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En mathématiques , une fonction propre d'un opérateur linéaire D défini sur un espace fonctionnel est une fonction non nulle de cet espace qui, lorsqu'elle est appliquée par D , n'est multipliée que par un facteur d'échelle appelé valeur propre . Cette condition peut s'écrire sous forme d'équation :
Une fonction propre est un type de vecteur propre .
espace vectoriel est un vecteur non nul du domaine de D qui, lorsque D agit sur lui, est simplement multiplié par un scalaire appelé valeur propre. Dans le cas particulier où D est défini sur un espace fonctionnel, les vecteurs propres sont appelés fonctions propres . Autrement dit, une fonction f est une fonction propre de D si elle satisfait l'équationoù λ est un scalaire. Les solutions de l'équation 1 ) peuvent également être soumises à des conditions aux limites. Du fait de ces conditions, les valeurs possibles de λ sont généralement limitées, par exemple à un ensemble discret λ 1 , λ 2 , … ou à un ensemble continu sur un certain intervalle. L'ensemble de toutes les valeurs propres possibles de D est parfois appelé son spectre , qui peut être discret, continu ou une combinaison des deux.
Chaque valeur de λ correspond à une ou plusieurs fonctions propres. Si plusieurs fonctions propres linéairement indépendantes ont la même valeur propre, on dit que cette valeur propre est dégénérée et le nombre maximal de fonctions propres linéairement indépendantes associées à cette même valeur propre est appelé degré de dégénérescence ou multiplicité géométrique de la valeur propre .
Exemple dérivé
Les opérateurs différentiels sur l'espace C∞ des fonctions réelles ou complexes infiniment différentiables d'un argument réel ou complexe t constituent une classe largement utilisée d'opérateurs linéaires agissant sur des espaces de dimension infinie . Par exemple, considérons l'opérateur de dérivée avec l'équation aux valeurs propres suivante :
Cette équation différentielle peut être résolue en multipliant les deux membres par et en intégrant. Sa solution est la fonction exponentielle
est la fonction propre de l'opérateur de dérivée, où f₀ est un paramètre dépendant des conditions aux limites. Notons que, dans ce cas, la fonction propre est elle-même fonction de sa valeur propre associée λ, qui peut prendre n'importe quelle valeur réelle ou complexe. En particulier, notons que pour λ = 0, la fonction propre f ( t ) est constante.
Supposons dans l'exemple que f ( t ) soit soumise aux conditions aux limites f (0) = 1 et . On constate alors que
où λ = 2 est la seule valeur propre de l'équation différentielle qui satisfait également la condition aux limites.
Lien vers les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices
Les fonctions propres peuvent être exprimées sous forme de vecteurs colonnes et les opérateurs linéaires sous forme de matrices, même si celles-ci peuvent être de dimension infinie. De ce fait, de nombreux concepts relatifs aux vecteurs propres des matrices s'appliquent également à l'étude des fonctions propres.
Définir le produit scalaire dans l'espace fonctionnel sur lequel D est défini comme
intégré sur une certaine plage d'intérêt pour t appelée Ω. Le * désigne le conjugué complexe .
Supposons que l'espace des fonctions possède une base orthonormée donnée par l'ensemble des fonctions { u 1 ( t ), u 2 ( t ), …, u n ( t ) }, où n peut être infini. Pour la base orthonormée,
où δ ij est le delta de Kronecker et peut être considéré comme les éléments de la matrice identité .
Les fonctions peuvent être écrites comme une combinaison linéaire des fonctions de base,
Par exemple, par le biais d'un développement en série de Fourier de f ( t ). Les coefficients b<sub> j </sub> peuvent être empilés dans un vecteur colonne n × 1
Nous pouvons écrire la fonction Df ( t ) soit comme une combinaison linéaire des fonctions de base soit comme D agissant sur le développement de f ( t ),
En prenant le produit scalaire de chaque côté de cette équation avec une fonction de base arbitraire u i ( t ),
Il s'agit de la multiplication matricielle Ab = c écrite sous forme de sommation et qui est l'équivalent matriciel de l'opérateur D agissant sur la fonction f ( t ) exprimée dans la base orthonormée. Si f ( t ) est une fonction propre de D avec la valeur propre λ, alors Ab = λb .
Valeurs propres et fonctions propres des opérateurs hermitiens
De nombreux opérateurs rencontrés en physique sont hermitiens . Supposons que l'opérateur linéaire D agisse sur un espace fonctionnel qui est un espace de Hilbert muni d'une base orthonormée donnée par l'ensemble des fonctions { u₁ ( t ), u₂ ( t ), …, uₙ ( t ) }, où n peut être infini. Dans cette base, l'opérateur D admet une représentation matricielle A dont les éléments sont
intégré sur une certaine plage d'intérêt pour t noté Ω.
Par analogie avec les matrices hermitiennes , D est un opérateur hermitien si A ij = A ji *, ou :
Considérons l'opérateur hermitien D avec des valeurs propres λ₁, λ₂ , ... et des fonctions propres correspondantes f₁ ( t ), f₂ ( t ) , ... Cet opérateur hermitien possède les propriétés suivantes :
- Ses valeurs propres sont réelles, λ i = λ i *
- Ses fonctions propres obéissent à une condition d'orthogonalité, si i ≠ j
La seconde condition est toujours vérifiée pour λ <sub>i</sub> ≠ λ <sub> j</sub> . Pour des fonctions propres dégénérées ayant la même valeur propre λ <sub> i</sub> , on peut toujours choisir des fonctions propres orthogonales qui engendrent le sous-espace propre associé à λ <sub>i</sub> , par exemple en utilisant le procédé de Gram-Schmidt . Selon que le spectre est discret ou continu, les fonctions propres peuvent être normalisées en égalant leur produit scalaire à une fonction delta de Kronecker ou à une fonction delta de Dirac , respectivement.
Pour de nombreux opérateurs hermitiens, notamment les opérateurs de Sturm-Liouville , une troisième propriété est
- Ses fonctions propres forment une base de l'espace fonctionnel sur lequel l'opérateur est défini
Par conséquent, dans de nombreux cas importants, les fonctions propres de l'opérateur hermitien forment une base orthonormée. Dans ces cas, une fonction quelconque peut être exprimée comme une combinaison linéaire des fonctions propres de l'opérateur hermitien.
Applications
cordes vibrantes
Soit cordes vibrantes d'un instrument à cordes , en fonction de la position infinitésimales de la corde, la fonction équation aux dérivées partielles suivante :
qui est appelée l' équation d'onde (unidimensionnelle) . Ici, séparation des variables . Si l'on suppose que
Chacune de ces équations est une équation aux valeurs propres avec des valeurs propres.
Cette dernière condition aux limites contraint entier. Ainsi, la corde fixée supporte une famille d'ondes stationnaires de la forme
Dans l'exemple d'un instrument à cordes, la fréquence harmonique , appelée harmonique .
Équation de Schrödinger
En mécanique quantique , l' équation de Schrödinger
avec l' opérateur hamiltonien
Ces deux équations différentielles sont des équations aux valeurs propres, la valeur propre étant 3 ) est l'exponentielle.
L'équation 2 ) est l'équation de Schrödinger indépendante du temps. Les fonctions propres des états stationnaires du système quantique, chacun associé à une énergie
Le succès de l'équation de Schrödinger dans l'explication des caractéristiques spectrales de l'hydrogène est considéré comme l'un des plus grands triomphes de la physique du XXe siècle.
Signaux et systèmes
Dans l'étude des signaux et des systèmes , une fonction propre d'un système est un signal
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