Équation fonctionnelle

En mathématiques , une équation fonctionnelle est, au sens large, une équation dans laquelle une ou plusieurs fonctions apparaissent comme inconnues . Ainsi, les équations différentielles et les équations intégrales sont des équations fonctionnelles. Cependant, on utilise souvent un sens plus restreint, où une équation fonctionnelle est une équation qui relie plusieurs valeurs d'une même fonction. Par exemple, les fonctions logarithmiques sont essentiellement caractérisées par l' équation fonctionnelle logarithmique .

Si le domaine de la fonction inconnue est supposé être l'ensemble des nombres naturels , la fonction est généralement considérée comme une suite , et, dans ce cas, une équation fonctionnelle (au sens strict) est appelée relation de récurrence . Ainsi, le terme « équation fonctionnelle » est principalement utilisé pour les fonctions réelles et complexes . De plus, une condition de régularité est souvent imposée aux solutions, car sans une telle condition, la plupart des équations fonctionnelles admettent des solutions très irrégulières. Par exemple, la fonction gamma est une fonction qui satisfait l'équation fonctionnelle et la condition initiale. De nombreuses fonctions satisfont ces conditions, mais la fonction gamma est la seule méromorphe sur tout le plan complexe et logarithmiquement convexe pour x réel et positif ( théorème de Bohr-Mollerup ).

• Les relations de récurrence peuvent être vues comme des équations fonctionnelles sur les entiers naturels, où les différences entre les indices des termes correspondent à une application de l' opérateur de décalage . Par exemple, la relation de récurrence définissant les nombres de Fibonacci , , où et
• Les lois de commutativité et d'associativité sont des équations fonctionnelles. Sous sa forme usuelle, la loi d'associativité s'exprime en écrivant l' opération binaire en notation infixe , mais si l'on écrit f ( a , b ) au lieu de a ○ b , la loi d'associativité ressemble davantage à une équation fonctionnelle classique.
• L'équation fonctionnelle est satisfaite par la fonction zêta de Riemann ​​. Le Γ majuscule désigne la fonction gamma .
• La fonction gamma est l'unique solution du système de trois équations suivant :
• L'équation fonctionnelle où a , b , c , d sont des entiers satisfaisant , c'est-à-dire = 1, définit f comme étant une forme modulaire d'ordre k .

Un point commun à tous les exemples énumérés ci-dessus est que, dans chaque cas, deux ou plusieurs fonctions connues (parfois la multiplication par une constante, parfois l'addition de deux variables, parfois la fonction identité ) se trouvent à l'intérieur de l'argument des fonctions inconnues à déterminer.

Lorsqu'il s'agit de déterminer toutes les solutions, il peut s'avérer nécessaire d'appliquer des conditions issues de l'analyse mathématique . Par exemple, dans le cas de l' équation de Cauchy mentionnée précédemment, les solutions qui sont des fonctions continues sont les plus « raisonnables », tandis que d'autres solutions, a priori sans application pratique, peuvent être construites (en utilisant une base de Hamel pour les nombres réels comme espace vectoriel sur les nombres rationnels ). Le théorème de Bohr-Mollerup en est un autre exemple bien connu.

Les involutions sont caractérisées par l'équation fonctionnelle . Celles-ci apparaissent dans l'équation fonctionnelle de Babbage (1820),

D'autres involutions, et solutions de l'équation, comprennent

qui inclut les trois précédents comme cas particuliers ou limites.

En programmation dynamique, une variété de méthodes d'approximation successives sont utilisées pour résoudre l'équation fonctionnelle de Bellman , y compris des méthodes basées sur des itérations de point fixe .