Variables libres et variables liées

mathématiques , et dans d'autres disciplines utilisant des langages formels , comme la logique mathématique et l'informatique , une variable peut être libre ou liée. Certains ouvrages anciens emploient les termes « variable réelle » et « variable apparente » pour désigner respectivement une variable libre et une variable liée . Une variable libre est une notation (symbole) qui indique les emplacements d'une expression où une substitution est possible et qui n'est pas un paramètre de cette expression ni d'aucune autre expression conteneur. Ce concept est apparenté à celui de caractère générique (un symbole qui sera ultérieurement remplacé par une valeur) ou de caractère non spécifié.

En programmation informatique , le terme « variable libre » désigne les variables utilisées dans une fonction qui ne sont ni des variables locales ni des paramètres de cette fonction. Le terme « variable non locale » est souvent employé comme synonyme dans ce contexte.

Une instance d'un symbole de variable est dite liée , en revanche, si la valeur de ce symbole de variable a été liée à une valeur spécifique ou à un intervalle de valeurs dans le domaine de discours ou l'univers . Ceci peut être réalisé par l'utilisation de quantificateurs logiques, d'opérateurs de liaison de variables ou d'une déclaration explicite des valeurs autorisées pour la variable (par exemple : « …où »). $est un entier positif".)$

Puisqu'un même symbole de variable peut apparaître à plusieurs endroits dans une expression, certaines occurrences de ce symbole peuvent être libres tandis que d'autres sont liées Par conséquent, les notions de « libre » et de « lié » sont d'abord définies pour les occurrences, puis généralisées à l'ensemble des occurrences dudit symbole de variable dans l'expression. Un symbole de variable est globalement libre si au moins une de ses occurrences est libre.

Bien que le domaine de discours soit généralement sous-entendu, lorsqu'aucune plage de valeurs explicite n'est fournie pour la variable liée, il peut être nécessaire de le préciser afin d'évaluer correctement l'expression. Par exemple, considérons l'expression suivante, dans laquelle les deux variables sont liées par des quantificateurs logiques :

Cette expression est évaluée à faux si le domaine de $et est vrai pour les nombres réels, mais vrai si le domaine est celui des nombres complexes .$

Le terme « variable muette » est parfois utilisé pour désigner une variable liée (plus fréquemment en mathématiques générales qu'en informatique), mais il ne faut pas le confondre avec le concept, identique mais sans rapport, de variable muette tel qu'il est utilisé en statistique, notamment en analyse de régression . ^p.17

est une variable libre et est une variable liée ; par conséquent, la valeur de cette expression dépend de la valeur de mais il n'y a rien qui s'appelle dont cela pourrait dépendre.

Dans l'expression :

est une variable libre et est une variable liée ; par conséquent, la valeur de cette expression dépend de la valeur de mais il n'y a rien qui s'appelle dont cela pourrait dépendre.

Dans l'expression :

est une variable libre et est une variable liée ; par conséquent, la valeur de cette expression dépend de la valeur de mais il n'y a rien qui s'appelle dont cela pourrait dépendre.

Dans l'expression :

est une variable libre et et sont des variables liées, associées à des quantificateurs logiques; par conséquent, la valeur logique de cette expression dépend de la valeur de mais il n'y a rien qui s'appelle ou dont cela pourrait dépendre.

Dans les épreuves

Dans un contexte plus général, les variables liées sont fondamentales pour la structure des démonstrations mathématiques . Par exemple, la démonstration suivante montre que le carré de tout entier pair positif est divisible par 4 :

Laisser $Soit un entier pair positif quelconque. Par définition, il existe un entier tel que En substituant cette expression dans celle du carré, on obtient : . Depuis est un entier, est également un entier. Par conséquent, est divisible par 4.$

Dans cette démonstration, les deux $et elles fonctionnent comme des variables liées, mais elles sont liées de différentes manières.$

La variable $est introduit comme un élément arbitraire mais particulier d'un ensemble. L'énoncé « Soit « être\dots » fonctionne implicitement comme un quantificateur universel, liant dans le cadre de la démonstration. La démonstration établit une propriété pour cet unique et arbitraire, ce qui permet de tirer la conclusion générale que la propriété est valable pour tous les entiers pairs positifs.$

La variable $, en revanche, est lié par un quantificateur existentiel (« il existe un entier ») "). Il est introduit pour représenter un entier spécifique, bien qu'anonyme, dont l'existence est garantie par la définition de être même. La portée de se limite au raisonnement qui suit son introduction.$

Ainsi, aucune des deux variables n'est libre ; leur signification est entièrement déterminée par leur rôle au sein de la structure logique de la preuve.

Opérateurs de liaison de variables

En mathématiques et en logique , un certain nombre de symboles fonctionnent comme opérateurs de liaison de variables . Ces opérateurs prennent une fonction ou une formule ouverte comme argument et lient une variable libre au sein de cette expression à un domaine ou une plage de valeurs spécifique, créant une nouvelle expression dont la signification ne dépend pas de la variable liée.

Les opérateurs de liaison de variables courants comprennent :

La somme ( $) et produit () opérateurs, qui lient une variable à un ensemble ou à une plage de valeurs.$

L' intégrale ( $) et limite () opérateurs, qui lient une variable sur un continuum ou lorsqu'elle approche d'une certaine valeur.$

Les quantificateurs logiques , tels que le quantificateur universel ( $) et le quantificateur existentiel (), qui lient une variable sur un domaine de discours .$

Dans chaque cas, la variable x est liée à l'intérieur de l'expression qui suit l'opérateur (par exemple, $ou De nombreux opérateurs agissent sur une fonction de la variable liée. Bien que la notation standard soit souvent suffisante, les expressions complexes avec des opérateurs imbriqués peuvent devenir ambiguës, notamment si le même nom de variable est réutilisé. Cela peut conduire à un problème appelé capture de variable, où une variable censée être libre est liée par erreur par un opérateur dans une portée différente.$

Pour éviter une telle ambiguïté, il peut être utile d'utiliser une notation qui explicite la liaison, en traitant les opérateurs comme des fonctions d'ordre supérieur . Cette approche, fondée sur les principes du lambda-calcul , sépare clairement la fonction sur laquelle elle est appliquée de l'opérateur lui-même.

Par exemple:

La somme $peut être formulé de manière à rendre l'argument fonctionnel explicite :$

Ici, l'opérateur $s'applique à l'ensemble S et à la fonction f .$

L' opérateur de dérivation peut également être représenté clairement comme prenant une fonction comme argument :

Cette notation précise que l'opérateur $est appliqué à la fonction entière, plutôt qu'une simple expression dans laquelle se trouve être une variable.$

Explication formelle

Les mécanismes de liaison de variables apparaissent dans différents contextes en mathématiques, en logique et en informatique. Dans tous les cas, il s'agit toutefois de propriétés purement syntaxiques des expressions et des variables qu'elles contiennent. Dans cette section, nous pouvons résumer la syntaxe en identifiant une expression à un arbre dont les feuilles sont des variables, des constantes, des constantes de fonction ou des constantes de prédicat, et dont les nœuds non-feuilles sont des opérateurs logiques. Cette expression peut alors être déterminée en parcourant l'arbre de manière infixe . Les opérateurs de liaison de variables sont des opérateurs logiques présents dans presque tous les langages formels. $prend deux arguments : une variable et une expression et, lorsqu'elle est appliquée à ses arguments, produit une nouvelle expression La signification des opérateurs de liaison est fournie par la sémantique du langage et ne nous concerne pas ici.$

La liaison de variables concerne trois choses : une variable $, un lieu pour cette variable dans une expression et un nœud non-feuille de la forme Il est important de noter que nous définissons un emplacement dans une expression comme un nœud feuille dans l'arbre syntaxique. La liaison de variables se produit lorsque cet emplacement se trouve sous le nœud. .$

Dans le lambda-calcul , xest une variable liée dans le terme M = λx. Tet une variable libre dans le terme T. On dit xque est liée dans Met libre dans T. Si Tcontient un sous-terme , λx. Ualors xest relativisée dans ce terme. Cette liaison interne imbriquée de xest dite « masquer » la liaison externe. Les occurrences de xdans Usont des occurrences libres de la nouvelle x.

Les variables liées au niveau supérieur d'un programme sont techniquement des variables libres dans les termes auxquels elles sont liées, mais elles sont souvent traitées différemment car elles peuvent être compilées avec des adresses fixes. De même, un identificateur lié à une fonction récursive est également techniquement une variable libre dans son propre corps, mais il est traité différemment.

Un terme fermé est un terme ne contenant aucune variable libre.

Définition de fonctions et opérateurs comme liants

Un exemple clair d'opérateur de liaison de variables en mathématiques est la définition de fonction . Une expression qui définit une fonction, comme le membre de droite de :

lie les variables $L'expression, qui constitue le corps de la fonction, peut contenir certaines, toutes ou aucune des variables, qui sont ses paramètres formels. Toute occurrence de ces variables dans est limité par la définition de la fonction. Le corps peut également contenir d'autres variables, qui seraient considérées comme des variables libres dont les valeurs doivent être déterminées à partir d'un contexte plus large.$

L'expression $est directement analogue aux expressions lambda du lambda-calcul, où le Le symbole est l'opérateur fondamental de liaison de variables. Par exemple, la définition de fonction est équivalent à l'abstraction lambda .$

La même définition, liant la fonction définie au nom $, est plus couramment écrit dans les textes mathématiques sous la forme$

D'autres opérateurs mathématiques peuvent être considérés comme des fonctions d'ordre supérieur qui lient des variables. Par exemple, l' opérateur de sommation , $peut être analysé comme un opérateur qui prend une fonction et un ensemble sur lequel évaluer cette fonction. L'expression :$

lie la variable x à l'intérieur du terme $La portée de la liaison est le terme qui suit le symbole de sommation. Cette expression peut être considérée comme une notation plus compacte pour :$

Ici, $est un opérateur à deux paramètres : une fonction à un paramètre (dans ce cas,) et un ensemble pour évaluer cette fonction.$

D'autres opérateurs peuvent être exprimés de manière similaire. Le quantificateur universel $peut être interprété comme un opérateur qui s'évalue à la conjonction logique de la fonction booléenne appliqué à chaque élément de l'ensemble (éventuellement infini) . De même, l' opérateur de produit (), l' opérateur limite (), et l' opérateur intégral () toutes ces fonctions servent à lier les variables, en liant les variables et respectivement sur un domaine spécifié.$

langage naturel

Analysées sous l’angle de la sémantique formelle , les langues naturelles présentent un système de liaison des variables analogue à celui que l’on trouve en logique formelle et en informatique . Ce système régit l’interprétation des expressions référentielles, notamment des pronoms , au sein d’une phrase ou d’un discours.

Les pronoms comme variables libres

En anglais, les pronoms personnels tels que he , she , they et leurs variantes (par exemple, her , him ) peuvent fonctionner comme des variables libres . Une variable libre est un terme dont le référent n'est pas déterminé par la structure syntaxique immédiate de la phrase et doit être identifié par le contexte plus large, qui peut être linguistique ou situationnel ( pragmatique ).

Considérez la phrase suivante :

Lisa a retrouvé son livre.

Le pronom possessif « her » est une variable libre. Son interprétation est flexible ; il peut se référer à Lisa , à une entité au sein de la phrase, ou à une autre personne de sexe féminin importante dans le contexte de l’énoncé. Cette ambiguïté conduit à deux interprétations principales, qui peuvent être formellement représentées à l’aide d’indices de co-indexation. Un indice identique indique une coréférence , tandis que des indices différents signalent que les expressions se réfèrent à des entités différentes.

Lisa, _jel' ai trouvée _{dans mon} livre.
- (Cette interprétation indique une coréférence, où « elle » fait référence à Lisa. On parle souvent d'une lecture anaphorique, où « elle » est une anaphore et « Lisa » son antécédent .)
Lisa, _j'ai trouvé son livre _J.
- (Dans cette interprétation, « elle » désigne une personne de sexe féminin autre que Lisa, par exemple une personne nommée Jane mentionnée plus tôt dans la conversation.)

Cette distinction n’est pas un simple exercice théorique. Certaines langues possèdent des formes pronominales distinctes pour différencier ces deux lectures. Par exemple, le norvégien et le suédois utilisent le possessif réfléchi sin pour la lecture coréférentielle ( her _i ) et une forme non réfléchie comme hennes (en suédois) pour la lecture non coréférentielle ( her _j ).

Bien que l’anglais ne possède pas cette distinction explicite dans ses pronoms standard, il peut forcer une lecture coréférentielle en utilisant le possessif emphatique own .

Lisa, _j'ai trouvé son _livre . (Corréférence requise)
Lisa a _trouvé son propre _livre .

Les anaphores comme variables liées

Contrairement aux pronoms personnels, les pronoms réfléchis (par exemple, lui-même , elle-même , eux-mêmes ) et les pronoms réciproques (par exemple, l'un l'autre ) fonctionnent comme des variables liées , également appelées anaphores en linguistique . Une variable liée est une expression qui doit être co-indexée et commandée par un antécédent au sein d'un domaine syntaxique spécifique.

Considérons la phrase :

lambda-calcul utilisé en sémantique formelle pour modéliser l'abstraction et l'application de fonctions. La phrase peut être représentée comme suit :

(λx.x hurt x)(Jane)

Dans cette notation :

λxest l'opérateur lambda qui lie la variable x.
x hurt xest le prédicat , une fonction qui prend un argument et déclare que cet argument s'est blessé lui-même.
(Jane)est l'argument appliqué à la fonction.

L'expression s'évalue à « Jane a blessé Jane », reflétant correctement le fait que le sujet et l'objet du verbe sont la même entité.

Théorie de la liaison

Le comportement distinct des pronoms et des anaphores est systématiquement expliqué par la théorie du liage , un élément central de la théorie du gouvernement et du liage de Noam Chomsky . Cette théorie propose trois principes qui régissent l'interprétation des différents types de syntagmes nominaux :

Principe A : Une anaphore (réflexive, réciproque) doit être liée à sa catégorie rattache (en gros, la proposition locale ). Ceci explique pourquoi « elle-même » dans « Jane s’est blessée » doit être lié par « Jane » .

Principe B : Un pronom doit être libre dans sa catégorie grammaticale. Ceci explique pourquoi un pronom personnel ne peut souvent pas être lié par un antécédent local. Par exemple, dans « Ashley l’a frappée », le pronom « elle » ne peut pas se référer à Ashley .
- Ashley , _jel' ai frappée _. (Phrase incorrecte en raison du principe B)
- Ashley, _jel' ai frappée _. (Grammaticalement, « elle » fait référence à une autre personne qu'Ashley)

Principe C : Une expression référentielle (une expression référentielle comme un nom propre, par exemple Jane , ou une description définie, par exemple la femme ) doit être libre partout. Ceci empêche qu’une expression référentielle soit co-indexée avec un pronom de commandement c, comme dans * Il _a dit que John _était fatigué*.

Groupes nominaux quantitatifs

Le concept de liaison de variables est essentiel à la compréhension des syntagmes nominaux quantificateurs (SMQ), tels que « chaque étudiant » , « un homme politique » ou « personne » . Contrairement aux noms propres, ces syntagmes ne désignent pas une entité spécifique. Ils expriment plutôt une quantité sur un ensemble d'individus. Un SMQ peut lier un pronom qui relève de sa portée , faisant de ce pronom une variable liée.

pense que est intelligent. Dans les théories syntaxiques, cela est souvent analysé via un processus d' élévation du quantificateur (QR), où le QNP se déplace au niveau syntaxique abstrait de la forme logique vers une position où il commande et lie le pronom.

Questions en Wh et propositions relatives

La liaison des variables est également essentielle à l'analyse du mouvement wh , qui intervient dans la formation des questions et des propositions relatives . Les mots wh comme qui , quoi et lequel fonctionnent comme des opérateurs qui lient une variable dans la proposition principale.

Question : Qui _John aime- t _-il ?
Proposition relative : L'homme [que _Marie a vu ] _est mon frère.

Dans ces structures, on dit que le mot interrogatif se déplace à partir d'une position sous-jacente, laissant derrière lui une « trace ». $, qui est traitée comme une variable liée. La question peut être paraphrasée ainsi : « Pour quelle personne ? » John aime-t-il ?". De même, la proposition relative désigne un ensemble d'individus tel que « Marie vit ".$

Identité floue versus identité stricte dans l'ellipse

La distinction entre variables libres et variables liées fournit une explication convaincante à certaines ambiguïtés qui surviennent lors de l'ellipse du syntagme verbal . Prenons l'exemple de la phrase suivante :

Identité floue : Bill aime la mère de Bill .

Cette ambiguïté peut s’expliquer par le statut du pronom « son » dans la première proposition.

Si « his » est considéré comme une variable libre se référant à John, le groupe verbal élidé (ou « manquant ») est interprété comme « aime la mère de John ». Appliqué à Bill, cela donne l’ interprétation stricte .
Si « his » est traité comme une variable liée par le sujet de sa proposition (c’est-à-dire « John » ), le groupe verbal est interprété comme une propriété abstraite par lambda : λx.x loves x's mother. Lorsque cette propriété est appliquée à « Bill », on obtient une lecture approximative .

L’existence de la lecture sloppy de l’identité est considérée comme une preuve solide de la réalité psychologique des interprétations de variables liées dans la grammaire des langues naturelles .

Ainsi, la distribution et l’interprétation des pronoms et autres expressions référentielles dans les langues naturelles ne sont pas aléatoires, mais sont régies par un système syntaxique et sémantique sophistiqué.

La distinction entre variables libres et variables liées est une pierre angulaire de la théorie linguistique moderne, fournissant les outils analytiques nécessaires pour rendre compte de la coréférence, de la quantification, de la formation des questions et de l'ellipse.