Forme modulaire

En théorie des nombres et en analyse complexe , une forme modulaire est une fonction d'une variable complexe possédant un degré élevé de symétrie. À l'instar d'une fonction périodique d'une variable réelle, une forme modulaire se répète ou se transforme d'une certaine manière lorsque son argument subit une transformation particulière. Contrairement à une fonction périodique ordinaire, ses symétries incluent des transformations telles que le remplacement d'un nombre complexe z par −1/ z . La loi de transformation n'est pas une symétrie exacte de la fonction, mais plutôt semblable à celle d'une fonction quasi-périodique : la fonction acquiert un facteur supplémentaire, selon la transformation. Les formes modulaires constituent un lien important entre l'analyse complexe , la théorie des nombres et la géométrie . Elles apparaissent également dans d'autres domaines, tels que la topologie algébrique , l'empilement de sphères et la théorie des cordes .

Plus précisément, une forme modulaire est une fonction holomorphe sur le demi-plan supérieur complexe qui satisfait approximativement une équation fonctionnelle par rapport à l' action du groupe modulaire et une condition de croissance. Une forme modulaire est un cas particulier de forme automorphe , c'est-à-dire une fonction définie sur les groupes de Lie qui se transforme bien par rapport à l'action de certains sous-groupes discrets , généralisant ainsi l'exemple du groupe modulaire .

Le terme « forme modulaire » , en tant que description systématique, est généralement attribué à Erich Hecke . L’importance des formes modulaires dans de nombreux domaines des mathématiques a été illustrée avec humour par une citation peut-être apocryphe attribuée à Martin Eichler, qui décrit les formes modulaires comme étant la cinquième opération fondamentale en mathématiques, après l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

En général, étant donné un sous-groupe d' indice fini (appelé groupe arithmétique ), une forme modulaire de niveau et de poids est une fonction holomorphe du demi-plan supérieur satisfaisant les deux conditions suivantes : $0\backslash H=\{z\in C|\Im z>0\}$0\

• Condition d'automorphie : pour tout , on a , et

• Condition de croissance : pour tout , la fonction est bornée pour .

De plus, une forme modulaire est appelée forme cuspide si elle satisfait la condition de croissance suivante :

• Condition cuspidale : Pour tout , nous avons comme .

Notez que c'est une matrice

L'identification des fonctions à des matrices rend la composition de fonctions équivalente à la multiplication matricielle.

Une forme modulaire de poids pour le groupe modulaire

est une fonction sur le demi-plan supérieur satisfaisant les trois conditions suivantes : $0\backslash H=\{z\in C\mid \mathrm{Je\; suis}(z)>0\}$0\

2. Pour tout et toute matrice dans , nous avons

Remarques :

• Le poids est généralement un entier positif.
• Pour les nombres impairs , seule la fonction nulle peut satisfaire la deuxième condition.
• La troisième condition est également formulée en disant que la fonction est « holomorphe à la cuspide », une terminologie expliquée ci-dessous. Concrètement, cette condition signifie qu'il existe un certain ε > 0 tel que ε > 0 , c'est-à-dire que ε est bornée au-dessus d'une certaine ligne horizontale.$0M,D>0$0 M\implies |f(z)|
• La deuxième condition pour

lectures

respectivement. Puisque et engendrent le groupe , la seconde condition ci-dessus est équivalente à ces deux équations.

• Puisque les formes modulaires sont des fonctions périodiques de période 1 et possèdent donc une série de Fourier .

Une forme modulaire peut être définie de manière équivalente comme une fonction F de l'ensemble des treillis de C vers l'ensemble des nombres complexes qui satisfait certaines conditions :

1. Si l'on considère le réseau Λ = Z α + Z z généré par une constante α et une variable z , alors F (Λ) est une fonction analytique de z .
2. Si α est un nombre complexe non nul et α Λ est le réseau obtenu en multipliant chaque élément de Λ par α , alors F ( α Λ) = α ^{− k} F (Λ) où k est une constante (généralement un entier positif) appelée le poids de la forme.
3. La valeur absolue de F (Λ) reste bornée supérieurement tant que la valeur absolue du plus petit élément non nul de Λ est bornée loin de 0.

L'idée clé pour prouver l'équivalence des deux définitions est qu'une telle fonction F est déterminée, en raison de la seconde condition, par ses valeurs sur des réseaux de la forme Z + Z τ , où τ ∈ H .

Série I. Eisenstein

Les exemples les plus simples de ce point de vue sont les séries d'Eisenstein . Pour chaque entier pair k > 2 , on définit G _{_k} (Λ) comme la somme des λ ^{− k} sur tous les vecteurs non nuls λ de Λ :

Alors G _{_k} est une forme modulaire du poids k . Pour Λ = Z + Zτ , nous avons

et

La condition k > 2 est nécessaire pour la convergence ; pour k impair, il y a annulation entre λ ^{− k} et (− λ ) ^{− k} , de sorte que de telles séries sont identiquement nulles.

II. Fonctions thêta des réseaux unimodulaires pairs

Un treillis unimodulaire pair L dans R^ⁿ est un treillis engendré par n vecteurs formant les colonnes d'une matrice de déterminant 1 et satisfaisant la condition que le carré de la norme de chaque vecteur de L soit un entier pair. La fonction thêta est ainsi nommée.

La série converge lorsque Im(z) > 0 et, par conséquent, on peut montrer, d'après la formule de sommation de Poisson, qu'elle est une forme modulaire de poids n /2 . Construire des treillis unimodulaires pairs n'est pas chose aisée, mais voici une méthode : soit n un entier divisible par 8 et considérons tous les vecteurs v de R^ⁿ tels que 2v ait des coordonnées entières, toutes paires ou toutes impaires, et que la somme des coordonnées de v soit un entier pair. On appelle ce treillis L _{_n} . Lorsque n = 8 , il s'agit du treillis engendré par les racines du système de racines E _₈ . Puisqu'il n'existe qu'une seule forme modulaire de poids 8 à multiplication scalaire près,

Bien que les réseaux L₈ × L₈ et _L₁₆ ne soient pas semblables, John Milnor a observé que les tores de dimension 16 obtenus en divisant R₁₆ par ces deux réseaux sont par conséquent des exemples de _{variétés riemanniennes} compactes isospectrales mais non isométriques (voir « Entendre la forme d'un tambour ^» ) .

III. Le discriminant modulaire

La fonction êta de Dedekind est définie comme

où q est le carré du nome . Alors le discriminant modulaire normalisé

est une forme cuspidale de poids 12. La présence de 24 est liée au fait que le réseau de Leech possède 24 dimensions. Une conjecture célèbre de Ramanujan affirmait que lorsque Δ( z ) est développé en série entière de q, le coefficient de q^{^p} pour tout nombre premier p a une valeur absolue ≤ 2^p ^_11/2 . Ceci a été confirmé par les travaux d' Eichler , Shimura , Kuga , Ihara et Pierre Deligne, suite à la démonstration par Deligne des conjectures de Weil , qui impliquaient la conjecture de Ramanujan.

Les deuxième et troisième exemples donnent un aperçu du lien entre les formes modulaires et des questions classiques de la théorie des nombres, telles que la représentation des entiers par des formes quadratiques et la fonction de partition . Le lien conceptuel crucial entre les formes modulaires et la théorie des nombres est fourni par la théorie des opérateurs de Hecke , qui établit également le lien entre la théorie des formes modulaires et la théorie des représentations .

Une fonction modulaire est une fonction invariante par rapport au groupe modulaire, sans toutefois être nécessairement holomorphe dans le demi-plan supérieur (entre autres conditions). En revanche, une fonction modulaire pour un sous-groupe d'indice fini du groupe modulaire est une fonction méromorphe sur le demi-plan supérieur, invariante sous l'action du groupe et méromorphe aux points de rebroussement. De manière équivalente, c'est une fonction méromorphe sur la courbe modulaire compactifiée associée au groupe .

Pour le groupe modulaire complet, une fonction modulaire est invariante par transformations du groupe et admet un développement méromorphe au point de rebroussement . En termes de , cela signifie que son développement en q ne comporte qu'un nombre fini de termes de puissance négative.

Lorsque le poids k est nul, on peut démontrer, à l'aide du théorème de Liouville , que les seules formes modulaires sont les fonctions constantes. Cependant, en relâchant la condition d' holomorphie de f , on introduit la notion de fonctions modulaires . Une fonction f : H → C est dite modulaire si elle satisfait les propriétés suivantes :

• f est méromorphe dans le demi-plan supérieur ouvert H
• Pour toute matrice entière du groupe modulaire Γ , .
• La deuxième condition implique que f est périodique, et admet donc une série de Fourier . La troisième condition est que cette série soit de la forme suivante :

Il est souvent écrit en termes de (le carré du nome ), comme suit :

On parle également de développement en q de f . Les coefficients sont appelés coefficients de Fourier de f , et le nombre m est appelé l'ordre du pôle de f eni ∞ . Cette condition est dite « méromorphe à la pointe », ce qui signifie que seul un nombre fini de coefficients de rang négatif n sont non nuls ; le développement en q est donc minoré, ce qui garantit qu'il est méromorphe en q = 0.

Pour les sous-groupes d'indice fini, la même idée s'exprime en exigeant la méromorphie à chaque pointe du sous-groupe. Cette condition permet de considérer la fonction comme méromorphe sur la courbe modulaire compactifiée correspondante.

Une autre façon de définir les fonctions modulaires consiste à utiliser les courbes elliptiques : tout treillis Λ détermine une courbe elliptique C /Λ sur C ; deux treillis déterminent des courbes elliptiques isomorphes si et seulement si l’une est obtenue à partir de l’autre en multipliant par un nombre complexe non nul α . Ainsi, une fonction modulaire peut également être vue comme une fonction méromorphe sur l’ensemble des classes d’isomorphisme des courbes elliptiques. Par exemple, le j-invariant j ( z ) d’une courbe elliptique, considéré comme une fonction sur l’ensemble de toutes les courbes elliptiques, est une fonction modulaire. Plus conceptuellement, les fonctions modulaires peuvent être vues comme des fonctions sur l’ espace des modules des classes d’isomorphisme des courbes elliptiques complexes.

Pour le groupe modulaire complet, une forme modulaire f qui s'annule en q = 0 (ou, de manière équivalente, a _₀ = 0 , soit z = i_∞ ) est appelée forme cuspidale ( Spitzenform en allemand ). Pour un sous-groupe d'indice fini du groupe modulaire, une forme cuspidale est une forme modulaire qui s'annule à chaque pointe du sous-groupe.

Une unité modulaire est une fonction modulaire dont les pôles et les zéros sont confinés aux points de rebroussement.

L'équation fonctionnelle, c'est-à-dire le comportement de f par rapport à , peut être assouplie en ne l'exigeant que pour les matrices appartenant à des groupes plus petits.

Une forme modulaire de poids k pour G est une fonction sur H satisfaisant l'équation fonctionnelle ci-dessus pour toutes les matrices de G , c'est-à-dire holomorphe sur H et en tous les points de rebroussement de G. De même, les formes modulaires qui s'annulent en tous les points de rebroussement sont appelées formes de rebroussement pour G. Les espaces vectoriels de classe C des formes modulaires et de rebroussement de poids k sont notés respectivement M _{_k} ( G ) et S _{_k} ( G ) . De même, une fonction méromorphe sur G \ H ^* est appelée fonction modulaire pour G. Dans le cas où G = Γ _₀ ( N ), elles sont également appelées formes modulaires/de rebroussement et fonctions de niveau N. Pour G = Γ(1) = SL(2, Z ) , on retrouve les définitions mentionnées précédemment.

Soit G un sous-groupe de SL(2, Z ) d' indice fini . Un tel groupe G agit sur H de la même manière que SL(2, Z ) . L' espace topologique quotient G \ H est un espace de Hausdorff . Typiquement, il n'est pas compact, mais on peut le compactifier en ajoutant un nombre fini de points appelés points de rebroussement . Ce sont des points à la frontière de H , c'est-à-dire dans Q ∪ {∞}, tels qu'il existe un élément parabolique de G (une matrice de trace ±2) fixant le point. On obtient ainsi un espace topologique compact G \ H ^* . De plus, il peut être muni de la structure d'une surface de Riemann , ce qui permet de parler de fonctions holomorphes et méromorphes.

Des exemples importants sont, pour tout entier positif N , l'un ou l'autre des sous-groupes de congruence

Pour G = Γ ₀ ( N ) ou Γ( N ) , les espaces G \ H et G \ H ^∗ sont respectivement notés Y ₀ ( N ) et X ₀ ( N ) et Y ( N ), X ( N ).

La géométrie de G \ H ^∗ peut être comprise en étudiant les domaines fondamentaux de G , c’est-à-dire les sous-ensembles D ⊂ H tels que D intersecte chaque orbite de l’ action de G sur H exactement une fois et tels que l’adhérence de D rencontre toutes les orbites. Par exemple, le genre de G \ H ^∗ peut être calculé.

La théorie des surfaces de Riemann peut être appliquée à G \ H ^∗ pour obtenir des informations supplémentaires sur les formes et fonctions modulaires. Par exemple, les espaces M _k ( G ) et S _k ( G ) sont de dimension finie, et leurs dimensions peuvent être calculées grâce au théorème de Riemann-Roch en fonction de la géométrie de l' action de G sur H . Par exemple,

où désigne la fonction partie entière et est pair.

Les fonctions modulaires constituent le corps des fonctions de la surface de Riemann et forment donc un corps de transcendance de degré un (sur C ). Si une fonction modulaire f n'est pas identiquement nulle, on peut montrer que le nombre de zéros de f est égal au nombre de pôles de f dans l' adhérence de la région fondamentale R _Γ . Pour le sous-groupe de congruence Γ ₀ ( N ) , le corps des fonctions modulaires sur X ₀ ( N ) est engendré par les fonctions j ( z ) et j ( Nz ) .

Les formes modulaires peuvent également être interprétées géométriquement comme des sections de fibrés en droites sur des courbes modulaires ou sur l' empilement de modules de courbes elliptiques . Dans cette interprétation, le fibré en droites pertinent est le fibré de Hodge , souvent noté ω , et les formes modulaires de poids k sont des sections de ω ^{⊗ k} munies de la condition d'holomorphie appropriée aux points de rebroussement.

Par l' isomorphisme de Kodaira-Spencer , le carré du fibré de Hodge est identifié au fibré canonique logarithmique de la courbe modulaire, c'est-à-dire au fibré canonique tordu avec le diviseur cuspidal . Symboliquement, sur une courbe modulaire compactifiée X de diviseur cuspidal D , cette relation s'écrit

L'intuition est que, pour une forme modulaire f de poids deux, la 1-forme f(z)dz est invariante sous l'action du groupe modulaire. Aux points de rebroussement, cela donne une différentielle logarithmique, tandis que les formes de rebroussement donnent des différentielles holomorphes.

Les dimensions des espaces de formes modulaires peuvent être calculées à l'aide du théorème de Riemann-Roch .

Cette interprétation est analogue au rôle des polynômes homogènes sur l'espace projectif . Ces polynômes ne sont pas des fonctions ordinaires sur l'espace projectif, car ils subissent une modification d'échelle lorsque le vecteur sous-jacent est homothétisé. Géométriquement, ils sont interprétés comme des sections de fibrés en droites. Les formes modulaires se comportent de manière similaire : sauf pour le poids nul, leur loi de transformation les empêche d'être des fonctions ordinaires sur une courbe modulaire, mais permet de les interpréter comme des sections de puissances du fibré de Hodge.

Pour un sous-groupe Γ de SL(2, Z ) , l'anneau des formes modulaires est l' anneau gradué engendré par les formes modulaires de Γ . En d'autres termes, si M _k (Γ) est l'espace vectoriel des formes modulaires de poids k , alors l'anneau des formes modulaires de Γ est l'anneau gradué . $0\}M\_\{k\}(\backslash Gamma\; )M\left(\Gamma \right)=\underset{k>0}{⨁}{M}_k\left(\Gamma \right)$ 0} M_ {k} (Gamma)

Les anneaux de formes modulaires des sous-groupes de congruence de SL(2, Z ) sont de type fini, d'après un résultat de Pierre Deligne et Michael Rapoport . Ces anneaux de formes modulaires sont engendrés par un poids au plus 6 et les relations par un poids au plus 12 lorsque le sous-groupe de congruence possède des formes modulaires de poids impair non nul ; les bornes correspondantes sont 5 et 10 lorsqu'il n'existe aucune forme modulaire de poids impair non nul.

Plus généralement, il existe des formules pour les bornes des poids des générateurs de l'anneau des formes modulaires et ses relations pour des groupes fuchsiens arbitraires .

Les nouvelles formes constituent un sous-espace des formes modulaires d'un niveau donné , qui ne peut être construit à partir de formes modulaires de niveaux inférieurs . Les autres formes sont appelées formes anciennes . Ces formes anciennes peuvent être construites à partir des observations suivantes : si alors on obtient une inclusion inverse de formes modulaires .

Une forme parabolique est une forme modulaire qui s'annule à toutes ses pointes. Pour le groupe modulaire complet, qui possède une seule pointe, cela revient à dire que le coefficient constant de sa série de Fourier est nul.

Il existe un certain nombre d'autres usages du terme « fonction modulaire », outre celui-ci classique ; par exemple, dans la théorie des mesures de Haar , il s'agit d'une fonction Δ( g ) déterminée par l'action de conjugaison.

Les formes de Maass sont des fonctions propres analytiques réelles du laplacien , mais ne sont pas nécessairement holomorphes . Les parties holomorphes de certaines formes d'onde de Maass faibles correspondent essentiellement aux fonctions thêta simulées de Ramanujan. On peut considérer des groupes qui ne sont pas des sous-groupes de SL(2, Z ) .

Les formes modulaires de Hilbert sont des fonctions à n variables, chacune étant un nombre complexe dans le demi-plan supérieur, satisfaisant une relation modulaire pour les matrices 2×2 avec des entrées dans un corps de nombres totalement réels .

Les formes modulaires de Siegel sont associées à des groupes symplectiques plus grands de la même manière que les formes modulaires classiques sont associées à SL(2, R ) ; en d'autres termes, elles sont liées aux variétés abéliennes dans le même sens que les formes modulaires classiques (qui sont parfois appelées formes modulaires elliptiques pour souligner le point) sont liées aux courbes elliptiques.

Les formes de Jacobi combinent formes modulaires et fonctions elliptiques. Parmi les exemples classiques de telles fonctions figurent les fonctions thêta de Jacobi et les coefficients de Fourier des formes modulaires de Siegel de genre deux. Cependant, l'observation relativement récente que les formes de Jacobi possèdent une théorie arithmétique très analogue à la théorie usuelle des formes modulaires est à noter.

Les formes automorphes étendent la notion de formes modulaires aux groupes de Lie généraux .

Les intégrales modulaires de poids k sont des fonctions méromorphes sur le demi-plan supérieur de croissance modérée à l'infini qui ne sont pas modulaires de poids k par une fonction rationnelle.

Les facteurs automorphes sont des fonctions de la forme qui servent à généraliser la relation de modularité définissant les formes modulaires, de sorte que

Cette fonction est appelée le nébentype de la forme modulaire. Des fonctions telles que la fonction êta de Dedekind , une forme modulaire de poids 1/2, peuvent être incluses dans la théorie en autorisant des facteurs automorphes.

La théorie des formes modulaires s'est développée en quatre périodes :

• En lien avec la théorie des fonctions elliptiques , au début du XIXe siècle
• Par Felix Klein et d'autres vers la fin du XIXe siècle, au fur et à mesure que le concept de forme automorphe était compris (pour une variable)
• Par Erich Hecke , vers 1925
• Dans les années 1960, les besoins de la théorie des nombres et la formulation du théorème de modularité en particulier ont clairement montré que les formes modulaires sont profondément impliquées.

Yutaka Taniyama et Goro Shimura ont établi une correspondance biunivoque entre certaines formes modulaires et les courbes elliptiques. Robert Langlands s'est appuyé sur cette idée pour construire son vaste programme de Langlands , devenu l'un des programmes de recherche les plus importants et les plus influents en mathématiques.

En 1994, Andrew Wiles a utilisé les formes modulaires pour démontrer le dernier théorème de Fermat . En 2001, il a été démontré que toutes les courbes elliptiques sont modulaires sur les nombres rationnels. En 2013, il a été démontré que les courbes elliptiques sont modulaires sur les corps quadratiques réels . En 2023, il a été démontré que les courbes elliptiques sont modulaires sur environ la moitié des corps quadratiques imaginaires, y compris les corps formés en combinant les nombres rationnels avec la racine carrée des entiers jusqu'à −5.