Worldlex Wiki En logique , la validité peut se référer soit à une propriété des arguments , soit à une propriété des systèmes déductifs formels .
Un argument est valide si (et seulement si) il est à la fois valide en forme et ne comporte aucune prémisse fausse .
Un système formel est sain si (et seulement si) toute formule bien formée qui peut être prouvée dans le système est logiquement valide par rapport à la sémantique logique du système.
Ces deux propriétés sont différentes mais étroitement liées. La première est plus pertinente dans le contexte du raisonnement déductif introductif , tandis que la seconde apparaît en logique métalogique et mathématique .
raisonnement déductif , un argument valide est un argument dont toutes les prémisses sont vraies (et par conséquent, sa conclusion l'est également). Un argument est valide si, en supposant ses prémisses vraies, sa conclusion est nécessairement vraie. Un exemple d'argument valide est le syllogisme bien connu suivant :- (locaux)
- Tous les hommes sont mortels.
- Socrate est un homme.
- (conclusion)
- Par conséquent, Socrate est mortel.
Du fait de la nécessité logique de la conclusion, cet argument est valide ; et puisque l'argument est valide et que ses prémisses sont vraies, l'argument est solide.
Cependant, un argument peut être valable sans être solide. Par exemple :
- Tous les oiseaux peuvent voler.
- Les pingouins sont des oiseaux.
- Par conséquent, les pingouins peuvent voler.
Cet argument est valide car la conclusion est nécessairement vraie si les prémisses sont vraies. Or, la première prémisse est fausse. Tous les oiseaux ne volent pas (par exemple, les pingouins). Pour qu'un argument soit valide, il doit être valide et ses prémisses doivent être vraies.
Certains auteurs, comme Lemmon , ont utilisé le terme « solidité » comme synonyme de ce que l’on entend aujourd’hui par « validité » , ce qui les a laissés sans terme spécifique pour désigner ce que l’on appelle désormais « solidité ». Mais de nos jours, cette distinction entre les termes est très répandue.
Définition des systèmes formels
En logique mathématique , un système logique est dit correct si toute formule démontrable au sein de ce système est logiquement valide au regard de sa sémantique . Dans la plupart des cas, cela se traduit par le fait que ses règles préservent la vérité . La réciproque de la correction est appelée complétude .
Un système logique avec implication syntaxique et implication sémantique est correct si, pour toute séquence de phrases de son langage, si , alors . Autrement dit, un système est correct lorsque tous ses théorèmes sont valides .
La validité est l'une des propriétés fondamentales de la logique mathématique. C'est elle qui justifie de considérer un système logique comme souhaitable. La complétude signifie que toute validité (vérité) est démontrable. Ensemble, ces propriétés impliquent que seules les validités sont démontrables.
La plupart des preuves de validité sont triviales. Par exemple, dans un système axiomatique , prouver la validité revient à vérifier la validité des axiomes et le fait que les règles d'inférence préservent la validité (ou la propriété plus faible, la vérité). Si le système autorise la déduction de type hilbertien , il suffit de vérifier la validité des axiomes et d'une seule règle d'inférence, à savoir le modus ponens (et parfois la substitution).
Les propriétés de validité se divisent en deux grandes catégories : la validité faible et la validité forte, la première étant une forme restreinte de la seconde. La validité forte correspond à la définition donnée précédemment dans cette section, tandis que la validité faible se limite aux énoncés qui ne peuvent être démontrés sans prémisses, c’est-à-dire lorsqu’il n’existe aucun énoncé à droite des tourniquets.
Faible solidité
La validité faible d'un système déductif est la propriété selon laquelle toute proposition démontrable sans prémisses dans ce système est également vraie pour toutes les interprétations ou structures de la théorie sémantique du langage sur lequel elle repose. Symboliquement, on écrit : si , alors . Certains auteurs incluent explicitement l'ensemble vide, donnant : si , alors . En utilisant la définition restrictive d'un théorème, pour les propositions démontrables sans prémisses, la validité faible affirme que tous les théorèmes sont des tautologies.
Solide solidité
La robustesse forte d'un système déductif est la propriété que toute proposition démontrable à partir d'un ensemble (éventuellement vide) de prémisses/propositions est aussi une conséquence sémantique de cet ensemble, c'est-à-dire qu'elle est vraie dans tout modèle qui rend tous les éléments de cet ensemble vrais . Symboliquement, on écrit : si , alors . Remarquons que lorsque est vide, on a l'énoncé de robustesse faible.
Validité arithmétique
Si T est une théorie dont les objets de discours peuvent être interprétés comme des nombres naturels , on dit que T est arithmétiquement correcte si tous ses théorèmes sont effectivement vrais pour les entiers mathématiques usuels. Pour plus d'informations, voir la théorie ω-cohérente .
Relation à l'exhaustivité
La réciproque de la propriété de correction est la propriété de complétude . Un système déductif muni d'une théorie sémantique est fortement complet si toute proposition qui est une conséquence sémantique d'un ensemble de propositions peut être déduite de cet ensemble dans le système de déduction . Symboliquement : si … alors … La complétude de la logique du premier ordre a été explicitement établie pour la première fois par Gödel , bien que certains des principaux résultats aient été présentés dans des travaux antérieurs de Skolem .
En termes informels, un théorème de validité d'un système déductif affirme que toutes les propositions démontrables sont vraies. Le théorème de complétude stipule que toutes les propositions vraies sont démontrables.
Le premier théorème d'incomplétude de Gödel démontre que, pour les langages suffisants pour effectuer un certain nombre d'opérations arithmétiques, il ne peut exister de système déductif cohérent et efficace qui soit complet relativement à l'interprétation voulue du symbolisme de ce langage. Ainsi, tous les systèmes déductifs valides ne sont pas complets au sens particulier de la complétude, où la classe des modèles (à isomorphisme près ) est restreinte au modèle voulu. La démonstration originale de la complétude s'applique à tous les modèles classiques, et non à une sous-classe particulière des modèles voulus.