les catégories ontologiques et des problèmes d'explication scientifique. Au sens strict, elle est identique à la logique des termes ou à la syllogistique. Un syllogisme est une forme d'argumentation comportant trois propositions : deux prémisses et une conclusion. Chaque proposition possède trois parties essentielles : un sujet , un prédicat et une copule reliant le sujet au prédicat. Par exemple, la proposition « Socrate est sage » est composée du sujet « Socrate », du prédicat « sage » et de la copule « est ». Le sujet et le prédicat sont les termes de la proposition. La logique aristotélicienne ne contient pas de propositions complexes composées de propositions simples. Elle diffère en cela de la logique propositionnelle, dans laquelle deux propositions quelconques peuvent être reliées par un connecteur logique comme « et » pour former une nouvelle proposition complexe.

En logique aristotélicienne, le sujet peut être universel , particulier , indéfini ou singulier . Par exemple, le terme « tous les humains » est un sujet universel dans la proposition « tous les humains sont mortels ». On pourrait former une proposition similaire en le remplaçant par le terme particulier « certains humains », le terme indéfini « un humain » ou le terme singulier « Socrate ».

La logique aristotélicienne ne comprend que des prédicats pour les propriétés simples des entités. Elle ne possède pas de prédicats correspondant aux relations entre les entités. Le prédicat peut être lié au sujet de deux manières : soit en l’affirmant, soit en le niant. Par exemple, la proposition « Socrate n’est pas un chat » implique la négation du prédicat « chat » au sujet « Socrate ». En combinant sujets et prédicats, on peut former une grande variété de propositions et de syllogismes. Les syllogismes se caractérisent par le fait que leurs prémisses sont liées entre elles et à la conclusion par un terme commun. Ainsi, ces trois propositions contiennent trois termes : le terme majeur , le terme mineur et le terme moyen . L’aspect central de la logique aristotélicienne consiste à classer tous les syllogismes possibles en arguments valides et invalides selon la manière dont les propositions sont formées. Par exemple, le syllogisme « tous les hommes sont mortels ; Socrate est un homme ; donc Socrate est mortel » est valide. Le syllogisme « tous les chats sont mortels ; Socrate est mortel ; donc Socrate est un chat », en revanche, est invalide.

Classique

La logique classique se distingue de la logique traditionnelle ou aristotélicienne. Elle englobe la logique propositionnelle et la logique du premier ordre. Elle est « classique » en ce sens qu'elle repose sur des intuitions logiques fondamentales partagées par la plupart des logiciens. Parmi ces intuitions figurent le principe du tiers exclu , l' élimination de la double négation , le principe d'explosion et la bivalence de la vérité. Initialement développée pour analyser les raisonnements mathématiques, elle n'a été appliquée à d'autres domaines que plus tard. De ce fait, elle ne comprend pas le vocabulaire logique pertinent pour de nombreux sujets philosophiques importants. Elle néglige par exemple la distinction entre nécessité et possibilité et le problème de l'obligation et de la permission éthiques. De même, elle n'aborde pas les relations entre passé, présent et futur. Ces questions sont traitées par les logiques étendues. Celles-ci s'appuient sur les intuitions fondamentales de la logique classique et les enrichissent en introduisant un nouveau vocabulaire logique. Ainsi, l'approche logique exacte est appliquée à des domaines comme l'éthique ou l'épistémologie, qui dépassent le cadre des mathématiques.

Logique propositionnelle

propositions atomiques à l'aide de connecteurs logiques . Par exemple, la logique propositionnelle représente la conjonction de deux propositions atomiques.

et comme la formule complexe Contrairement à la logique des prédicats où les termes et les prédicats constituent les unités minimales, la logique propositionnelle prend pour composante fondamentale les propositions complètes dotées de valeurs de vérité. Ainsi, les logiques propositionnelles ne peuvent représenter que les relations logiques découlant de la construction de propositions complexes à partir de propositions plus simples. Elles ne peuvent en revanche pas représenter les inférences résultant de la structure interne d'une proposition.

Logique du premier ordre

les prédicats , qui désignent des propriétés et des relations, et les quantificateurs, qui traitent des notions comme « certains » et « tous ». Par exemple, pour exprimer la proposition « ce corbeau est noir », on peut utiliser le prédicat

pour la propriété « noire » et le terme singulier en faisant référence au corbeau pour former l'expression Pour exprimer que certains objets sont noirs, on utilise le quantificateur existentiel. est combiné avec la variable formuler la proposition La logique du premier ordre contient diverses règles d'inférence qui déterminent comment des expressions ainsi formulées peuvent former des arguments valides ; par exemple, on peut inférer depuis .

Étendu

Les logiques étendues sont des systèmes logiques qui acceptent les principes de base de la logique classique. Elles introduisent des symboles et des principes supplémentaires pour l'appliquer à des domaines comme la métaphysique , l'éthique et l'épistémologie .

Logique modale

La logique modale est une extension de la logique classique. Dans sa forme originale, parfois appelée « logique modale aléthique », elle introduit deux nouveaux symboles :

exprime que quelque chose est possible tandis que exprime que quelque chose est nécessaire. Par exemple, si la formule représente la phrase « Socrate est banquier », puis la formule L'énoncé « Il est possible que Socrate soit banquier » s'articule autour de la phrase « Il est possible que Socrate soit banquier ». Pour intégrer ces symboles au formalisme logique, la logique modale introduit de nouvelles règles d'inférence qui déterminent leur rôle dans les inférences. Une règle d'inférence stipule que si quelque chose est nécessaire, alors c'est également possible. Cela signifie que découle de Un autre principe stipule que si une proposition est nécessaire, alors sa négation est impossible, et réciproquement. Cela signifie que est équivalent à . D'autres formes de logique modale introduisent des symboles similaires, mais leur attribuent des significations différentes afin d'appliquer la logique modale à d'autres domaines. Par exemple, la logique déontique, en éthique, introduit des symboles pour exprimer les notions d' obligation et de permission, c'est-à-dire pour décrire si un agent est tenu d'accomplir une action ou s'il est autorisé à l'accomplir. Les opérateurs modaux de la logique modale temporelle articulent les relations temporelles. Ils peuvent servir à exprimer, par exemple, qu'un événement s'est produit à un moment donné ou qu'un événement se produit en permanence. En épistémologie, la logique modale épistémique est utilisée pour représenter la notion de connaissance, par opposition à la simple croyance .

Logique d'ordre supérieur

Les logiques d'ordre supérieur étendent la logique classique non pas en utilisant des opérateurs modaux, mais en introduisant de nouvelles formes de quantification. Les quantificateurs correspondent à des termes comme « tous » ou « certains ». En logique classique du premier ordre, les quantificateurs ne s'appliquent qu'aux individus. La formule ( certaines pommes sont sucrées) est un exemple du quantificateur existentiel appliqué à la variable individuelle Dans les logiques d'ordre supérieur, la quantification est également autorisée sur les prédicats. Cela accroît leur pouvoir expressif. Par exemple, pour exprimer l'idée que Marie et Jean partagent certaines qualités, on pourrait utiliser la formule . Dans ce cas, le quantificateur existentiel est appliqué à la variable prédicat [ Les logiques déviantes sont des systèmes logiques qui rejettent certaines intuitions fondamentales de la logique classique. De ce fait, elles sont généralement considérées non comme des compléments, mais comme des rivales. Les systèmes logiques déviants diffèrent les uns des autres soit parce qu'ils rejettent des intuitions classiques différentes, soit parce qu'ils proposent des alternatives différentes à un même problème.

La logique intuitionniste est une version restreinte de la logique classique. Elle utilise les mêmes symboles mais exclut certaines règles d'inférence. Par exemple, selon la loi d'élimination de la double négation, si une proposition n'est pas fausse, alors elle est vraie. Cela signifie que $découle de Il s'agit d'une règle d'inférence valide en logique classique, mais invalide en logique intuitionniste. Un autre principe classique absent de la logique intuitionniste est le principe du tiers exclu . Il stipule que pour toute proposition, soit elle, soit sa négation est vraie. Cela signifie que toute proposition de la forme C’est vrai. Ces écarts par rapport à la logique classique reposent sur l’idée que la vérité s’établit par vérification au moyen d’une démonstration. La logique intuitionniste est particulièrement importante dans le domaine des mathématiques constructives, qui insistent sur la nécessité de trouver ou de construire un exemple spécifique pour prouver son existence.$

Les logiques multivaluées s'écartent de la classicité en rejetant le principe de bivalence , qui exige que toutes les propositions soient soit vraies, soit fausses. Par exemple, Jan Łukasiewicz et Stephen Cole Kleene ont tous deux proposé des logiques ternaires possédant une troisième valeur de vérité, indiquant que la valeur de vérité d'un énoncé est indéterminée. Ces logiques ont trouvé des applications en linguistique. Les logiques floues sont des logiques multivaluées qui possèdent une infinité de « degrés de vérité », représentés par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Les logiques paraconsistantes sont des systèmes logiques capables de traiter les contradictions. Elles sont formulées de manière à éviter le principe d'explosion : pour elles, rien ne découle nécessairement d'une contradiction. Elles sont souvent motivées par le dialéthéisme , l'idée que les contradictions sont réelles ou que la réalité elle-même est contradictoire. Graham Priest est un représentant contemporain influent de cette position, et des idées similaires ont été attribuées à Georg Wilhelm Friedrich Hegel .

Informel

des actes de langage et non comme un simple ensemble de prémisses et une conclusion. En tant qu'actes de langage, ils s'inscrivent dans un contexte précis, tel qu'un dialogue , ce qui influence les critères de validité des arguments. Selon une conception majeure de Douglas N. Walton, le dialogue est un jeu entre deux joueurs. La position initiale de chaque joueur est caractérisée par les propositions auxquelles il adhère et la conclusion qu'il entend démontrer. Les dialogues sont des jeux de persuasion : chaque joueur a pour objectif de convaincre son adversaire de sa propre conclusion. Cet objectif est atteint par la formulation d'arguments : les arguments constituent les coups du jeu. Ils influencent les propositions auxquelles les joueurs adhèrent. Un coup gagnant est un argument convaincant qui prend les engagements de l'adversaire comme prémisses et démontre comment sa propre conclusion en découle. Cela n'est généralement pas possible d'emblée. C’est pourquoi il est généralement nécessaire de formuler une suite d’arguments comme étapes intermédiaires, chacune rapprochant progressivement l’adversaire de la conclusion visée. Outre ces arguments positifs qui mènent à la victoire, il existe aussi des arguments négatifs qui empêchent la victoire de l’adversaire en réfutant sa conclusion. La validité d’un argument dépend de sa capacité à faire progresser le dialogue. Les sophismes, en revanche, constituent des violations des règles de l’argumentation. Ces règles varient également selon le type de dialogue. Par exemple, les règles régissant le discours scientifique diffèrent de celles des négociations commerciales.

L' approche épistémique de la logique informelle, quant à elle, s'intéresse au rôle épistémique des arguments. Elle repose sur l'idée que les arguments visent à accroître notre connaissance. Ils y parviennent en reliant des croyances justifiées à des croyances qui ne le sont pas encore. Les arguments corrects réussissent à élargir la connaissance, tandis que les sophismes constituent des échecs épistémiques : ils ne justifient pas la croyance en leur conclusion. Par exemple, le sophisme de la pétition de principe est un sophisme car il ne fournit pas de justification indépendante à sa conclusion, même si celle-ci est déductivement valide. En ce sens, la normativité logique consiste en la réussite épistémique ou la rationalité. L' approche bayésienne est un exemple d'approche épistémique. Au cœur du bayésianisme se trouve non seulement la croyance de l'agent en quelque chose, mais aussi le degré de croyance, appelé « crédibilité » . Les degrés de croyance sont considérés comme des probabilités subjectives de la proposition à laquelle on croit, c'est-à-dire le degré de certitude de l'agent quant à la vérité de la proposition. Selon cette perspective, le raisonnement peut être interprété comme un processus de modification des croyances, souvent en réaction à de nouvelles informations. Un raisonnement correct et les arguments sur lesquels il repose respectent les lois des probabilités, par exemple le principe de conditionnalisation . Un raisonnement erroné ou irrationnel, en revanche, enfreint ces lois.

Domaines de recherche

La logique est étudiée dans divers domaines. Souvent, on applique sa méthode formelle à des sujets spécifiques qui sortent de son champ d'étude, comme l'éthique ou l'informatique. Dans d'autres cas, la logique elle-même devient l'objet de recherche d'une autre discipline. Cela peut se faire de différentes manières. Par exemple, il peut s'agir d'étudier les présupposés philosophiques liés aux concepts fondamentaux utilisés par les logiciens. D'autres approches consistent à interpréter et analyser la logique à travers des structures mathématiques, ainsi qu'à étudier et comparer les propriétés abstraites des systèmes logiques formels.

Philosophie de la logique et logique philosophique

ontologiques qu'ils impliquent. La logique philosophique est l'un des domaines de la philosophie de la logique. Elle étudie l'application des méthodes logiques aux problèmes philosophiques dans des domaines tels que la métaphysique, l'éthique et l'épistémologie. Cette application se manifeste généralement sous la forme de systèmes logiques étendus ou déviants .

Métologique

algorithme permettant de démontrer chaque formule et vérifient si toute formule démontrable est une tautologie. Enfin, ils comparent le système à d'autres systèmes logiques pour en comprendre les caractéristiques distinctives. Un enjeu fondamental en métalogique concerne la relation entre syntaxe et sémantique. Les règles syntaxiques d'un système formel déterminent comment déduire des conclusions à partir de prémisses, c'est-à-dire comment formuler des démonstrations. La sémantique d'un système formel détermine quelles propositions sont vraies et lesquelles sont fausses. Ceci détermine la validité des arguments, car, pour des arguments valides, il est impossible que les prémisses soient vraies et la conclusion fausse. La relation entre syntaxe et sémantique soulève des questions telles que la démontrabilité de tout argument valide et la validité de tout argument démontrable. Les métalogiciens étudient également la complétude, la correction et la cohérence des systèmes logiques . Ils s’intéressent à la décidabilité de ces systèmes et à leur pouvoir expressif . Les métalogiciens s’appuient généralement beaucoup sur le raisonnement mathématique abstrait lorsqu’ils examinent et formulent des preuves métalogiques. Ils visent ainsi à parvenir à des conclusions précises et générales sur ces sujets.

Logique mathématique

Bertrand Russell a apporté diverses contributions à la logique mathématique.

Le terme « logique mathématique » est parfois employé comme synonyme de « logique formelle ». Cependant, dans un sens plus restreint, il désigne l'étude de la logique au sein des mathématiques. Ses principaux sous-domaines comprennent la théorie des modèles , la théorie de la démonstration , la théorie des ensembles et la théorie de la calculabilité . La recherche en logique mathématique porte généralement sur les propriétés mathématiques des systèmes logiques formels. Elle peut également inclure des tentatives d'utiliser la logique pour analyser le raisonnement mathématique ou pour établir des fondements logiques des mathématiques . Ce dernier point constituait une préoccupation majeure de la logique mathématique du début du XXe siècle, qui poursuivait le programme du logicisme initié par des philosophes-logiciens tels que Gottlob Frege, Alfred North Whitehead et Bertrand Russell . Les théories mathématiques étaient supposées être des tautologies logiques , et leur objectif était de le démontrer par une réduction des mathématiques à la logique. De nombreuses tentatives pour réaliser ce programme ont échoué, depuis la paralysie du projet de Frege dans ses le paradoxe de Russell , jusqu'à la défaite du programme de Hilbert par les théorèmes d'incomplétude de Gödel .

La théorie des ensembles trouve son origine dans l'étude de l'infini par Georg Cantor et a été à l'origine de nombreuses questions parmi les plus importantes et les plus complexes de la logique mathématique. On peut citer le théorème de Cantor , le statut de l' axiome du choix , la question de l'indépendance de l' hypothèse du continu et le débat moderne sur les axiomes des grands cardinaux .

La théorie de la calculabilité est la branche de la logique mathématique qui étudie les procédures efficaces pour résoudre les problèmes de calcul. L'un de ses principaux objectifs est de déterminer s'il est possible de résoudre un problème donné à l'aide d'un algorithme. Par exemple, étant donné une certaine affirmation concernant les entiers positifs, elle examine s'il existe un algorithme permettant de vérifier la véracité de cette affirmation. La théorie de la calculabilité utilise divers outils et modèles théoriques, tels que les machines de Turing , pour explorer ce type de question.

Logique computationnelle

La conjonction (ET) est l'une des opérations de base de la logique booléenne. Elle peut être implémentée électroniquement de plusieurs manières, par exemple à l'aide de deux transistors .
La logique computationnelle est la branche de la logique et de l'informatique qui étudie comment implémenter le raisonnement mathématique et les formalismes logiques à l'aide d'ordinateurs. Elle comprend, par exemple, les démonstrateurs automatiques de théorèmes , qui utilisent des règles d'inférence pour construire une preuve étape par étape, à partir d'un ensemble de prémisses, jusqu'à la conclusion attendue, sans intervention humaine. Les langages de programmation logique sont spécifiquement conçus pour exprimer des faits à l'aide de formules logiques et pour en tirer des inférences. Par exemple, Prolog est un langage de programmation logique basé sur la logique des prédicats. Les informaticiens appliquent également des concepts de logique aux problèmes informatiques. Les travaux de Claude Shannon ont été influents à cet égard. Il a montré comment la logique booléenne peut être utilisée pour comprendre et implémenter des circuits informatiques. Ceci peut être réalisé à l'aide de portes logiques électroniques , c'est-à-dire des circuits électroniques avec une ou plusieurs entrées et généralement une sortie. Les valeurs de vérité des propositions sont représentées par des niveaux de tension. De cette manière, les fonctions logiques peuvent être simulées en appliquant les tensions correspondantes aux entrées du circuit et en déterminant la valeur de la fonction en mesurant la tension de sortie.

Sémantique formelle du langage naturel

de la linguistique et de la philosophie du langage . Cette discipline étudie la signification du langage. La sémantique formelle utilise des outils formels issus de la logique symbolique et des mathématiques pour élaborer des théories précises de la signification des expressions du langage naturel . Elle appréhende généralement la signification en relation avec des conditions de vérité , c'est-à-dire qu'elle examine dans quelles situations une phrase est vraie ou fausse. L'un de ses postulats méthodologiques fondamentaux est le principe de compositionnalité . Ce principe stipule que la signification d'une expression complexe est déterminée par la signification de ses parties et par la manière dont elles sont combinées. Par exemple, la signification du groupe verbal « marcher et chanter » dépend de la signification des expressions individuelles « marcher » et « chanter ». De nombreuses théories en sémantique formelle s'appuient sur la théorie des modèles. Cela signifie qu'elles utilisent la théorie des ensembles pour construire un modèle, puis interpréter la signification des expressions en fonction des éléments de ce modèle. Par exemple, le terme « marcher » peut être interprété comme l'ensemble de tous les individus du modèle qui partagent la propriété de marcher. Les premiers théoriciens influents dans ce domaine furent Richard Montague et Barbara Partee , qui concentrèrent leur analyse sur la langue anglaise.

Épistémologie de la logique

L'épistémologie de la logique étudie comment on sait qu'un argument est valide ou qu'une proposition est logiquement vraie. Cela inclut des questions telles que la justification de la validité du a priori . À cet égard, on soutient souvent que l' esprit possède une faculté particulière d'examiner les relations entre les idées pures et que cette faculté est également responsable de la perception des vérités logiques. Une approche similaire conçoit les règles de la logique en termes de conventions linguistiques . Selon cette perspective, les lois de la logique sont triviales puisqu'elles sont vraies par définition : elles expriment simplement les significations du vocabulaire logique.

Certains théoriciens, comme Hilary Putnam et Penelope Maddy , s'opposent à l'idée que la logique soit connaissable a priori. Ils soutiennent au contraire que les vérités logiques dépendent du monde empirique . Cette conception est généralement associée à l'affirmation que les lois de la logique expriment des régularités universelles présentes dans les caractéristiques structurelles du monde. Selon cette perspective, on peut les explorer en étudiant les schémas généraux des sciences fondamentales . Par exemple, il a été avancé que certaines intuitions de la mécanique quantique réfutent le principe de distributivité de la logique classique, qui stipule que la formule $est équivalent à Cette affirmation peut être utilisée comme argument empirique en faveur de la thèse selon laquelle la logique quantique est le système logique correct et devrait remplacer la logique classique.$

Histoire

Première rangée : Aristote , qui a établi le canon de la philosophie occidentale ; et Avicenne , qui a remplacé la logique aristotélicienne dans le discours islamique . Deuxième rangée : Guillaume d’Ockham , une figure majeure de la pensée savante médiévale ; et Gottlob Frege , l’un des fondateurs de la logique symbolique moderne.

La logique s'est développée indépendamment dans plusieurs cultures durant l'Antiquité. Aristote , qui a développé la logique des termes dans son Organon et ses Premiers Analytiques fut l'un des principaux contributeurs à ce développement . Il est à l'origine du syllogisme hypothétique et de la logique modale temporelle . Parmi ses autres innovations figurent la logique inductive ainsi que l'étude de nouveaux concepts logiques tels que les termes , les prédicables , les syllogismes et les propositions. La logique aristotélicienne était très estimée à l'époque classique et médiévale, tant en Europe qu'au Moyen-Orient. Elle resta largement utilisée en Occident jusqu'au début du XIXe siècle . Bien qu'elle ait été supplantée par des travaux plus récents, nombre de ses idées fondamentales demeurent présentes dans les systèmes logiques modernes
Ibn Sina (Avicenne) est le fondateur de la logique avicennienne, qui remplaça la logique aristotélicienne comme système logique dominant dans le monde islamique . Elle influença des auteurs médiévaux occidentaux tels qu'Albert le Grand et Guillaume d'Ockham . Ibn Sina écrivit sur le syllogisme hypothétique et sur le calcul propositionnel . Il développa une théorie syllogistique originale « modalisée temporellement », faisant intervenir la logique temporelle et la logique modale. Il utilisa également la logique inductive, notamment ses méthodes d'accord, de différence et de variation concomitante, essentielles à la méthode scientifique . Fakhr al-Din al-Razi fut un autre logicien musulman influent. Il critiqua la syllogistique aristotélicienne et formula un système primitif de logique inductive, préfigurant celui développé par John Stuart Mill.

Au Moyen Âge , de nombreuses traductions et interprétations de la logique aristotélicienne ont été réalisées. Les œuvres de Boèce ont exercé une influence considérable. Outre sa traduction des œuvres d'Aristote en latin, il a également rédigé des manuels de logique. Plus tard, les travaux de philosophes musulmans tels qu'Ibn Sina et Ibn Rushd (Averroès) ont été consultés. Cela a élargi le corpus d'œuvres antiques accessibles aux érudits chrétiens médiévaux, car davantage d'ouvrages grecs, conservés dans des commentaires latins, étaient désormais à la disposition des savants musulmans. En 1323, la Somme logique de Guillaume d'Ockham, œuvre influente , a été publiée. Ce traité complet de logique aborde de nombreux concepts fondamentaux et présente une exposition systématique des types de propositions et de leurs conditions de vérité.

En philosophie chinoise, l' école des Noms et le mohisme ont exercé une influence considérable. L'école des Noms s'intéressait particulièrement à l'usage du langage et aux paradoxes. Par exemple, Gongsun Long a proposé le paradoxe du cheval blanc , qui défend la thèse selon laquelle un cheval blanc n'est pas un cheval. L'école du mohisme reconnaissait également l'importance du langage pour la logique et s'efforçait de relier les idées de ces domaines à celui de l'éthique.

En Inde, l'étude de la logique était principalement pratiquée par les écoles Nyaya , bouddhique et jaïn . Elle n'était pas considérée comme une discipline académique distincte et les discussions à son sujet s'inscrivaient généralement dans le contexte de l'épistémologie et des théories du dialogue ou de l'argumentation. Dans le Nyaya, l'inférence est perçue comme une source de connaissance ( pramāṇa ). Elle découle de la perception d'un objet et vise à aboutir à des conclusions, par exemple sur la cause de cet objet. On retrouve une importance similaire accordée à l'épistémologie dans les écoles de logique bouddhiste et jaïn, où l'inférence sert à approfondir les connaissances acquises par d'autres sources. Certaines théories plus tardives du Nyaya, appartenant à l' école Navya-Nyāya , s'apparentent à des formes modernes de logique, comme la distinction de Gottlob Frege entre sens et référence et sa définition du nombre.

La logique syllogistique développée par Aristote a prédominé en Occident jusqu'au milieu du XIXe siècle, lorsque l'intérêt pour les fondements des mathématiques a stimulé le développement de la logique symbolique moderne. la Begriffsschrift de Gottlob Frege comme l'ouvrage fondateur de la logique moderne. L'idée d'un langage formel universel de Gottfried Wilhelm Leibniz est souvent considérée comme précurseur. Parmi les autres pionniers, on peut citer George Boole , qui a inventé l'algèbre de Boole comme système mathématique de logique, et Charles Peirce , qui a développé la logique des relations . Alfred North Whitehead et Bertrand Russell, quant à eux, ont condensé nombre de ces intuitions dans leurs Principia Mathematica . La logique moderne a introduit des concepts nouveaux, tels que les fonctions , les quantificateurs et les prédicats relationnels. L'une des caractéristiques de la logique symbolique moderne est son utilisation d'un langage formel pour codifier précisément ses intuitions. À cet égard, elle se distingue des logiciens antérieurs, qui s'appuyaient principalement sur le langage naturel. Le développement de la logique du premier ordre, généralement considérée comme le système standard de la logique moderne, a exercé une influence considérable. Sa généralité analytique a permis la formalisation des mathématiques et a stimulé l'étude de la théorie des ensembles . Elle a également rendu possible l'approche d'Alfred Tarski à la théorie des modèles et a fourni les fondements de la logique mathématique moderne.