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Une illustration de la valeur de pi
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Le nombre nombre irrationnel , ce qui signifie qu'il ne peut pas être exprimé exactement comme un rapport de deux entiers , bien que des fractions telles que des approximations pour l'approcher. Par conséquent, sondéveloppement décimalest infini et neprésente aucune répétition permanente. π est unnombre transcendant, ce qui signifie qu'il ne peut être solution d'uneéquation algébriquene comportant que des sommes,des produits,des puissanceset des entiers finis. La transcendance dela quadrature du cercleà larègle et au compas. Les décimales deuniformément réparties, mais cetteconjecturen'a pas encore été démontrée.
Les mathématiciens ont cherché à approfondir leur compréhension de Égyptiens et les Babyloniens , avaient besoin d'approximations assez précises de mathématicien grec Archimède créa un algorithme permettant d'approximer des mathématiciens chinois approchèrent des mathématiciens indiens en obtinrent une approximation à cinq décimales, tous deux utilisant des techniques géométriques . La première formule de calcul de les séries infinies , fut découverte un millénaire plus tard.
La première utilisation connue de la lettre grecque π pour représenter le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est due au mathématicien gallois William Jones en 1706. L'invention du calcul infinitésimal a rapidement permis de calculer des centaines de décimales de informaticiens ont exploré de nouvelles approches qui, combinées à la puissance de calcul croissante, ont étendu la représentation décimale de trigonométrie et de géométrie, notamment celles concernant les cercles, les ellipses et les sphères . On le retrouve également dans des formules de cosmologie , de fractales , de thermodynamique , de mécanique et d'électromagnétisme . Il figure aussi dans des domaines tels que la théorie des nombres , les statistiques et l' analyse mathématique moderne : lettre grecque minuscule prononce « pie » ( produit d'une suite , de la même manière que la somme .
Le choix du symbole §
Ici, la circonférence d'un cercle est la longueur de l'arc autour du périmètre du cercle, une quantité qui peut être formellement définie à l'aide de limites – un concept du calcul différentiel et intégral . Par exemple, on peut calculer directement la longueur de l'arc de la moitié supérieure du cercle unité, donnée en coordonnées cartésiennes par l'équation , comme l' intégrale :
Une intégrale de ce type a été proposée comme définition de Karl Weierstrass , qui l'a définie directement comme une intégrale en 1841.
L'intégration n'est plus couramment utilisée dans une première définition analytique car, comme l'explique le calcul différentiel précède généralement le calcul intégral dans le cursus universitaire. Il est donc souhaitable de disposer d'une définition de Edmund Landau [ la suivante : cosinus s'annule sinus s'annule, et représente la différence entre deux zéros consécutifs de la fonction sinus. Le cosinus et le sinus peuvent être définis indépendamment de la géométrie, soit comme une série entière , soit comme la solution d'une équation différentielle .
Dans le même esprit, exponentielle complexe , complexe nombre irrationnel , ce qui signifie qu'il ne peut pas être écrit comme le rapport de deux entiers . Les fractions telles que fraction usuelle(rapport de nombres entiers) ne peut être sa valeur exacte. Puisquedéveloppement décimalpossède uneinfinitéet ne se réduit pas à uneséquence infiniment répétitivedémonstrations del'irrationalitéde démonstrations par l'absurdenécessitant le calcul différentiel et intégral. Lamesure d'irrationalitéLiouville.
nombre normal ?Les décimales de aléatoire statistique , notamment les tests de normalité ; un nombre de longueur infinie est dit normal lorsque toutes les séquences possibles de ses décimales (de longueur quelconque) apparaissent avec la même fréquence. La conjecture selon laquelle Yasumasa Kanada a réalisé des analyses statistiques détaillées sur les décimales de des tests de signification statistique , et aucune régularité n'a été mise en évidence. D'après le théorème du singe savant , toute séquence aléatoire de chiffres contient des sous-séquences arbitrairement longues qui semblent non aléatoires . Ainsi, puisque la séquence des décimales de séquence de six 9 consécutifs commençant à la 762e décimale de la représentation décimale de En plus d'être irrationnel, nombre transcendant , ce qui signifie qu'il n'est la solution d'aucune équation polynomiale non constante à coefficients rationnels , telle que Lindemann-Weierstrass , qui établit également la transcendance de la constante de racines carrées ou de racines n -ièmes (telles que πⁿ ou πⁿ⁻¹ ). Deuxièmement, puisqu’aucun nombre transcendant ne peut être construit à la règle et au compas , il est impossible de « quadrater le cercle ». Autrement dit, il est impossible de construire, à l’aide du seul compas et de la règle, un carré dont l’aire soit exactement égale à celle d’un cercle donné. La quadrature du cercle était l’un des problèmes géométriques majeurs de l’ Antiquité classique . Des mathématiciens amateurs, à l’époque moderne, ont parfois tenté de résoudre la quadrature du cercle et ont prétendu y être parvenus , malgré le fait que ce soit mathématiquement impossible. algébriquement indépendants (« relativement transcendants ») reste à ce jour non résolue . La conjecture de Schanuel – une généralisation non encore démontrée du théorème de Lindemann-Weierstrass – permettrait de résoudre ce problème . fraction ordinaire . Cependant, comme tout nombre, fraction continue simple : La troncature de la fraction continue en un point quelconque donne une approximation rationnelle de dénominateur. Puisquealgébriqueet ne peut donc pas être unnombre irrationnel quadratique. Par conséquent,fraction continue périodique. Bien que la fraction continue simple de plusieurs fractions continuesnon simplesen présentent, telles que : Voici quelques approximations de pi : Chiffres dans d'autres systèmes de numération Tout nombre complexe , par exemple nombres réels . Dans le système de coordonnées polaires , un nombre ( rayon ou origine du plan complexe , et l'autre (angle ou rotation dans le sens antihoraire par rapport à la ligne réelle positive : où unité imaginaire satisfaisant . L'apparition fréquente de l'analyse complexe peut être liée au comportement de la fonction exponentielle d'une variable complexe, décrite par la formule d'Euler : où la constante logarithme népérien . Cette formule établit une correspondance entre les puissances imaginaires de cercle unité centré à l'origine du plan complexe. En posant dans la formule d'Euler, on obtient l'identité d'Euler , célèbre en mathématiques car elle contient cinq constantes mathématiques importantes : Il existe , et ceux-ci sont appelés les « racines de l'unité » et sont donnés par la formule :Valeur approximative et nombre de chiffres
Nombres complexes et identité d'Euler
Babylone et en Égypte , toutes deux à moins d'un pour cent de la valeur exacte. À Babylone, une tablette d'argile datée de 1900-1600 papyrus Rhind, daté d'environ16501850pyramidologuesaient émis l'hypothèse que laGrande Pyramide de Gizehait été construite selon des proportions liées àShulba Sutrasdesmathématiques indiennes, datant d'une tradition orale du Ier ou IIe millénaireav. J.-C., des approximations sont données qui ont été diversement interprétées comme étant approximativement 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 ou 3,125.Histoire
Dans la Chine ancienne , les valeurs de Cao WeiLiu Huicréa unalgorithme itératif basé sur les polygones, grâce auquel il construisit un polygone à 3 072 côtés pour approcherZu Chongzhicalcula πproposales approximations milü (« rapport proche ») etyuelü(« rapport approximatif ») respectivement, en itérant avec l'algorithme de Liu Hui jusqu'à un polygone à 12 288 côtés. Avec une valeur correcte pour ses sept premières décimales, le résultat de Zu est resté l'approximation la plus précise deAryabhata utilisa la valeur 3,1416 dans son Āryabhaṭīya (499 Fibonacci calcula 3,1418 à l’aide d’une méthode polygonale conçue indépendamment d’Archimède. L’auteur italien Dante employa apparemment cette valeur .
L'astronome persan Jamshīd al-Kāshī produisit neuf chiffres sexagésimaux , soit l'équivalent d'environ 16 chiffres décimaux, en 1424, à l'aide d'un polygone à 2 côtés , ce qui constitua le record du monde pendant environ 180 ans . Le mathématicien français François Viète obtint neuf chiffres en 1579 avec un polygone à 2 côtés . Le mathématicien flamand Adriaan van Roomen atteignit 15 décimales en 1593 En 1596, le mathématicien néerlandais Ludolph van Ceulen atteignit 20 chiffres, un record qu'il porta plus tard à 35 chiffres (de ce fait, Willebrord Snellius atteignit 34 chiffres en 1621, et l'astronome autrichien Christoph Grienberger arriva à 38 chiffres en 1630 en utilisant 10⁴⁰ côtés. Christiaan Huygens parvint à 10 décimales en 1654 en utilisant une méthode légèrement différente, équivalente à l'extrapolation de Richardson .
Série infinie
Le calcul de des séries infinies aux XVIe et XVIIe siècles. Une série infinie est la somme des termes d'une suite infinie . Les séries infinies ont permis aux mathématiciens de calculer d'Archimède et d'autres qui utilisaient des techniques géométriques. Bien que les séries infinies aient été exploitées pour James Gregory et Gottfried Wilhelm Leibniz , cette approche est également apparue dans l' école du Kerala au cours du XIVe ou XVe siècle. Vers 1500, une série infinie permettant de calculer sanskrits , a été présentée dans le Tantrasamgraha par Nilakantha Somayaji . Les séries sont présentées sans démonstration, mais des démonstrations sont fournies dans l'ouvrage ultérieur Yuktibhāṣā , publié vers 1530. Plusieurs séries infinies y sont décrites, notamment les séries du sinus (que Nilakantha attribue à Madhava de Sangamagrama ), du cosinus et de l'arctangente, parfois appelées séries de Madhava . La série de l'arctangente est parfois appelée série de Gregory ou série de Gregory-Leibniz. Madhava a utilisé des séries infinies pour estimer François Viète publia ce que l'on appelle aujourd'hui la formule de Viète , un produit infini (plutôt qu'une somme infinie , qui est plus couramment utilisée dans les calculs
En 1655, John Wallis publia ce que l'on appelle aujourd'hui le produit de Wallis , également un produit infini :
Cette série, parfois appelée série de Gregory-Leibniz , est égale à lorsqu'elle est évaluée avec elle converge de manière impraticablement lente (c'est-à-dire qu'elle approche la réponse très progressivement), nécessitant environ dix fois plus de termes pour calculer chaque chiffre supplémentaire.
En 1699, le mathématicien anglais Abraham Sharp a utilisé la série de Gregory-Leibniz pour calculer John Machin a utilisé la série Gregory-Leibniz pour produire un algorithme qui convergeait beaucoup plus rapidement :
Machin a atteint 100 décimales de de formules de type Machin , qui ont été utilisées pour établir plusieurs records successifs de calcul des décimales de a accéléré la convergence de la série Gregory–Leibniz en 1684 (dans un ouvrage non publié ; d'autres ont découvert le résultat indépendamment) :
Leonhard Euler a popularisé cette série dans son manuel de calcul différentiel de 1755, et l'a ensuite utilisée avec des formules de type Machin, notamment avec lesquelles il a calculé 20 décimales de En 1844, Zacharias Dase établit un record en calculant mentalement 200 décimales de Carl Friedrich Gauss . Les formules de type Machin demeurent la méthode la plus connue pour calculer William Shanks calcula convergent plus rapidement que d'autres. Face à deux séries infinies de La série de Gregory-Leibniz est une série infinie simple de
Lorsqu'on ajoute les termes un à un de cette série infinie à la somme, le total se rapproche progressivement de
Le tableau suivant compare les taux de convergence de ces deux séries :
Après cinq termes, la somme de la série de Gregory-Leibniz est à moins de 0,2 de la valeur exacte de de Machin et de Chudnovsky , cette dernière fournissant 14 décimales exactes par terme.
Irrationalité et transcendance
En 1768, le scientifique suisse Johann Heinrich Lambert a démontré que irrationnel , c'est-à-dire qu'il n'est pas égal au quotient de deux entiers quelconques. La démonstration de Lambert s'appuyait sur une représentation en fraction continue de la fonction tangente. En 1794, le mathématicien français Adrien-Marie Legendre a démontré que π² est également Ferdinand von Lindemann a démontré que transcendant , confirmant ainsi une conjecture formulée à la fois par Legendre et Euler.
Adoption du symbole 
La première utilisation connue de la lettre grecque π pour représenter le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est due au mathématicien gallois William Jones en 1706.
Leonhard Euler a popularisé l'utilisation de la lettre grecque π dans des ouvrages qu'il a publiés en 1736 et 1748.
La première utilisation connue de la lettre grecque π pour représenter le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre est due au mathématicien gallois William Jones en 1706.
Leonhard Euler a popularisé l'utilisation de la lettre grecque π dans des ouvrages qu'il a publiés en 1736 et 1748.
La première utilisation attestée du symbole d'Oughtred (1648) lettres grecques demi- périmètre / demi-diamètre et périmètre/diamètre, soit ce qui est aujourd'hui noté Barrow utilisa également cette notation , tandis que Gregory l'employait pour représenter William Jones dans son ouvrage de 1706, * rayon un. Cependant, Jones écrit que ses équations pour John Machin », ce qui laisse supposer que Machin aurait pu utiliser la lettre grecque avant Jones. La notation de Jones ne fut pas immédiatement adoptée par les autres mathématiciens, la notation fractionnaire étant encore utilisée en 1767.
Euler commença à utiliser la notation à une seule lettre dès son Essai expliquant les propriétés de l'air de 1727 , bien qu'il ait utilisé Mechanica de 1736 , et continua dans son ouvrage largement diffusé de 1748, Introductio in analysin infinitorum (il écrivit : « par souci de concision, nous écrirons ce nombre comme monde occidental , bien que la définition ait encore varié entre Pour la plupart des calculs numériques impliquant cosmologiques , car c'est la précision nécessaire pour calculer la circonférence de l' univers observable à l'échelle atomique. En tenant compte des décimales supplémentaires nécessaires pour compenser les erreurs d'arrondi , Arndt conclut que quelques centaines de décimales suffiraient pour toute application scientifique. Malgré cela, des efforts considérables ont été déployés pour calculer des supercalculateurs , le test des algorithmes d'analyse numérique (y compris les algorithmes de multiplication de haute précision ) et, en mathématiques pures, la fourniture de données permettant d'évaluer le caractère aléatoire des décimales de John Wrench et Levi Smith ont atteint 1 120 décimales en 1949 à l'aide d'une calculatrice de bureau. La même année , une équipe dirigée par George Reitwiesner et John von Neumann a obtenu 2 037 décimales grâce à une série infinie de l'arc tangente , un calcul qui a nécessité 70 heures de temps de calcul sur l' ordinateur ENIAC . Ce record, toujours basé sur une série d'arc tangente, a été battu à plusieurs reprises (3 089 décimales en 1955, 7 480 en 1957 ; 10 000 en 1958 ; 100 000 en 1961) jusqu'à ce qu'un million de décimales soient atteintes en 1973. Deux avancées majeures, survenues vers 1980, ont de nouveau accéléré le calcul de algorithmes itératifs pour le calcul algorithmes de multiplication rapides permettant de multiplier très rapidement de grands nombres. Ces algorithmes sont particulièrement importants dans les calculs modernes algorithme de Karatsuba , la multiplication de Toom-Cook et les méthodes basées sur la transformée de Fourier . L' algorithme itératif de Gauss-Legendre : Initialiser Itérer Une estimation de π est alors donnée par Les algorithmes itératifs ont été publiés indépendamment en 1975-1976 par le physicien Eugene Salamin et le scientifique Richard Brent . Ils permettent de s'affranchir des séries infinies. Un algorithme itératif répète un calcul spécifique, chaque itération utilisant les résultats des étapes précédentes comme entrées, et produit à chaque étape un résultat qui converge vers la valeur souhaitée. Cette approche a en réalité été inventée plus de 160 ans auparavant par Carl Friedrich Gauss , dans ce que l'on appelle aujourd'hui la méthode de la moyenne arithmético-géométrique (méthode AGM) ou algorithme de Gauss-Legendre . Modifié par Salamin et Brent, il est également connu sous le nom d'algorithme de Brent-Salamin. Les algorithmes itératifs ont été largement utilisés après 1980 car ils sont plus rapides que les algorithmes de séries infinies : alors que les séries infinies augmentent généralement le nombre de chiffres corrects de manière additive à chaque terme, les algorithmes itératifs John et Peter Borwein ont mis au point un algorithme itératif qui quadruple le nombre de chiffres à chaque étape ; et en 1987, un autre qui le multiplie par cinq à chaque étape. Le mathématicien japonais Yasumasa Kanada a utilisé des méthodes itératives pour établir plusieurs records de vitesse de calcul de mémoire que les séries infinies.
Séries à convergence rapide
Cette série converge beaucoup plus rapidement que la plupart des séries d'arctangente, y compris la formule de Machin. Bill Gosper fut le premier à l'utiliser pour faire progresser le calcul de Jonathan et Peter ) et les frères Chudnovsky . La formule de Chudnovsky, développée en 1987, est
Elle produit environ 14 décimales de Emma Haruka Iwao en 2022. Pour des formules similaires, voir aussi la série de Ramanujan–Sato .
En 2006, le mathématicien Simon Plouffe a utilisé l' algorithme de relation entière PSLQ pour générer plusieurs nouvelles formules pour
où e π (constante de Gelfond), nombre impair et Les méthodes de Monte Carlo , qui évaluent les résultats de multiples essais aléatoires, peuvent être utilisées pour créer des approximations de L'aiguille de Buffon est une de ces techniques : si une aiguille de longueur Une autre méthode de Monte Carlo pour calculer Ainsi, pour chaque distribution binomiale décalée et mise à l'échelle . Lorsque processus stochastique (discret) . Cette méthode de Monte Carlo est indépendante de toute relation avec les cercles et découle du théorème central limite , discuté ci-dessous . Ces méthodes de Monte Carlo pour l'approximation algorithmes à goutte à goutte car, à l'instar de l'eau qui s'écoule d'un robinet , ils produisent des décimales de Stan Wagon et Stanley Rabinowitz ont produit un algorithme de spigot simple en 1995. Sa vitesse est comparable à celle des algorithmes arctan, mais pas aussi rapide que celle des algorithmes itératifs. Un autre algorithme de type spigot, l' algorithme d'extraction de chiffres BBP , a été découvert en 1995 par Simon Plouffe : Cette formule, contrairement à d'autres précédentes, permet de calculer n'importe quel chiffre hexadécimal de octaux à partir d'un ou deux chiffres hexadécimaux. Une application importante des algorithmes d'extraction de chiffres est la validation des nouveaux records de calcul de calcul distribué PiHex a utilisé la formule de Bellard (une modification de l'algorithme BBP) pour calculer le quadrillionième bit (10 <sup>15 </sup>) de de Yahoo a utilisé l'application Hadoop de l'entreprise sur mille ordinateurs pendant 23 jours pour calculer 256 bits de de nombreuses formules de géométrie et de trigonométrie, notamment celles concernant les cercles, les sphères et les ellipses. D'autres branches scientifiques, telles que les statistiques, la physique, l'analyse de Fourier et la théorie des nombres, utilisent également Outre les cercles, il existe d'autres courbes de largeur constante . D'après le théorème de Barbier , le périmètre de toute courbe de largeur constante est égal à triangle de Reuleaux (formé par l'intersection de trois cercles dont les rayons sont les côtés d'un triangle équilatéral ) a une aire minimale pour une largeur donnée, et le cercle, une aire maximale. Il existe également des courbes lisses et paires algébriques non circulaires de largeur constante. Les intégrales définies qui décrivent la circonférence, l'aire ou le volume des formes générées par des cercles ont généralement des valeurs qui impliquent Dans cette intégrale, la fonction représente la hauteur au-dessus de l' axe des abscisses d'un demi-cercle (la racine carrée découle du théorème de Pythagore ), et l'intégrale calcule l'aire sous le demi-cercle. L'existence de telles intégrales fait de période algébrique . L'aiguille de Buffon . Les aiguilles a et b sont lâchées au hasard.
Des points aléatoires sont placés sur un carré et un cercle est inscrit à l'intérieur.
Unité d'angle
valeurs propres
L'égalité est atteinte précisément lorsque caractérisation variationnelle de la valeur propre. Par conséquent, valeur singulière de l'opérateur de dérivée sur l'espace des fonctions de espace de Sobolev ).
Inégalités
Le nombre précédemment , il peut être caractérisé par son rôle de meilleure constante dans l' inégalité isopérimétrique : l'aire courbe de Jordan plane de périmètre
et l'égalité est clairement atteinte pour le cercle, puisque dans ce inégalité de Sobolev critique en n dimensions, ce qui caractérise également le rôle de la théorie du potentiel classique . En deux dimensions, l'inégalité de Sobolev critique est
Pour une fonction lisse f à support compact dans R² de f , et et désignent respectivement les normes et L'inégalité de Wirtinger se généralise également aux inégalités de Poincaré de dimension supérieure , qui fournissent les constantes optimales pour l' énergie de Dirichlet d'une membrane n- dimensionnelle. Plus précisément,
pour tous les sous-ensembles convexes variationnelle du problème aux valeurs propres de Dirichlet en une dimension, l'inégalité de Poincaré est la forme variationnelle du problème aux valeurs propres de Neumann , en toute dimension.
Transformée de Fourier et principe d'incertitude de Heisenberg
La constante transformée de Fourier . Il s'agit de la transformée intégrale qui transforme une fonction intégrable à valeurs complexes
Bien qu’il existe plusieurs conventions différentes pour la transformée de Fourier et son inverse, toute convention de ce type doit faire intervenir principe d'incertitude de Heisenberg contient également le nombre
La conséquence physique, concernant l'incertitude liée aux observations simultanées de la position et de l'impulsion d'un système quantique , est discutée ci-dessous . L'apparition de théorème de Stone-von Neumann , qui affirme l'unicité de la représentation de Schrödinger du groupe de Heisenberg .
intégrales gaussiennes
Le facteur rend l'aire sous la courbe de changement de variables dans l' intégrale gaussienne :
ce qui indique que l'aire sous la courbe en cloche de base de la figure est égale à la racine carrée de théorème central limite explique le rôle fondamental des distributions normales, et donc de caractérisation spectrale de 
où caractéristique d'Euler , qui est un entier. Par exemple, l'aire de la surface d'une sphère S de courbure 1 (son rayon de courbure , qui coïncide avec son rayon, est également égal à 1). La caractéristique d'Euler d'une sphère peut être calculée à partir de ses groupes d'homologie et est égale à deux. Ainsi, nous avons
reproduire la formule de l'aire de la surface d'une sphère de rayon 1.
La constante apparaît dans de nombreuses autres formules intégrales en topologie, en particulier celles impliquant des classes caractéristiques via l' homomorphisme de Chern-Weil .
La formule intégrale de Cauchy
L'un des outils clés de l'analyse complexe est l'intégration de contour d'une fonction sur une courbe de Jordan rectifiable ) . Une forme de la formule intégrale de Cauchy stipule que si un point
Bien que la courbe le théorème de Morera . Ce théorème implique que l'intégrale est invariante par homotopie de la courbe, ce qui permet de la transformer en un cercle et de l'intégrer explicitement en coordonnées polaires. Plus généralement, si une courbe fermée rectifiable nombre d'enroulement de la courbe.
La forme générale de la formule intégrale de Cauchy établit la relation entre les valeurs d'une fonction analytique complexe
à condition que théorème des résidus : si fonction méromorphe sur le domaine délimité par
où la somme est celle des résidus aux pôles de calcul vectoriel et en théorie du potentiel , par exemple dans la loi de Coulomb , la loi de Gauss , les équations de Maxwell et même les équations du champ d'Einstein . L'exemple le plus simple en est peut-être le potentiel newtonien bidimensionnel , représentant le potentiel d'une source ponctuelle à l'origine, dont le champ associé a un flux unitaire sortant à travers toute surface fermée lisse et orientée entourant la source.
Le facteur de est nécessaire pour garantir que est la solution fondamentale de l' équation de Poisson dans :
où est la fonction delta de Dirac .
En dimensions supérieures, des facteurs de n- sphère unité . Par exemple, en trois dimensions, le potentiel newtonien est :
qui a au dénominateur le volume bidimensionnel (c'est-à-dire l'aire) de la 2-sphère unité.
Courbure totale
Pour une courbe fermée, cette quantité est égale à nombre d'enroulement ou indice de la courbe. nombre d'enroulement autour de l'origine de l' hodographe de la courbe paramétré par la longueur d'arc, une nouvelle courbe située sur le cercle unité et décrite par le vecteur tangent normalisé en chaque point de la courbe originale. De manière équivalente, degré de l'application qui associe à chaque point de la courbe le point correspondant sur l'hodographe, analogue à l' application de Gauss pour les surfaces.
Fonction gamma et approximation de Stirling
La fonction factorielle est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à fonction gamma étend la notion de factorielle (normalement définie uniquement pour les entiers non négatifs) à tous les nombres complexes, à l'exception des entiers réels négatifs, avec l'identité suivante : . Lorsque la fonction gamma est évaluée pour les demi-entiers, le résultat s'exprime naturellement en fonction de
La fonction gamma est définie par son développement de produit de Weierstrass :
où constante d'Euler-Mascheroni . Évaluée en réduit à la formule du produit de Wallis. La fonction gamma est également liée à la fonction zêta de Riemann et aux identités du déterminant fonctionnel , dans lesquelles la constante joue un rôle important .
La fonction gamma est utilisée pour calculer le volume boule n-dimensionnelle de rayon r dans l'espace euclidien n- dimensionnel, et la surface ( n −1)-dimensionnelle :
De plus, il découle de l' équation fonctionnelle que
La fonction gamma peut être utilisée pour créer une approximation simple de la fonction factorielle d'approximation de Stirling . De manière équivalente,
En tant qu'application géométrique de l'approximation de Stirling, soit simplexe standard dans l'espace euclidien à n dimensions, et
La conjecture de volume d'Ehrhart prédit que ceci est la limite supérieure (optimale) du volume d'un corps convexe contenant un seul point de réseau entier .
Théorie des nombres et fonction zêta de Riemann
Trouver une solution simple à cette série infinie était un problème mathématique célèbre, connu sous le nom de de Bâle . Leonhard Euler l'a résolu en 1735 en démontrant qu'elle était égale à arithmétique selon lequel la probabilité que deux nombres aléatoires soient premiers entre eux (c'est-à-dire sans facteur commun) est égale à divisible par un nombre premier
Cette probabilité peut être utilisée conjointement avec un générateur de nombres aléatoires pour approximer conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa , qui affirme l'égalité de produits infinis similaires de quantités arithmétiques , localisées en chaque nombre premier p , et d'une quantité géométrique : l'inverse du volume d'un certain espace localement symétrique . Dans le cas du problème de Bâle, il s'agit de la - variété hyperbolique SL₂ ( ℝ ) / SL₂ ( ℤ ) . ]
La fonction zêta satisfait également l'équation fonctionnelle de Riemann, qui fait intervenir
De plus, la dérivée de la fonction zêta satisfait
Il en résulte que déterminant fonctionnel de l' oscillateur harmonique . Ce déterminant fonctionnel peut être calculé par un développement en produits et est équivalent à la formule du produit de Wallis. Le calcul peut être reformulé dans le cadre de la mécanique quantique , et plus précisément dans le cadre de l' approche variationnelle du spectre de l'atome d'hydrogène .
Séries de Fourier
La constante les séries de Fourier des fonctions périodiques . Les fonctions périodiques sont des fonctions définies sur le groupe caractères unitaires de un homomorphisme continu de groupe de groupe du cercle Nicolas Bourbaki , prend mesure de Haar sur le groupe du cercle, les autres caractères ont des dérivées dont les magnitudes sont des multiples entiers positifs de 2π dual de Pontrjagin au treillis des multiples entiers de 2π s'agit d'une version de la formule de sommation de Poisson unidimensionnelle .
En analyse de Fourier, l'apparition de représentations projectives . L'exponentielle de base n'est pas un caractère du groupe revêtement double de Les spineurs , par exemple, ne représentent des rotations qu'après passage à un revêtement double, et les représentations métaplectiques proviennent de même d'un revêtement double de La constante formes modulaires
Les formes modulaires sont des fonctions holomorphes du demi-plan supérieur caractérisées par leurs propriétés de transformation sous l'action du groupe modulaire (ou de ses différents sous-groupes), un treillis du groupe La fonction thêta de Jacobi en est un exemple
qui est une sorte de forme modulaire appelée forme de Jacobi . Ceci est parfois écrit en termes de nome .
La constante forme automorphe , c'est-à-dire qu'elle se transforme d'une manière spécifique. Certaines identités sont valables pour toutes les formes automorphes. Un exemple est
ce qui implique que groupe de Heisenberg discret . Les formes modulaires générales et d'autres fonctions thêta font également intervenir théorème de Stone-von Neumann .
Distribution de Cauchy et théorie du potentiel
est une fonction de densité de probabilité . La probabilité totale est égale à un, du fait de l'intégrale :
L' entropie de Shannon de la distribution de Cauchy est égale à théorie du potentiel car elle est la mesure de Furstenberg la plus simple , le noyau de Poisson classique associé à un mouvement brownien dans un demi-plan. Les fonctions harmoniques conjuguées , et par conséquent la transformée de Hilbert, sont liées au comportement asymptotique du noyau de Poisson. La transformée de Hilbert H est la transformée intégrale donnée par la valeur principale de Cauchy de l' intégrale singulière.
The constant linear complex structure on the Hilbert space of square-integrable real-valued functions on the real line. The Hilbert transform, like the Fourier transform, can be characterized purely in terms of its transformation properties on the Hilbert space
One of the key formulae of quantum mechanics is Heisenberg's uncertainty principle, which shows that the uncertainty in the measurement of a particle's position (momentum (Planck constant):
The fact that orthopositronium. The inverse lifetime to lowest order in the fine-structure constant
where electron.
buckling formula derived by Euler, which gives the maximum axial load modulus of elasticityarea moment of inertia
The field of fluid dynamics contains Stokes' law, which approximates the frictional forcespherical objects of radius fluid with dynamic viscosity
In electromagnetics, the vacuum permeability constant Maxwell's equations, which describe the properties of electric and magnetic fields and electromagnetic radiation. Before 20 May 2019, it was defined as exactly
Memorizing digits
One common technique is to memorize a story or poem in which the word lengths represent the digits of mnemonics. An early example of a mnemonic for pi, originally devised by English scientist James Jeans, is "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics." When a poem is used, it is sometimes referred to as a piem. Poems for memorizing method of loci.
A few authors have used the digits of constrained writing, where the word lengths are required to represent the digits of Cadaeic Cadenza contains the first 3,835 digits of Perhaps because of the simplicity of its definition and its ubiquitous presence in formulae, Palais de la Découverte (a science museum in Paris) there is a circular room known as the pi room. On its wall are inscribed 707 digits of William Shanks, which included an error beginning at the 528th digit. The error was detected in 1946 and corrected in 1949. In Carl Sagan's 1985 novel Contact, it is suggested that the creator of the universe buried a message deep within the digits of film adaptation of the novel. In the 1967 Star Trek episode "Wolf in the Fold", a computer possessed by a demonic entity is contained by being instructed to "Compute to the last digit the value of . In the United States, Pi Day falls on 14March (written 3/14 in the US date format), and is popular among students.geeks" for inside jokes among mathematically and technologically minded groups. A college cheer variously attributed to the Massachusetts Institute of Technology or the Rensselaer Polytechnic Institute includes "3.14159". Pi Day in 2015 was particularly significant because the date and time 3/14/15 9:26:53 reflected many more digits of pi. In parts of the world where dates are commonly noted in day/month/year format, 22 July represents "Pi Approximation Day", as 22/7≈3.142857. turn or the ratio of a circle's circumference to its radius, is more natural than Tau Day on June 28. In 1897, an amateur mathematician attempted to persuade the Indiana legislature to pass the Indiana Pi Bill, which described a method to square the circle and contained text that implied various incorrect values for fiat. While the bill was passed by the Indiana House of Representatives, it was rejected by the Indiana Senate, and thus did not become a law.