Logique des termes

En logique et en sémantique formelle , le terme logique , également connu sous le nom de logique traditionnelle , logique syllogistique ou logique aristotélicienne , est un nom générique pour une approche de la logique formelle qui a commencé avec Aristote et a été développée plus avant dans l'histoire ancienne, principalement par ses disciples, les péripatéticiens . Elle a été relancée après le IIIe siècle de notre ère par l'Isagoge de Porphyre .

La logique des termes a été ravivée à l' époque médiévale , d'abord dans la logique islamique par Alpharabius au Xe siècle, puis dans l'Europe chrétienne au XIIe siècle avec l'avènement de la nouvelle logique , restant dominante jusqu'à l'avènement de la logique des prédicats à la fin du XIXe siècle.

Cependant, même si elle est éclipsée par des systèmes logiques plus récents, la logique des termes joue toujours un rôle important dans l'étude de la logique. Plutôt que de rompre radicalement avec la logique des termes, les logiques modernes l'élargissent généralement.

L'œuvre logique d' Aristote est rassemblée dans six textes connus collectivement sous le nom d' Organon . Deux de ces textes en particulier, à savoir les Premiers Analytiques et De Interpretatione , contiennent le cœur du traitement aristotélicien des jugements et de l'inférence formelle , et c'est principalement cette partie des œuvres d'Aristote qui concerne la logique des termes . Les travaux modernes sur la logique d'Aristote s'appuient sur la tradition commencée en 1951 avec l'établissement par Jan Lukasiewicz d'un paradigme révolutionnaire. L'approche de Lukasiewicz a été revigorée au début des années 1970 par John Corcoran et Timothy Smiley – ce qui informe les traductions modernes des Premiers Analytiques par Robin Smith en 1989 et Gisela Striker en 2009.

Les Premiers Analytiques représentent la première étude formelle de la logique, où la logique est comprise comme l'étude des arguments. Un argument est une série d'énoncés vrais ou faux qui conduisent à une conclusion vraie ou fausse. Dans les Premiers Analytiques , Aristote identifie des formes d'arguments valides et invalides appelées syllogismes. Un syllogisme est un argument qui se compose d'au moins trois phrases : au moins deux prémisses et une conclusion. Bien qu'Aristote ne les appelle pas « phrases catégoriques », la tradition le fait ; il les traite brièvement dans les Analytiques et plus longuement dans De l'interprétation . Chaque proposition (énoncé qui est une pensée du type exprimable par une phrase déclarative) d'un syllogisme est une phrase catégorique qui a un sujet et un prédicat reliés par un verbe. La manière habituelle de relier le sujet et le prédicat d'une phrase catégorique, comme le fait Aristote dans De l'interprétation, est d'utiliser un verbe de liaison, par exemple P est S. Cependant, dans les Premiers Analytiques, Aristote rejette la forme habituelle en faveur de trois de ses inventions :

• P appartient à S
• P est prédiqué de S
• P est dit de S

Aristote n'explique pas pourquoi il introduit ces expressions innovantes, mais les spécialistes supposent que la raison pourrait être qu'elles facilitent l'utilisation de lettres au lieu de termes, évitant ainsi l'ambiguïté qui résulte en grec lorsque des lettres sont utilisées avec le verbe de liaison. Dans sa formulation de propositions syllogistiques, au lieu de la copule (« Tous/certains... sont/ne sont pas... »), Aristote utilise l'expression « ... appartient à/n'appartient pas à tous/certains... » ou « ... est dit/n'est pas dit de tous/certains... » Il existe quatre types différents de phrases catégoriques : l'affirmative universelle (A), la négative universelle (E), l'affirmative particulière (I) et la négative particulière (O).

• A - A appartient à chaque B
• E - A n'appartient à aucun B
• I - A appartient à un B
• O - A n'appartient pas à un B

Une méthode de symbolisation qui a été inventée et utilisée au Moyen Âge simplifie grandement l'étude des Premiers Analytiques. Suivant cette tradition, disons :

a = appartient à chaque

e = n'appartient à aucun

i = appartient à certains

o = n'appartient pas à certains

Les phrases catégoriques peuvent alors être abrégées comme suit :

AaB = A appartient à chaque B (Chaque B est A)

AeB = A n'appartient à aucun B (Aucun B n'est A)

AiB = A appartient à un B (Un B est A)

AoB = A n'appartient pas à un B (Un B n'est pas A)

Du point de vue de la logique moderne, seuls quelques types de phrases peuvent être représentés de cette manière.

L'hypothèse fondamentale qui sous-tend la théorie est que le modèle formel des propositions est composé de deux symboles logiques appelés termes – d'où le nom de « théorie à deux termes » ou « logique des termes » – et que le processus de raisonnement est à son tour construit à partir de propositions :

• Le terme est une partie du discours qui représente quelque chose, mais qui n'est pas vrai ou faux en soi, comme « homme » ou « mortel ». Tels qu'ils étaient conçus à l'origine, tous les termes devaient être tirés de l'une des dix catégories énumérées par Aristote dans son Organon , classant tous les objets et qualités dans le domaine du discours logique.
• Le modèle formel de la proposition est constitué de deux termes, dont l'un, le « prédicat », est « affirmé » ou « nié » par l'autre, le « sujet », et qui est susceptible de vérité ou de fausseté .
• Le syllogisme est une inférence dans laquelle une proposition (la « conclusion ») découle nécessairement de deux autres propositions (les « prémisses »).

Une proposition peut être universelle ou particulière, et elle peut être affirmative ou négative. Traditionnellement, les quatre types de propositions sont :

• Type A : Universel et affirmatif (« Tous les philosophes sont mortels »)
• Type E : Universel et négatif (« Tous les philosophes ne sont pas mortels »)
• Type I : Particulier et affirmatif (« Certains philosophes sont mortels »)
• Type O : Particulier et négatif (« Certains philosophes ne sont pas mortels »)

C'est ce qu'on appelle le schéma quadruple des propositions (voir types de syllogisme pour une explication des lettres A, I, E et O dans le carré traditionnel). Le carré d'opposition originel d'Aristote ne manque cependant pas d'importance existentielle .

Le terme (en grec ὅρος horos ) est l'élément de base de la proposition. Le sens originel du horos (et aussi du latin terminus ) est « extrême » ou « limite ». Les deux termes se situent à l'extérieur de la proposition, reliés par l'acte d'affirmation ou de négation.

Pour les logiciens de l'époque moderne, comme Arnauld (dont la Logique de Port-Royal était le texte le plus connu de son époque), il s'agit d'une entité psychologique comme une « idée » ou un « concept ». Mill le considère comme un mot. Affirmer que « tous les Grecs sont des hommes » ne signifie pas que le concept de Grecs est le concept d'hommes, ou que le mot « Grecs » est le mot « hommes ». Une proposition ne peut pas être construite à partir de choses ou d'idées réelles, mais elle ne se résume pas non plus à des mots dénués de sens.

En logique, une « proposition » est simplement une forme de langage : un type particulier de phrase , dans lequel le sujet et le prédicat sont combinés, de manière à affirmer quelque chose de vrai ou de faux. Ce n'est pas une pensée, ni une entité abstraite . Le mot « propositio » vient du latin et signifie la première prémisse d'un syllogisme . Aristote utilise le mot prémisse ( protasis ) comme une phrase affirmant ou niant une chose ou une autre ( Analytiques postérieurs 1. 1 24a 16), donc une prémisse est aussi une forme de mots.

Cependant, comme dans la logique philosophique moderne, il signifie ce qui est affirmé par la phrase. Les auteurs avant Frege et Russell , comme Bradley , parlaient parfois du « jugement » comme d'un élément distinct d'une phrase, mais ce n'est pas tout à fait la même chose. Pour ajouter à la confusion, le mot « phrase » dérive du latin et signifie une opinion ou un jugement , et est donc équivalent à « proposition ».

La qualité logique d'une proposition est de savoir si elle est affirmative (le prédicat est affirmé du sujet) ou négative (le prédicat est nié du sujet). Ainsi, tout philosophe est mortel est affirmatif, puisque la mortalité des philosophes est affirmée universellement, alors qu'aucun philosophe n'est négatif en niant cette mortalité en particulier.

La quantité d'une proposition est de savoir si elle est universelle (le prédicat est affirmé ou nié de tous les sujets ou de « l'ensemble ») ou particulière (le prédicat est affirmé ou nié de quelque sujet ou d'une « partie » de celui-ci). Dans le cas où l'on suppose une portée existentielle , la quantification implique l'existence d'au moins un sujet, sauf dénégation.

Pour Aristote, la distinction entre singulier est une distinction métaphysique fondamentale , et pas seulement grammaticale . Un terme singulier pour Aristote est la substance première , qui ne peut être prédiquée que d'elle-même : (ce) « Callias ou (ce) « Socrate » ne sont prédicables d'aucune autre chose, ainsi on ne dit pas tout Socrate, on dit tout être humain ( De Int. 7 ; Meta. D9, 1018a4). Il peut figurer comme prédicat grammatical, comme dans la phrase « la personne qui vient par ici est Callias ». Mais il s'agit toujours d'un sujet logique .

Il oppose la substance universelle ( katholou ) la substance secondaire, les genres, à la substance primaire, les spécimens particuliers ( kath'hekaston ) . La nature formelle des universaux , dans la mesure où ils peuvent être généralisés « toujours, ou pour la plupart », est l'objet à la fois de l'étude scientifique et de la logique formelle.

La caractéristique essentielle du syllogisme est que, des quatre termes des deux prémisses, l'un doit apparaître deux fois.

Tous les Grecs sont des hommes

Tous les hommes sont mortels.

Le sujet d'une prémisse doit être le prédicat de l'autre, et il est donc nécessaire d'éliminer de la logique tous les termes qui ne peuvent pas fonctionner à la fois comme sujet et comme prédicat, à savoir les termes singuliers.

Cependant, dans une version populaire du syllogisme du XVIIe siècle, la logique de Port-Royal , les termes singuliers étaient traités comme des universaux :

Tous les hommes sont mortels

Tous les Socrates sont des hommes

Tous les Socrates sont mortels

C’est clairement une situation gênante, une faiblesse exploitée par Frege dans son attaque dévastatrice contre le système.

Le célèbre syllogisme « Socrate est un homme… » est souvent cité comme s’il provenait d’Aristote, mais en fait, il n’apparaît nulle part dans l’ Organon . Sextus Empiricus dans son Hyp. Pyrrh (Esquisses du pyrronisme) ii. 164 mentionne pour la première fois le syllogisme apparenté « Socrate est un être humain, tout être humain est un animal, donc Socrate est un animal. »

Selon la position du terme moyen, Aristote divise le syllogisme en trois types : le syllogisme de la première, de la deuxième et de la troisième figure. Si le terme moyen est sujet d'une prémisse et prédicat de l'autre, les prémisses sont dans la première figure. Si le terme moyen est prédicat des deux prémisses, les prémisses sont dans la deuxième figure. Si le terme moyen est sujet des deux prémisses, les prémisses sont dans la troisième figure.

Symboliquement, les Trois Figures peuvent être représentées comme suit :

Dans la syllogistique aristotélicienne ( Analyses des premiers , livre I, chap. 4-7), les syllogismes sont divisés en trois figures selon la position du terme moyen dans les deux prémisses. La quatrième figure, dans laquelle le terme moyen est le prédicat dans la prémisse majeure et le sujet dans la mineure, a été ajoutée par l'élève d'Aristote, Théophraste , et n'apparaît pas dans l'œuvre d'Aristote, bien qu'il existe des preuves qu'Aristote connaissait des syllogismes à quatrième figure.

Dans les Premiers Analytiques traduits par AJ Jenkins tels qu'ils apparaissent dans le volume 8 des Grands Livres du Monde Occidental, Aristote dit de la première figure : « ... Si A est prédiqué de tout B, et B de tout C, A doit être prédiqué de tout C. » Dans les Premiers Analytiques traduits par Robin Smith, Aristote dit de la première figure : « ... Car si A est prédiqué de tout B et B de tout C, il est nécessaire que A soit prédiqué de tout C. »

En prenant un = est prédiqué de tout = est prédiqué de chaque , et en utilisant la méthode symbolique utilisée au Moyen Âge, alors la première figure est simplifiée en :

Si AaB

et BaC

puis AaC.

Ou ce qui revient au même :

AaB, BaC ; donc AaC

Lorsque les quatre propositions syllogistiques, a, e, i, o sont placées dans la première figure, Aristote propose les formes de déduction valides suivantes pour la première figure :

AaB, BaC ; donc, AaC

AeB, BaC ; donc, AeC

AaB, BiC ; donc, AiC

AeB, BiC ; donc, AoC

Au Moyen Âge, pour des raisons mnémotechniques , on les appelait respectivement « Barbara », « Celarent », « Darii » et « Ferio ».

La différence entre la première figure et les deux autres est que le syllogisme de la première figure est complet alors que celui de la deuxième et de la troisième ne l'est pas. Ceci est important dans la théorie aristotélicienne du syllogisme car la première figure est axiomatique alors que la deuxième et la troisième nécessitent une preuve. La preuve de la deuxième et de la troisième figure ramène toujours à la première figure.

C'est ce que Robin Smith dit en anglais qu'Aristote disait en grec ancien : « ... Si M appartient à tout N mais à aucun X, alors N n'appartiendra à aucun X. Car si M n'appartient à aucun X, X n'appartient pas non plus à aucun M ; mais M appartenait à tout N ; par conséquent, X n'appartiendra à aucun N (car la première figure s'est à nouveau produite). »

L'affirmation ci-dessus peut être simplifiée en utilisant la méthode symbolique utilisée au Moyen Âge :

Si Man

mais MeX

alors NeX.

Car si MeX

alors XeM

mais Man

donc XeN.

Lorsque les quatre propositions syllogistiques, a, e, i, o sont placées dans la deuxième figure, Aristote propose les formes de déduction valides suivantes pour la deuxième figure :

MaN, MeX ; donc NeX

MeN, MaX ; donc NeX

MeN, MiX ; donc NoX

MaN, MoX ; donc NoX

Au Moyen Âge, pour des raisons mnémotechniques, on les appelait respectivement « Camestres », « Cesare », « Festino » et « Baroco ».

Aristote dit dans les Prieurs Analytiques : « Si un terme appartient à tout et un autre à aucun de la même chose, ou s'ils appartiennent tous deux à tout ou à aucun de la même chose, j'appelle cette figure la troisième. » Se référant aux termes universels, « ... alors lorsque P et R appartiennent tous deux à tout S, il en résulte nécessairement que P appartiendra à un R. »

Simplification :

Si PaS

et RaS

puis PiR.

Lorsque les quatre propositions syllogistiques, a, e, i, o sont placées dans la troisième figure, Aristote développe six autres formes de déduction valables :

PaS, RaS ; donc PiR

PeS, RaS ; donc PoR

PiS, RaS ; donc PiR

PaS, RiS ; donc PiR

PoS, RaS ; donc PoR

PeS, RiS ; donc PoR

Au Moyen Âge, pour des raisons mnémotechniques, ces six formes étaient appelées respectivement : « Darapti », « Felapton », « Disamis », « Datisi », « Bocardo » et « Ferison ».

La logique des termes commença à décliner en Europe à la Renaissance , lorsque des logiciens comme Rodolphus Agricola Phrisius (1444-1485) et Ramus (1515-1572) commencèrent à promouvoir la logique des lieux. La tradition logique appelée logique de Port-Royal , ou parfois « logique traditionnelle », considérait les propositions comme des combinaisons d'idées plutôt que de termes, mais suivait par ailleurs de nombreuses conventions de la logique des termes. Elle resta influente, en particulier en Angleterre, jusqu'au XIXe siècle. Leibniz créa un calcul logique distinctif , mais presque tous ses travaux sur la logique restèrent inédits et peu remarqués jusqu'à ce que Louis Couturat parcoure le Leibniz Nachlass vers 1900, publiant ses études pionnières en logique.

Les tentatives d'algébrisation de la logique au XIXe siècle, comme celles de Boole (1815-1864) et de Venn (1834-1923), ont généralement donné lieu à des systèmes fortement influencés par la tradition de la logique des termes. La première logique des prédicats fut celle de l'ouvrage de référence de Frege , Begriffsschrift (1879), peu lu avant 1950, en partie à cause de sa notation excentrique. La logique des prédicats moderne telle que nous la connaissons a commencé dans les années 1880 avec les écrits de Charles Sanders Peirce , qui a influencé Peano (1858-1932) et plus encore, Ernst Schröder (1841-1902). Elle a atteint son apogée entre les mains de Bertrand Russell et d'AN Whitehead , dont les Principia Mathematica (1910-1913) ont utilisé une variante de la logique des prédicats de Peano.

Le terme logique a également survécu dans une certaine mesure dans l'éducation catholique romaine traditionnelle , en particulier dans les séminaires . La théologie catholique médiévale , en particulier les écrits de Thomas d'Aquin , avait une forte connotation aristotélicienne , et le terme logique est donc devenu une partie du raisonnement théologique catholique. Par exemple, les Principes de logique de Joyce (1908 ; 3e édition 1949), écrits pour être utilisés dans les séminaires catholiques, ne font aucune mention de Frege ou de Bertrand Russell .

Certains philosophes se sont plaints du fait que la logique des prédicats :

• Elle est en quelque sorte contre nature, dans la mesure où sa syntaxe ne suit pas celle des phrases qui figurent dans notre raisonnement quotidien. Elle est, comme Quine l'a reconnu, « procustéenne », employant un langage artificiel de fonctions et d'arguments , de quantificateurs et de variables liées .
• Il souffre de problèmes théoriques, le plus grave étant probablement celui des noms vides et des déclarations d’identité.

Même des philosophes universitaires tout à fait dans le courant dominant, comme Gareth Evans , ont écrit ce qui suit :

« J'aborde les recherches sémantiques avec une préférence pour les théories homophoniques ; des théories qui tentent de prendre sérieusement en compte les dispositifs syntaxiques et sémantiques qui existent réellement dans la langue... Je préférerais une telle théorie... à une théorie qui ne peut traiter [des phrases de la forme "tous les A sont des B"] qu'en "découvrant" des constantes logiques cachées ... L'objection ne serait pas que de telles conditions de vérité [frégéennes] ne soient pas correctes, mais que, dans un sens que nous aimerions tous voir plus précisément expliqué, la forme syntaxique de la phrase soit traitée comme une structure superficielle trompeuse » (Evans 1977)

L'acceptation inébranlable de la logique d'Aristote par George Boole est soulignée par l'historien de la logique John Corcoran dans une introduction accessible à Laws of Thought . Corcoran a également écrit une comparaison point par point des Prior Analytics et de Laws of Thought . Selon Corcoran, Boole a pleinement accepté et approuvé la logique d'Aristote. Les objectifs de Boole étaient « d'aller au-dessous, au-dessus et au-delà » de la logique d'Aristote en :

1. en lui fournissant des fondements mathématiques impliquant des équations ;
2. étendre la classe de problèmes qu'il pourrait traiter – de l'évaluation de la validité à la résolution d'équations ; et
3. élargir la gamme des applications qu'il pouvait traiter, par exemple des propositions n'ayant que deux termes à celles en ayant un nombre arbitrairement élevé.

Plus précisément, Boole était d’accord avec ce qu’Aristote disait ; les « désaccords » de Boole, si l’on peut les appeler ainsi, concernent ce qu’Aristote n’a pas dit. Premièrement, dans le domaine des fondements, Boole a réduit les quatre formes propositionnelles de la logique d’Aristote à des formules sous forme d’équations – une idée révolutionnaire en soi. Deuxièmement, dans le domaine des problèmes de logique, l’ajout par Boole de la résolution d’équations à la logique – une autre idée révolutionnaire – impliquait la doctrine de Boole selon laquelle les règles d’inférence d’Aristote (les « syllogismes parfaits ») doivent être complétées par des règles de résolution d’équations. Troisièmement, dans le domaine des applications, le système de Boole pouvait traiter des propositions et des arguments à plusieurs termes alors qu’Aristote ne pouvait traiter que des propositions et des arguments à deux termes de type sujet-prédicat. Par exemple, le système d'Aristote ne pouvait pas déduire « Aucun quadrilatère qui est un carré n'est un rectangle qui est un losange » de « Aucun carré qui est un quadrilatère n'est un losange qui est un rectangle » ou de « Aucun losange qui est un rectangle n'est un carré qui est un quadrilatère ».