Fonctions orthogonales

En mathématiques , les fonctions orthogonales appartiennent à un espace de fonctions qui est un espace vectoriel doté d'une forme bilinéaire . Lorsque l'espace de fonctions a un intervalle comme domaine , la forme bilinéaire peut être l' intégrale du produit de fonctions sur l'intervalle :

{\displaystyle \langle f,g angle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mrow> <mover> <mrow> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>¯</mo> </mover> </mrow> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle f,g angle =\int {\overline {f(x)}}g(x)\,dx.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Les fonctions et sont orthogonales lorsque cette intégrale est nulle, c'est- à-dire lorsque . Comme pour une base de vecteurs dans un espace de dimension finie, des fonctions orthogonales peuvent former une base infinie pour un espace de fonctions. Conceptuellement, l'intégrale ci-dessus est l'équivalent d'un produit scalaire vectoriel ; deux vecteurs sont mutuellement indépendants (orthogonaux) si leur produit scalaire est nul. ${\displaystyle f <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle g}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \langle f,\,g angle =0 <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mspace></mspace> <mi>g</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle f,\,g angle =0}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle f eq g <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>f</mi> <mo>≠</mo> <mi>g</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle f eq g}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Supposons qu'il existe une suite de fonctions orthogonales de normes L ² non nulles . Il s'ensuit que la suite est constituée de fonctions de norme L ² un, formant une suite orthonormale . Pour avoir une norme L ² définie , l'intégrale doit être bornée, ce qui restreint les fonctions à être intégrables de carré . ${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \ <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>{</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>0</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <mo>…</mo> <mo>}</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle \left\|f_{n} ight\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n} angle }}=\left(\int f_{n}^{2}\ dx ight)^{\frac {1}{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <msub> <mrow> <mo>‖</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>‖</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <mo>⟨</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>⟩</mo> </msqrt> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mo>∫</mo> <msubsup> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msubsup> <mtext> </mtext> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle \gauche\|f_{n}\droite\|_{2}={\sqrt {\langle f_{n},f_{n} angle }}=\gauche(\int f_{n}^{2}\ dx\droite)^{\frac {1}{2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle \left\{f_{n}/\left\|f_{n} ight\|_{2} ight\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <msub> <mrow> <mo>‖</mo> <msub> <mi>f</mi> <mrow> <mi>n</mi> </mrow> </msub> <mo>‖</mo> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gauche\{f_{n}/\gauche\|f_{n}\droite\|_{2}\droite\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Fonctions trigonométriques

Plusieurs ensembles de fonctions orthogonales sont devenus des bases standard pour l'approximation des fonctions. Par exemple, les fonctions sinus sin nx et sin mx sont orthogonales sur l'intervalle lorsque et n et m sont des entiers positifs. Pour alors ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>x</mi> <mo>∈</mo> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>π</mi> <mo>,</mo> <mi>π</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle m eq n <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>≠</mo> <mi>n</mi> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle m eq n}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle 2\sin \left(mx ight)\sin \left(nx ight)=\cos \left(\left(m-n ight)x ight)-\cos \left(\left(m+n ight)x ight), <semantics> <mrow> <mstyle> <mn>2</mn> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>péché</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>−</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>−</mo> <mi>parce que</mi> <mo>⁡</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mi>n</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>x</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle 2\sin \gauche(mx\droite)\sin \gauche(nx\droite)=\cos \gauche(\gauche(mn\droite)x\droite)-\cos \gauche(\gauche(m+n\droite)x\droite),}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

et l'intégrale du produit des deux fonctions sinus s'annule. Avec les fonctions cosinus, ces fonctions orthogonales peuvent être assemblées en un polynôme trigonométrique pour approximer une fonction donnée sur l'intervalle avec sa série de Fourier .

Polynômes

Si l'on part de la suite monomiale sur l'intervalle et que l'on applique le processus de Gram-Schmidt , on obtient les polynômes de Legendre . Une autre collection de polynômes orthogonaux est celle des polynômes de Legendre associés . ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots ight\ <semantics> <mrow> <mstyle> <mrow> <mo>{</mo> <mrow> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>x</mi> <mo>,</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>…</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \gauche\{1,x,x^{2},\points \droite\}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle [-1,1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$

L'étude des polynômes orthogonaux implique des fonctions de pondération qui sont insérées sous la forme bilinéaire : ${\displaystyle w(x) <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle w(x)}</annotation> </semantics> </math><img src=$

{\displaystyle \langle f,g angle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx. <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>⟨</mo> <mi>f</mi> <mo>,</mo> <mi>g</mi> <mo>⟩</mo> <mo>=</mo> <mo>∫</mo> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>f</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mspace></mspace> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>.</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle \langle f,g angle =\int w(x)f(x)g(x)\,dx.}</annotation> </semantics> </math></span><img src=

Pour les polynômes de Laguerre, la fonction de pondération est . ${\displaystyle (0,\infty ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>∞</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (0,\infty )}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle w(x)=e^{-x}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les physiciens et les théoriciens des probabilités utilisent tous deux des polynômes d'Hermite sur , où la fonction de pondération est ou . ${\displaystyle (-\infty ,\infty ) <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>(</mo> <mo>−</mo> <mi>∞</mi> <mo>,</mo> <mi>∞</mi> <mo>)</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle (-\infty,\infty)}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle w (x) = e ^ {-x ^ {2}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}/2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msup> <mi>et</mi> <mrow> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>/</mo> </mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </mstyle> </mrow> <annotation>{ displaystyle w (x) = e ^ {-x ^ {2}/2}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les polynômes de Tchebychev sont définis sur et utilisent des poids ou . ${\displaystyle [-1,1] <semantics> <mrow> <mstyle> <mo>[</mo> <mo>−</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>1</mn> <mo>]</mo> </mstyle> </mrow> <annotation>{\displaystyle [-1,1]}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <mfrac> <mn>1</mn> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mfrac> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$ ${ extstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2 <semantics> <mrow> <mstyle> <mi>m</mi> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <mrow> <msqrt> <mn>1</mn> <mo>−</mo> <msup> <mi>x</mi> <mrow> <mn>2</mn> </mrow> </msup> </msqrt> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation>{ extstyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}</annotation> </semantics> </math><img src=$

Les polynômes de Zernike sont définis sur le disque unité et présentent une orthogonalité des parties radiales et angulaires.

Fonctions à valeurs binaires

Les fonctions de Walsh et les ondelettes de Haar sont des exemples de fonctions orthogonales à plages discrètes.

Fonctions rationnelles

Les polynômes de Legendre et de Chebyshev fournissent des familles orthogonales pour l'intervalle [−1, 1] tandis que des familles orthogonales sont parfois nécessaires sur [0, ∞) . Dans ce cas, il est pratique d'appliquer d'abord la transformée de Cayley , pour amener l'argument dans [−1, 1] . Cette procédure donne lieu à des familles de fonctions rationnelles orthogonales appelées fonctions rationnelles de Legendre et fonctions rationnelles de Chebyshev .

Dans les équations différentielles

Les solutions d' équations différentielles linéaires avec conditions aux limites peuvent souvent être écrites comme une somme pondérée de fonctions de solution orthogonales (également appelées fonctions propres ), conduisant à une série de Fourier généralisée .